沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.3 隐函数的导数、参数方程的导数

S2.3隐函数的导数参数方程的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、小结

§2.3 隐函数的导数 参数方程的导数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、小结

一、隐函数的导数1.隐函数的定义由二元方程 F(x,J)=0 所确定的函数y=f(x)称为隐函数y=f(x)的形式称为显函数F(x,y)=0 → y=f(x) 隐函数的显化.例 x+3-1=0可确定显函数=3/1-x;问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？例如方程xy-e+e=0

一 、隐函数的导数 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 0 x y 例如方程 xy  e  e  F(x, y)  0 y  f (x) 1. 隐函数的定义 称为 隐函数. y = f (x)的形式称为显函数. 隐函数的 1 0 3 x  y   可确定显函数 1 ; 3 例 y   x 显化. 由二元方程 F (x, y) = 0 所确定的函数y = f (x)

2.隐函数求导法则用复合函数求导法则,将方程两边对x求导并注意到其中变量v是x的函数例1 求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=(x)在x=0处的导数y"解方程左右两边同时对x求导数得5y4.y'+2y'-1-21x6=0,1+21x6由此得V'y'(0)=1/25y4+2

用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 2. 隐函数求导法则 例1 求由方程y 52yx3x 70所确定的隐函数yf(x) 在x0处的导数y 5y 4 y2y121x 60 解 方程左右两边同时对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6     y x y  y(0)=1/2

例2求由方程 xye＊＋e=0所确定的隐函数dydyy的导数x=0dx'dx解原方程看作 xy(x)-e*+ej(x)= 0,didy0方程两边对x求导，y+xdxdxdye'解得由原方程知 x=0,y=0dxx+edye=1.x=0x=0dx02x+ ey=0

例2 , . 0 0    x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, dx dy y  x 解得 , y x x e e y dx dy    由原方程知 x  0, y  0, 0 0 0        y y x x x x e e y dx dy  1. ( ) ( ) 0 x y x 原方程看作 xy x  e  e  ， x  e   0 dx dy e y

求隐函数的导数时，只要记住x是自变量v是x的函数，于是v的函数便是x的复合函数将方程两边同时对x求导，就得到一个含有导数y'的方程.从中解出即可。虽然隐函数没解出来，但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量一般来说,隐函数求导，允许在的表达式中含有变量y

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 y的表达式中含有变量y. y 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数

3.对数求导法(x+1)/x-1sinx观察函数X(x+ 4)ex方法：先在方程两边取对数。然后利用隐函数的求导方法求出导数对数求导法适用范围：多个函数相乘除和幂指函数u(x)"(x)的情形。7

3.对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 2 3 x x y x x e x x y      方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘除和幂指 函数 u x v ( x )的情形

(x+1)/x-1例4,求y".设y:(x + 4)'e*解等式两边取对数得In y = In(x+ 1)+=In(x -1)-2ln(x+4)-x3上式两边对x求导得2113(x-1)x+4x+1y21(x+1)/x-3(x-1)(x+4)"e*x+4x+1

例4 解 1] 4 2 3( 1) 1 1 1 [ ( 4) ( 1) 1 2 3             x e x x x x x y x 等式两边取对数得 y  x   ln(x  1)  2ln(x  4)  x 3 1 ln ln( 1) 上式两边对 x求导得 1 4 2 3( 1) 1 1 1         y x x x y , . ( 4) ( 1) 1 2 3 y x e x x y x     设  求

例5设 y = xsinx (x >0), 求y'.解等式两边取对数得Iny=sinx·Inx上式两边对x求导得= cosx.lnx+ sinx.xV:. y'= y(cosx. In x + sinx .xsinx= xsin*(cos x In x+x

例5 解 ( 0), . sin y x x y x 设   求  等式两边取对数得 ln y  sin x  ln x 上式两边对x求导得 x y x x x y 1 cos ln sin 1      ) 1 (cos ln sin x  y  y x  x  x  ) sin (cos ln sin x x x x x x   

sinx=xsinxln x另解：=(esinx ln x. (sin xln x)esinxsinx (cos x ln x +Xx

x y x sin  另解： ( ) sin ln    x x y e (sin ln ) sin ln  e  x x  x x ) sin (cos ln sin x x x x x x  

练习sinxx1.设y求y1+x解答等式两边取对数In y = In xsinx - In(1+ x) = sin x In x - In(1+ x2)上式两边对x求导得y'2xsin x= cosxlnx+1+x?xJ2xsin xy' = y(cosx ln x +11+xx

, . 1 1. 2 sin y x x y x   设  求 解答 上式两边对x求导得 ln ln ln(1 ) sin 2 y x x x    sin ln ln(1 ) 2  x x   x 2 1 sin 2 cos ln x x x x x x y y      ) 1 sin 2 (cos ln 2 x x x x y y x x      等式两边取对数