沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.5 曲线的凹凸性及函数作图

83.5曲线的凹凸性及函数作图曲线的凹凸性与拐点二、曲线的渐近线三、函数作图

二、 曲线的渐近线 §3.5 曲线的凹凸性及函数作图 一、 曲线的凹凸性与拐点 三、 函数作图

曲线的凹凸性与拐点一函数曲线除了有升有降之外，还有不同的弯曲方向如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？y=(α)凹的凸的Oxox若在某区间内，曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方，则称曲线在该区间内是凹的：若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的

一 、曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外, 还有不同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？ 若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的 下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切 线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．

曲线的凹凸性与拐点←必曲线的凹凸性定义设(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x，x2，恒有f(x)+ f(x2)f(+x2)2那么称(x)在I上的图形是凹的f(+2)>f(x)+f(x2)如果恒有22那么称(x)在I上的图形是凸的

v曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 那么称f(x)在I上的图形是凹的 那么称f(x)在I上的图形是凸的 如果恒有 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f    , 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f    , 一 、曲线的凹凸性与拐点

·观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系LX1+x2f(x1)+(x2)22(x1)+f(x2)f(x2)f(xi):f(x)x2)(-1+x2)22-1--00X1xX2X1+x2xX1X2X1+X222

•观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系

定理1（曲线凹凸性的判定法）设(x)在[a,bl上连续，在(a,b)内具有二阶导数若在(a, b)内f"(x)>0,则(x)在[a, b]上的图形是凹的;若在(a, b)内f"(x)<0,则(x)在[a, b]上的图形是凸的例1 判断曲线y=lnx的凹凸性，解=二122X因为在函数y=ln x 的定义域(O,+)内，y"<0所以曲线y=lnx是凸的

解 x y 1   , 2 1 x y     v定理1(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有二阶导数 若在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凹的 若在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上的图形是凸的 例1 判断曲线yln x 的凹凸性 因为在函数 yln x 的定义域(0, )内, y0, 所以曲线yln x是凸的 解解 x y 1   , 2 1 x y    

心拐点连续曲线y=(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点·讨论如何确定曲线y=(x)的拐点?如果(xo,(xo)是拐点且yy=f(x)f"(x)存在，问f"(xo)=?拐点凸的凹的如何找可能的拐点？0xoX

v拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称 为该曲线的拐点 拐点 •讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 , f(x0))是拐点且 f (x) 存在, 问f (x0)？ 如何找可能的拐点？

定理2（拐点的充分条件）设f在点 x.的某邻域内有二阶导数，若f"在x,两侧异号,则(xo,f(x))是f的一个拐点。·提示如果在x的左右两侧f"(x)异号，则(xo,f(x))是拐点.在拐点(xo,J(xo)处f"(xo)=0或f"(xo)不存在只有f"(x)等于零或不存在，(xo,(xo)才可能是拐点

•提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0 , f(x0))是拐 点 在拐点(x0 , f(x0))处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在, (x0 , f(x0))才可能是 拐点 . , ( , ( )) , 0 0 0 0 个拐点 若 在 两侧异号 则 是 的一 设 在点 的某邻域内有二阶导数 f x x f x f f x  定理2（拐点的充分条件）

求拐点的一般步骤：（1）求函数的定义域：（2）求二阶导数：（3）求定义域内使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；(4)检验各点两侧二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标：（5）求出拐点的纵坐标

求拐点的一般步骤： （2）求二阶导数； （5）求出拐点的纵坐标． （1）求函数的定义域； （3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标；

例2.求曲线 =5x3－3x2＋7×－1凹、凸区间及拐点.解：函数的定义域为（-80,+o)J'=15x2 -6x+7, y"= 30x-6没有二阶导数不存在的点令"=0,得手x=-5列表:x{18,(μ,+8)-5y"0+8凸拐点凹y258是拐点.两侧在x==J"符号发生改变，则5°255

凹、凸区间 (,) 2 y ' 15x  6x  7, y ''  30x  6 解：函数的定义域为 y ''  0, 1 , 5 令 得 x  是拐点． 1 5 x  1 8 ( , ) 5 25 在 两侧 例2.求曲线 3 2 y  5x  3x  7x 1 及拐点． 没有二阶导数不存在的点 列表： x 1 ( , ) 5  1 5 1 ( , ) 5  y '' y 8 25 - 0 + 凸 拐点 凹 y ''符号发生改变,则

例3求曲线V=x的拐点21解33/x29x 3/x2二阶导数无零点：当x=0时，二阶导数不存在因为当x0；当x>0时，J"0，在区间(-0,+8)内曲线是凹的因此曲线无拐点

3 3 2 1 x y   , 3 9 2 2 x x y    例 6 求曲线 3 例3 y  x 的拐点 解 二阶导数无零点 当x0时, 二阶导数不存在 因为当x0时, y0 当x0时, y0, 所以点(0, 0)曲线的拐点 3 3 2 1 x y   , 3 9 2 2 x x y    •讨论 曲线yx 4是否有拐点？ •提示 y 4x 3 , y 12x 2  当x0时, y>0, 在区间(, )内曲线是凹的, 因此曲线无拐点