沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.7 曲率

S3.7曲率弧微分一曲率及其计算公式二、三、 日曲率圆与曲率半径MiM2曲线的弯曲线程度NiN2与哪些因素有关．怎样?度量曲线的弯曲程度?

一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 §3.7 曲率 曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度？ 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、弧微分曲线的基点与正向设函数(x)在区间(a,b)内具有连续导数.在曲线y=f(x)上取固定点Mo(xo,yo)作为度量弧长的基点,并规定依x增大的方向作为曲线的正向Mo0xo

一、弧微分 •曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线yf(x) 上取固定点M0(x0  y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向. 下页

一、弧微分·有向弧段M.M的值对曲线上任一点 M(x,J)，规定有向弧段的值 s(简称弧)如下：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段MM的方向与曲线的正向一致时s>0相反时s0S<O00xxxxxoxo

s0 •有向弧段 M0M 的值 ( 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M ( 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0. 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x). 下页 一、弧微分

弧微分公式?设x,x+△x为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线y=(x)上的对应点为M,N，并设对应于x的增量△x，弧s的增量为△s.因为当△x→>0时，△s～MN，又△x与△s同号，所以V(△x)? +(Ay)2ds= lim s.= limlim /1+dxAr->0△x[Ax]Ax->0Ax-0=/1+y/2VN由此得弧微分公式：AyAsMMoAxds=/1+y'2dx-0xx+△xxox三家

v弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D   D D  D  D D  D  D  D  2  1 y  . ds y dx 2  1  . 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D   D D  D  D D  D  D  D  2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D   D D  D  D D  D  D  D  首页

二、曲率及其计算公式观察与思考：观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关怎样衡量曲线的弯曲程度？提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度MiM2(i?(p2NN2M2M3PMi

二、曲率及其计算公式 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度. 下页 观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量 曲线的弯曲程度？

◆曲率C设曲线C是光滑的，曲线上点M对应于弧s.在点M处切线的AAα倾角为α，曲线上另外一点N对AsMoM应于弧s+△s，在点N处切线的倾Sa+Aαα中0x角为α+△α.平均曲率：Aa记K称K为弧段 MN的平均曲率As曲率：Aα记K=lim称K为曲线C在点M处的曲率AsA5-0

记 s K s D D  D   0 lim  称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率. 记 s K D D    称 K 为弧段 MN 的平均曲率. 平均曲率： 曲率： 下页 v曲率 设曲线C是光滑的 曲线上 点M对应于弧s 在点M处切线的 倾角为 曲线上另外一点N对 应于弧sDs 在点N处切线的倾 角为D

曲率的计算公式dadaAa在 lim存在的条件下，KdsdsAsAs-0曲率：α记K= lim称K为曲线C在点M处的曲率AsA5-O

曲率： v曲率的计算公式 在 0 lim Ds Ds D  ds d 存在的条件下 ds d K   . 记 s K s D D  D   0 lim  称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率

小曲率的计算公式dadaAaα在 lim存在的条件下，K=dsdsAsAs-0设曲线C的方程为y=f(x),且f(x)具有二阶导数因为tan α=y'，所以sec 2αdo-y"'dx.da=dx=1+tan?αsec?α1+y2又知ds=/1+y2dx，从而得曲率的计算公式dαVK(1+ y/2)3/2ds

设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数. 因为tan y  所以 sec 2dydx 在 0 lim Ds Ds D  ds d 存在的条件下 ds d K   . 又知 ds 2 1 y  dx 从而得曲率的计算公式 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K       . dx y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan             dx . y y dx y dx y d 2 2 2 sec 1 tan 1            dx . y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan             . 下页 v曲率的计算公式

Vda曲率的计算公式K(1 + y/2)3/2ds例1计算等边双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率解由y=二，得=2R，y2因此y'lx=1=-1,J"lx=1=2．.曲线在点(1,1)处的曲率为V22K=-/22 (1+(-1)2)3/22(1+ y'2)3/2

2 3 2 (1 ) | | y y ds d K       . 例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率. 曲率的计算公式： 因此y|x11 y|x12. 曲线在点(1 1)处的曲率为 解 由 x y 1   得 2 1 x y     3 2 x y   . 2 3 2 (1 ) | | y y K     2 3 2 (1 ( 1) ) 2    2 2 2 1   . 解 2 1 x y     3 2 x y   . 2 3 2 (1 ) | | y y K     2 3 2 (1 ( 1) ) 2    2 2 2 1   . 2 3 2 (1 ) | | y y K     2 3 2 (1 ( 1) ) 2    2 2 2 1  

"da曲率的计算公式：K(1+ y/2)3/2ds例2抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？解由y=ax2+bx+c，得y'=2ax+b, y"=2a,代入曲率公式，得[2a|K=[1+(2ax+b)2j3/2 :显然，当2ax+b=0时曲率最大b曲率最大时，X对应的点为抛物线的顶点2a因此，抛物线在顶点处的曲率最大，此处K=[2al

例2 抛物线yax 2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax 2bxc 得 y 2axb y 2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大. 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|. 2 3 2 [1 (2 ) ] |2 | ax b a K    . 曲率最大时 x a b 2  对应的点为抛物线的顶点. 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K       曲率的计算公式：