沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.2 洛必达法则

$ 3. 2 洛必达法则型未定式型未定式二、8+18三、其它未定式0Xelol00lx思考与练习备用题000、18、80小结与作业0-00、0-00上页下页返回结束目录

三、其它未定式 二、   型未定式 一、 型未定式 0 0 目录 上页 下页 返回 结束 §3.2 洛必达法则 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题

上节主题:函数的性态微分中值定理1导数的性态本节主题0必达，G.-F.-A.def(x)8函数之商的极限或型)limg(x)08转化洛必达法则f(x)求极限.导数之商的极限limg(x)未定式在函数商的极限中，如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大，那8么极限可能存在，也可能不存在,这种限称为未定式，记为（0或08还有其它类型的未定式：0.00、00-00、00、1°、8000ooox小结与作业思考与练习备用题0.00、00-00、00、100、00008返回目录上页下贝结束

( ) ( ) lim g x f x 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 求极限. 转化 0 0 ( 或 型)   ( ) ( ) lim g x f x   本节主题: 洛必达法则 上节主题: 还有其它类型的未定式 0、、0 0 、1  、0  在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大 那 么极限可能存在 也可能不存在这种限称为未定式 记为 0 0－或 －  未定式: 目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题

回忆极限的四则运算法则：如果 limf(x)=A, lim g(x)=B 且 B±0Af(x)则 limBg(x)f(x)不存在如果B=0，A0,则irg(x)四则运算法则不能用！如果 B=A=0

回忆极限的四则运算法则: 如果 limf(x)  A, lim g(x)  B 且 B 0 B A g x f x  ( ) ( ) 则 lim 如果 则 不存在 ( ) ( ) 0, 0, lim g x f x B  A  如果 B  A  0 四则运算法则不能用！

洛必达法则型未定式定理11) lim f(x)= lim F(x)= Ox-→ax-→a2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)±0f(x)3) lim存在(或为8）x-→>a F'(x)f'(x)f(x)lim.lim(洛必达法则)x→>a F(x)x-→>a F'(x)0Xoo0x小结与作业备用题0思考与练习80-80、00、180、800J-008C目录上页下页返回结束

1) lim ( )  lim ( )  0   f x F x x a x a ( ) ( ) 3) lim F x f x x a    存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a      2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,  且F(x)  0 定理 1 一、 型未定式 0 0 (洛必达法则) 洛必达法则 目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题

型未定式2 = lim f(α)f(x)limx=aF(x)x-→>a F(x)定理1中x→α 换为下列过程之一:推论1x→ax→a,x→8,x→+,x→-8条件2）作相应的修改，定理1仍然成立f'(x)0推论 2. 若 lim仍属型,且f'(x),F'(x)满足定0F'(x)理1条件，则f(x)f'(x)"(x)limlimlimF'(x)F"(x)F(x)000008备用题小结与作业思考与练习080-80、00、180、800J-008目录上页下页返回结束

推论1 定理 1 中x  a 换为下列过程之一: ,   x a ,   x a x  , x   推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x   仍属 型,且 ( ), ( )满足定 0 0 f  x F x 理1条件, 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x    ( ) ( ) lim F x f x    条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x  , ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a      目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题 一、 型未定式 0 0

型未定式0x3-3x+2型例1.?lim02求-x2-x+1x→>1人3x2 _3洛解：原式lim一x→1 3x2-2x-136x洛lim2x16x - 2注意：不是未定式不能用洛必达法则6x6limXlim -=1x-→16x - 2x→160ooox小结与作业备用题思考与练习80-80、00、180、8000J-00返回目录上页下贝结束

例1. 求 . 1 3 2 lim 3 2 3 1       x x x x x x 解: 原式 型 0 0 2 3  注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim 1 x  x x 1 6 6 lim 1  x  3 3 2 x  3 2 1 2 x  x  lim 1  x 洛 6 2 6 lim 1    x x x 洛 目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题 一、 型未定式 0 0

6x【注意】(1)上式中 lim已不是未定式，x-→1 6x - 2不能再使用洛必达法则，否则导致错误的结果(2)由此可见，在使用罗必达法则时应步步整理、步步判别。如果不是未定式就坚决不能用洛必达法则

【注意】（1） 上式中 已不是未定式， 不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.6 2 6 lim 1 x  x x （2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则

福型未定式0_- arctan x型例2.lim01x→+8求x1洛1+x2解：原式当lim1x→+88型f8f1lim1lim2+1x→+8x→+01+ x2x-arctann2n为正整数）思考：如何求lim1n-→0n00ol08小结与作业备用题0思考与练习0-80、00-80、00、100、0008返回目录上页下贝结束

例2. 求 . arctan lim 1 2 π x x  x  解: 原式   x lim 型 0 0 2 2 1 lim x x x    1 2 1 1  x  2 1 x  1 1 lim 2 1    x x 思考: 如何求 n n n 1 2 π arctan lim   ( n 为正整数) ? 型   洛 目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题 一、 型未定式 0 0

x2-2x+1练习(1)求极限lim2x2-1x>1x - sin x(2）求极限lim2x-0x0ooox小结与作业思考与练习备用题80-00、00、180、8000J-00返回目录上页下贝结束

2 2 1 2 1 lim  1   x  x x x 练习(1) 求极限 3 0 sin lim   x x x x (2) 求极限 目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题

8型未定式8定理2.1) lim |f(x)|= lim |F(x)|= 00x→>ax-→>a2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)±0f(x)存在 (或为)3) limx→a F'(x)lim () = lim (*)（洛必达法则）x-→>a F(x)x-→a F'(x)说明：定理中x→α 换为 x→αt, x→a,x→8, x→+8, x-8之一，定理仍然成立0X0l00l08小结与作业备用题0思考与练习80-80、00、180、800J-008目录上页下页返回结束

  二、 型未定式      1) lim f (x) lim F(x) x a x a ( ) ( ) 3) lim F x f x x a    存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x xa 定理 2. ( ) ( ) lim F x f x x a     (洛必达法则) 2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,  且F(x)  0 说明: 定理中x  a 换为 之一, 定理仍然成立. ,   x a ,   x a x  , x  , x   目录 上页 下页 返回 结束 0 0   0、、00、1、0 小结与作业 思考与练习 备用题