第四节 反常积分 积分区间有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分（广义积分） 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 反常积分
Ay=(x)f(x)A=dxAx=bx=aobaxy(0,1)y=e-x0bx
( )d b a A f x x A y = e -x y O b x (0,1)
无穷限的广义积分一求由曲线y=ex,y轴及x 轴所围成开口例 1 曲边梯形的面积解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取yb E[0,+ )，在有限区间[o,b] 上，以曲线y=e-x(0,1)为曲边的曲边梯形面积为y=e-xe-xdx =00eb0x
一 、无穷限的广义积分 例 1 求由曲线 y = e -x，y 轴及 x 轴所围成开口 曲边梯形的面积. 解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b [0, + )，在有限区间 [0, b] 上， 以曲线 y = e - x 为曲边的曲边梯形面积为 . e 1 e d e 1 0 0 b b x b x x b y = e -x y O x (0,1)
当b→+8时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，即himA = lime-*dx-b-→+oJaV(0,1)y=exb0x
A x b a x b lim e d 1. e 1 lim 1 b b y = e -x y O b x (0,1) 即 当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积
定义1设函数f(x)在[a,+o)上连续，取实数b>，如果极限limf(x)dxb+oa存在，则称此极限为函数,f(x)在无穷区间[a,+oo)上的广义积分，记作（°f(x)dx，即f(x)dx = limf(x)dx.b+8Ja这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散
定 义 1 设 函 数 f (x ) 在 [a , + )上 连 续 ，取实 数 b > a，如果极限 b b a lim f (x)dx 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分， ( )d lim ( )d . b a b a f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d , a 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散
定义 2设函数f(x)在（-o0,b)上连续，取实数a<b,如果极限lim f(x)dxa-8存在，则称此极限值为函数,f(x)在无穷区间（-oo,b]上的广义积分，记作「”f(x)dx，即hf(x)dx = limf(x)dxa→-8Ja否则称广义积分发散这时也称广义积分收敛
定 义 2 设 函 数 f ( x) 在 (- , b ] 上 连 续， 取 实 数 a < b， 如果极限 b a a lim f (x)dx 则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分， ( ) lim ( ) b b a a f x x f x x d d 这时也称广义积分收敛， ( )d , b 记作 f x x 即 存在， 否则称广义积分发散
设函数f(x)在（-o0，+）内连续，且定义3对任意实数c，如果广义积分 f(x)dx与 f f(x)dx都收敛，则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-o0,+)内的广义积分，记作t f(x)dx，即 f(x)dx =f(x)dx+f (x)dx,这时也称广义积分收敛，否则称广义积分发散
定 义 3 设 函 数 f (x ) 在 (- , + ) 内 连 续 ，且 对任意实数 c， 如果广义积分 f x x f x x c c ( )d ( )d 与 则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无 穷区间 (- , + ) 内的广义积分， ( )d ( )d ( )d , c c f x x f x x f x x 这时也称广义积分收敛， ( )d , 记作 f x x 即 都收敛， 否则称广义积分发散
若 F(x) 是f(x) 的一个原函数，并记F(+o0) = lim F(x), F(-o0) = lim F(x)x-→+0X-0则定义1，2，3中的广义积分可表示为(~ f(x)dx = F(x)| = F(+o0)- F(a),m f(x)dx = F(x)~= F(b) - F(-o0),~ f(x)dx = F(x)+° = F(+o0)- F(-o0)
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记 F( ) lim F(x), x F( ) lim F(x). x 则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为 a f (x)dx a F(x) F() F(a)， b f (x)dx b F x ( ) F(b) F()， f (x)dx F(x) F() F()
+8求例201+x1+8元元+8解dx = arctanx200221+x+8判断例3cosxdx的收敛性。Jo+8+8解cos xdx = sin x.Jo由于当x→+o时，sinx没有极限，所以广义积分发散
例 2 求 d . 1 1 0 2 x x 解 x x d 1 1 0 2 0 arctan x . 2 0 2 cos d . 0 x x 的收敛性 例 3 判断 解 cos d sin . 0 0 x x x 由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以广义积分 发散
dx+8例4.计算反常积分1+x2dx+8+8解：=[arctan x]21元元2+ xdxX0对吗?思考：2-001+x+8+o x dx分析：原积分发散！22-81+x-8注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质，否则会出现错误
例4. 计算反常积分 . 1 d 2 x x 解: 2 1 d x x [arctan x ] ) 2 π ( 2 π π 思考: 0 ? 1 d 2 对吗 x x x 分析: ln(1 ) 2 1 1 d 2 2 x x x x 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误