沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.5 函数的微分

第五节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分公式与微分运算法则四、小结

二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 四、小结 一 、微分的定义 第五节 函数的微分

微分的定义一、实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由x,变到x。+△x,Ax)则面积增量X.ArAA = (x, +Ar) - x)A=x:XrAr(Ax)= 2x : △x +(1)(2)(1)是△x的线性函数,且为△A的主要部分;(2)当Ax|很小时，(△x)=0(△x)，则△A ~ 2x,△x

一 、微分的定义 实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A  x0 x0 x0 , 0 0 设边长由 x 变到x  x 2 0 2 0 A  (x  x)  x 则面积增量 2 ( ) . 2  x0  x  x (1) (2) (1)是x的线性函数, 且为A的主要部分; ( ) o( ), 2 (2) x  x x x 2 (x) x x 0 x0x 当x 很小时, 则 2 . A  x0x

再例如，设函数y=x2在点x处的改变量为△x时，求函数的改变量 AyAy =(xo + x) - x= 3x . △x +3x · (△x)2 + (△x)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(Ax)既容易计算又是较好的近似值则 Ay ~ 3x · Ar. 问题：这个线性函数（改变量的主要部分）是否所有函数的增量都有?它是什么?如何求？

再例如, . , 0 3 y y x x x    求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 为 时 3 0 3 0 y  ( x  x)  x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 0  x  x  x  x  x (1) (2) 当x 很小时, 3 . 2 0 则y  x  x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的增量都有?它是什么?如何求?

定义：若函数=f(x)在点x。的增量可表示为A y= f(x, +△x)- f(x):A△x +o(△x)(A 为不依赖于△x的常数)则称函数 =f(x）在点x可微，而 A△x 称为f(x)在点x的相应于增量△x的微分,记作dy即dy = A△x.说明：（1)dy是自变量的增量△x的线性函数;(2)Ay-dy =o(△x)是比△x高阶无穷小;

的相应于增量△x 的微分, 定义: 若函数 y  f (x) 在点 的增量可表示为 ( ) ( ) 0 0  y  f x  x  f x ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y  f (x) 而 A x 称为 f (x)在 0 点x 记作dy 即 dy  A x.  Ax o(x) 在点 x0 可微, x0 (1) dy 是自变量的增量 x的线性函数 ; (2) y  dy  o(x)是比x高阶无穷小; 说明:

函数y= f(x)在点x可微← △y= Ax+o(△x)记dy = Ax说明：(3)当A≠0时,dy与△y是等价无穷小;Ayo(△x)因为>1(x→0)dyA.△x(4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关(线性主部)(5)当△x很小时,△y~dy

(3)当A  0时,dy与y是等价无穷小 ; y y d  因为 A x o x      ( ) 1  1 (x  0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y  dy (线性主部). 函数 y  f (x) 记 dy  A x 在点 x0 可微   y  A x  o(x) 说明:

定理：函数=f(x）在x。可微的充要条件是y=f(x)在点x处可导,且A=f'(x)，即可导可微dy = f'(x,)Ax可微一可导”证：“必要性：已知y=f(x)在点xo可微，即Ay = A△x + o(Ax)Ayo(△x)lim (A +limAAx-→>0 △x△xAr→0故 y=f(x)在点 xo的可导，且f(x)= A

已知 y  f (x) 在点 x0可微 , 即 ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x             A. 故 ( ) . f  x0  A y  A x  o(x). y  f (x) 在点 的可导, 0 x 且 定理: 函数 y  f (x) y  f (x) 在点 x0 处可导， ( ) , 0 且 A  f  x 即 dy  f (x0 )x 可微 可导 在 0 x 可微的充要条件是 证: “必要性: 可微 可导”

“充分性：可导>可微”。已知 y= f(x)在点 xo的可导,则limg(x)= BAylimf'(x)Ax=0 △x←g(x)=B+α (limα=0)Ay= f'(x)+α (lim α=0)△xAr-→0故 Ay= f'(x)Ax+αx = f'(xo)Ax+o(Ax)线性主部即dy = f'(xo)△x

已知 lim ( ) 0 0 f x x y x       y  f (x)       ( ) x0 f x y ( lim 0 ) 0     x  y  f (x ) x  x 故 0 ( ) ( ) 0  f  x  x  o  x  线 性 主 部 即 d ( ) . 0 y  f  x  x 在点 x0的可导, 则 ( ) (lim 0) lim ( )      g x B   g x B “充分性 : 可导 可微 ”

例1.求函数=x在x=1和例2.求函数y=x2当x=2,x=3处的微分。△x=0.02时的微分解： ： dy=f'(xo)Ar解: ： dy= f'(xo)Ar(x)= 2x(x3) = 3x2,：函数=x在x=1处的2dy=3x △x微分为x=2x=2Axr=0.02△x=0.02dy =(x)△x = 2△x;= 0.24.在x=3处的微分为dy = (x2)lAx = 6△r.x=3

例1.3 . 1 2 处的微分 求函数 在 和    x y x x 解: ∵ dy  f (x )x 0 ∴ 微分为 函数 在 1处的 2 y  x x  y x x x    1 2 d ( )  2x; 在 x = 3处的微分为 y x x x     3 2 d ( )  6x. (x ) 2x 2   例2. 解: 0.02 . 2, 3 时的微分 求函数 当     x y x x  dy  f (x0 )x ( ) 3 , 3 2 x   x 0.02 2 2 0.02 2 d 3          x x x x y x x  0.24

函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分记作dy或df(x)，即dy = f'(x)△x.通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分。记作dx，即dx = △x. 所以dydy = f'(x)dx. f'(x)dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数．导数也叫"微商

d d ( ), ( ) , , 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的微分 y f x y  f x x dy  f (x)x. d , d . , x x x x x    记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy  f (x)dx. ( ). d d f x x y   . " " . d d 该函数的导数 导数也叫 微商 即函数的微分 y与自变量的微分 x之商等于 所以

微分的几何意义二、如图,N0(Ar)QP = MQ·tanαAydyMy= f(x)Q= Ax· f'(xo)Arsa= dyx0XoXo +Axdy就是切线纵坐标对应的增量当4x|很小时，在点M的附近切线段MP可近似代替曲线段MN

二、微分的几何意义 y  f ( x) 0x M N T dy y o(x) ） x y o  x 如图, dy 就是切线纵坐标对应的增量. x  x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近 Q QP  MQ tan ( ) 0  x  f  x  dy