沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.4 函数的单调性与极值

曲线的性态Z,即是极值点又是拐　点9,92Xz极大值点单调性发生变化的临界点极小值点拐点凹凸性发生变化的临界点

曲线的性态 极大值点 极小值点 拐 点

曲线的性态Z,分92单调性：升降趋势两性凹凸性：弯曲方向Xz三个定义：极值点、拐点、凹凸性任务两个必要条件：极值点、拐点六个充分条件：单调性、凹凸性、极值、拐点

曲线的性态    单调性：升降趋势 两性 凹凸性：弯曲方向      三个定义：极值点、拐点、凹凸性 任务 两个必要条件：极值点、拐点 六个充分条件：单调性、凹凸性、极值、拐点

极值的哲学启迪盛极而衰，否（pi）极泰来中国古典哲学过犹不及，物极必反：乐极生悲，居安思危。自然界和社会发展的普遍规律：好的事情到了极致就会向坏的方向转化，而坏的事情到了极致也会向好的方向转化。不论顺境亦或逆境，保持良好心态！顺境时做好遇到挫折的准备，逆境时学会忍耐、垫伏！

极值的哲学启迪  p     中国古典哲学 过犹不及，物极必反； 乐极生悲，居安思 盛极而衰，否（ ǐ）极 危。 泰来； 自然界和社会发展的普遍规律： 好的事情到了极致就会向坏的方向转化，而坏的事 情到了极致也会向好的方向转化。不论顺境亦或逆 境，保持良好心态！顺境时做好遇到挫折的准备， 逆境时学会忍耐、蛰伏！

83.4函数的单调性与极值函数单调性的判定法.二、函数极值的判定法三、函数的极值的求法四、量最值的求法

§3.4 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判定法 四、最值的求法 二、函数极值的判定法 三、函数的极值的求法

函数单调性的判定法定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，f'(x)>0(f(x)0,xI,任取 xi,x,EI (x 05e(xi,x2)故 f(x)<f(xz).这说明 f(x)在I内单调递增证毕

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 f (x) 若f (x)  0 ( f (x)  0), 则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 f (x)  0, x  I,任取 1 2 1 2 x , x  I (x  x ) 由拉格朗日中值定理得 2 1 2 1 f (x )  f ( x )  f ( )(x  x ) 1 2  (x , x ) I  0 故 1 2 f (x )  f ( x ). 这说明 在 I 内单调递增. f (x) 在开区间 I 内可导, 证毕

例1.确定函数 _f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间解: f(x)= 6x2 -18x+12 = 6(x -1)(x -2)令 f'(x)=0, 得 x=1,x=21(-80, 1)(1, 2)2(2, + 80)x+00+f'(x)21f(x)故 f(x)的单调增区间为(-80,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)

例1. 确定函数 3 2 f (x)  2x  9x  12x  3 的单调区间. 解: 2 f (x)  6x  18x  12  6(x 1)(x  2) 令 f (x)  0 , 得 x  1, x  2 x f (x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2,  )    2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1), (2,  ); f (x) 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 O x y 1 2

定理1（函数单调性的判定法）设函数(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a, b)内f'(x)>0,则(x)在[a, b]上单调增加;(2)如果在(a, b)内f(x)0,所以函数 y=x-sin x在[0,2元]上的单调增加

说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间 v定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 所以函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加

例1判定函数y=x-sin x 在[0,2元]上的单调性解 因为在(0, 2 元)内y'=1-cos x >0,所以函数 y=x-sin x在[0,2元]上的单调增加例2 讨论函数 y=ex-x-1的单调性解 函数y=ex-x-1的定义域为(-oo,o)．y'=ex-1.因为在(-80, 0)内y0，所以函数 y=ex-x-1在[0, +o0)上单调增加

因为在( 0)内y0 所以函数 ye xx1在[0 )上 单调增加 解 函数ye xx1的定义域为( ) y e x1 例2 讨论函数 ye x x1的单调性 例1 判定函数yxsin x 在[0 2p]上的单调性 解 因为在(0, 2p)内 y 1cos x >0 所以函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加

例3讨论函数=3/x2的单调性解 函数的定义域为(-80,+80),2(x≠0)，函数在 x=0 处不可导33/x因为x0时，y'>0,所以函数在[0,+8)上单调增加yX01x

解 函数的定义域为( ) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 例例33 讨论函数 3 2 y  x 的单调性 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导

1）单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点.L y= 3/x2例如,=/x2,xE(-00,+0)2说明：2=8x=033/xx0y42)如果函数在某驻点两边导数同号+XV则不改变函数的单调性：例如，= x3,xE(-0,+0)0xJ'= 3x?y|x=0 = 0

y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存 在的点. 例如, , ( , ) 3 2 y  x x    3 3 2 x y   y  x 0   3 2 y  x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, , ( , ) 3 y  x x    2 y   3x 0 y  x0  y o x 3 y  x