沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.3 泰勒公式

8 3.3泰勒公式理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算泰勒公式的建立一、二、几个初等函数的麦克劳林公式

§3.3 泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一 、泰勒公式的建立 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 理论分析

一、泰勒公式的建立在微分应用中已知近似公式：yy= f(x)f(x) ~ f(xo)+ f'(xo)(x -xopi(x)p(x)x的一次多项式+x0特点: pi(xo) = f(xo)Xo x以直代曲pi(xo) = f'(xo)如何提高精度？需要解决的问题如何估计误差？

特点: ( ) 1 0 p  x ( ) 0  f x ( ) 0  f  x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y  f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0  f x  f  x x  x ( ) 1 p x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x ( ) 1 0 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式

多项式P,(x)的确定设函数(x)在含x的开区间内具有直到(n+1)阶导数我们希望找出一个关于(x-xo)的n次多项式P(x)=ao+a;(x-xo)+a2(x-xo)2+ . . : +an(x-xo)n来近似表达f(x).我们自然希望P,(x)与(x)在xo的各阶导数(直到(n+1)阶导数）相等：f(xo)=Pn(xo),f'(xo)=Pn'(xo),f "(xo)=Pn"(xo)f"(xo)=Pn"(xo),f (n)(xo)=Pn(n)(xo)

设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式 Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0) 2    an(xx0) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n1)阶导数)相等: f(x0)Pn(x0), f (x0)Pn (x0), f (x0)Pn (x0), f (x0)Pn (x0),      , f (n)(x0)Pn (n)(x0). •多项式Pn(x)的确定

多项式系数的确定ao=f(xo),f(xo)=Pn(xo) =ao,ai=f'(xo),f'(xo)=Pn(xo) =ai,2=1"(),f"(xo)=Pn"(xo) =2!a2="(x0),f"(xo)=Pn"(xo)=3!a3:f(n)(xo)f(n)(xo)=Pn(n)(xo)= n!an2Pn(n)(x)=n!an

Pn(x)a0a1(xx0) a2(xx0) 2     an (xx0) n P , n (x) a12a2(xx0)     nan (xx0) n1 P , n (x)2a2 32a3(xx0)     n(n1)an (xx0) n2 P , n (x)3!a3432a4(xx0)      n(n1)(n2)an (xx0) n3 P , n (n)(x)n!an . •多项式系数的确定 a0 , a0  f(x0), a1 , a1  f (x0), 2!a2 , 3!a3 ,      , f(x0)Pn(x0) f (x0)Pn (x0) f (x0)Pn (x0) f (x0)Pn (x0) f (n)(x0)Pn (n)(x0)  n!an .      , ( ) 2! 1 2 0 a  f  x , ( ) 3! 1 3 0 a  f  x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n 

多项式系数的确定c(k)(xo)(k=0,1,2,. . -,n).kl于是所求多项式为Pn(x)=ao+a(x-xo)+a2(x-xo)2+ : . . +an(x-xo)n=x0)+f(x0)(x-x0)+"(x0)x-x0)2+ f(n)(xo)(x-xo)n

Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0) 2    an(xx0) n 于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k  (k0,1,2,  ,n).  f(x0) f (x0)(xx0) (xx0) 2 ( ) 2! 1 0  f  x ( ) ! 1 0 ( ) f x n   n    (xx0) n . •多项式系数的确定

必泰勒中值定理如果函数(x)在含有x.的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则对任一xe(a, b),有f(x)= f(xo)+ f(xo)(x-xo)+ f"(xo)(x-xo)2 f(n)(xo)(x-xo)n +Rn(x) f(n+l)()其中 R,(x)(x-xo)n+1（三介于x与x之间)一(n+1)!展开式称为(x)按(x-xo)的幂展开的n阶泰勒公式而R,(x)的表达式称为拉格朗日型余项

v泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到 (n1)的阶导数, 则对任一x(a, b), 有 展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式, 而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项. 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(x x ) f  x x x    ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  其中 ((介介于于xx0 与 x 之间). 0与x之间)

注意到③R,(x)=o[(x - xo)n1在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为(Xf(x)= f(xo) + f(xo)(x- xo) + f"2!x-xo)" +o[(x-xo)"]XVn!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项*可以证明：1f(x)在点xo 有直到n阶的导数④式成立

公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x)  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 ) 0 ( 0 ) 2 2! ( ) x x f x    n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   [( ) ] 0 n  o x  x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x  o x  x ③ ④ * 可以证明: f (x) 在点 x0 有直到 n阶的导数 ④ 式成立

Xf(x)= f(xo) + f'(xo)(x - xo)2!En+1rox-xo）Xn!(n+1)!特例:(在xo 与x之间)(1)当n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值定理f(x)= f(xo) + f(E)(x - xo)(在xo与x之间)(2)当n=1时,泰勒公式变为Cf(x) = f(xo)+ f'(xo)(x- xo)+2(在xo与x之间)可见 f(x)~ f(xo)+ f'(xo)(x-xo)dff"(s)误差-xo）2(在xo与x之间)R(x)2!

特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x)  ( ) 0 f x ( )( ) 0  f   x  x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x)  ( ) 0 f x ( )( ) 0 0  f  x x  x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f     可见 f (x)  ( ) 0 f x ( )( ) 0 0  f  x x  x 2 1 0 ( ) 2! ( ) ( ) x x f R x     误差 f (x)  ( ) 0 f x ( )( ) 0 0  f  x x  x  1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( )      n n x x n f  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x    n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   d f ) 0 ( 在 x 与x之间 ) 0 ( 在 x 与x之间 ) 0 ( 在 x 与x之间 ) 0 ( 在 x 与x之间

二、麦克劳林公式*麦克劳林公式提问：当xo=0时，泰勒公式及其余项f(x)= f(xo)+f(xo)(x-xo)+f"(xo)(x-x0)2- f(n)(xo)(x-xo)n +R,(x) ,2f(n+1)(E)(x-xo)n+1R,(x)=(n+1)!将变成什么形式？

二、麦克劳林公式 v麦克劳林公式 当x00时, 泰勒公式及其余项 将变成什么形式？ 2 0 0 0 0 0 ( )( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x )(x x ) f  x x x    ( )( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  , 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  提问：

二、麦克劳林公式?麦克劳林公式当xo=0时，泰勒公式称为麦克劳林公式：f"(0)f (n)(0)f(x)= f(0)+ f(O)x+xn +Rn(x),2!n!f"(O)f(n)(0)或f(x)= f(O)+ f'(O)x一xn +o(xn),2!n!其中 R,(x)=(a+)(2)xn+1(n+1)!·近似公式J(x)= f(0)+ Ff(0)x+ L"()f (n)(O)rn2!n!

当x00时, 泰勒公式称为麦克劳林公式: •近似公式 其中 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( )     n n n x n f R x  . ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n          , 或 ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n x o x n f x f f x f f x          , n n x n f x f f x f f x ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2         . 二、麦克劳林公式 v麦克劳林公式