沈阳师范大学：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第2章 导数与微分、第3章 中值定理与导数的应用

高等数学1（上）教案第2章导数与微分课次9授课题目82.1导数的概念教学目标：1.理解导数的概念及几何意义2.会求平面曲线的切线和法线3.了解导数的物理意义4.理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌握教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点（？疑点）教学方式与策略引1．极限的定义比较定义域入2.连续的定义一、 引例引例1变速直线运动的瞬时速度讲设一物体作变速直线运动，其路程函数为S=s(t)，求该物体在t.时刻的瞬时速度．设在t。时刻物体的位置为s(t。).（1）求增量当经过t。+△t时刻获得增量△t时，物体的位置函数s授相应地有增量As=s(t。+△)-s(t)，（如下图)0so) to +A)s新物理意义：As _ s(t+at)-s(t0)(2)求增量比.于是比值就是物体在t。到物体运动的瞬时速度是AtAt路程函数的增量和时间。+△这段时间内的平均速度，记作，的增量之比当时间增量课==(6+)-()即趋于零时的极限，AtAt(3)取极限.当A很小时，可作为物体在t。时刻的瞬时速度的近似值且A越小，v就越接近物体在1。时刻的瞬时速度，即：Ass(to +At)-s(to) limV(to)= lim v= lim40t0A0Vy=f(α)NM福olox2计算机与数学基础教学部杨淑辉31

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 31 - 授课题目 §2.1 导数的概念 课次 9 教学目标：1.理解导数的概念及几何意义 2.会求平面曲线的切线和法线 3.了解导数的物理意义 4.理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念,导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 引 入 1. 极限的定义 2. 连续的定义 比较定义域 讲 授 新 课 一、引例 引例 1 变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s = s(t)，求该物体在 0 t  时刻 的瞬时速度．设在 0 t  时刻物体的位置为 0  s(t ) ． （1）求增量．当经过 0 t  + Δt 时刻获得增量 Δt 时，物体的位置函数 s 相应地有增量 0 0  Ds = s(t + Dt) - s(t ), （如下图） (2)求增量比．于是比值 ( 0 ) ( 0 ) , s s t t s t  t t D + D - = D D 就是物体在 0 t  到 0 t  +Δt 这段时间内的平均速度,记作 v ， ( 0 ) ( 0 ) . s s t t s t  v  t t D + D - = = D D 即 (3)取极限．当 Δt 很小时，v 可作为物体在 0 t  时刻的瞬时速度的近似 值． 且 Δt 越小， v 就越接近物体 在 0 t  时刻的瞬时 速度，即： ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 0 ( ) lim lim lim . t t t  s s t t s t  v t v  t t D Æ D Æ D Æ D + D - = = = D D 物理意义： 物体运动的瞬时速度是 路程函数的增量和时间 的增量之比当时间增量 趋于零时的极限．

高等数学1（上）教案第2章导数与微分引例2平面曲线的切线斜率讲平面曲线的切线几何演示：在曲线C上点M附近，再取一点N，作割线MN，当点N沿曲线C移动而趋向于M时，割线MN的极限位置MT就定义为曲线C在点M处的切线授设函数y=f(x)的图像为曲线C（如上图），函数y=f(x)的图形一般为一条曲线C，确定曲线C在点M(xo，f(x）)处的切线的斜率(1)取增量给x一个增量△x,Ay=f(x+△x)-f(x）新(2)求增量比在M的邻近取一点N(x+Ar,y+Ay)，则割线MN的斜率为几何意义：Ayf(x +Ar)-f(x)曲线y=f(x)在点AxAx课M。处的纵坐标y的(3)取极限.当点N沿曲线C趋向于M，割线MN的极限位置称为曲线C在M点的切线．因此，切线的斜率为增量△y与横坐标xAyf(x +Ax)-f(xo)的增量△x之比，当limtanα=limAr→0 △xAr→0AxAx→0时的极限即二、导数的定义为曲线在M。点处的定义1设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，当自变量x在x处切线斜率.取得增量△x（点x+△x仍在该邻域）时，相应地函数y取得增量提问：两个引例有哪些Ay=f(x+Ax）-f(x），如果极限共同之处？= lim ( +Ax)-()limAr→0△rAr-→0Ax存在，则称函数y=f(x)在x点处可导，极限值称为函数y=f(x)在xo点处的导数，记为f（x），即f(x +Ax)- f(xo)Ay= lim导数定义的本f'(x) = limAx-0Ax-Ax-0Ax质是增量比的极限，dy反过来，导数的定义或函数y=f(x)在x点处的导数也可记为ylx=x，(x)Ix=xdxlrex也是求极限的一种方法df(x)讲dx令x=x+△x，则当Ax→0时，x→x，导数可表示为授I(x0)= lim (x)-f(x0)-→XoX-xof(xo+h)-f(xo)如果记Ar=h，导数也可表示为f（x）=limh新函数f(x)在x点处可导也可以说成函数f(x)在x。点处导数存在或具有导数.计算机与数学基础教学部杨淑辉- 32 -

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 32 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 讲 授 新 引例 2 平面曲线的切线斜率 平面曲线的切线几何演示：在曲线C 上点 M 附近，再取一点 N ,作割线 MN ，当点 N 沿曲线C 移动而趋向于M 时，割线MN 的极限位置MT 就定 义为曲线C 在点 M 处的切线． 设函数 y = f (x) 的图像为曲线C （如上图），函数 y = f (x) 的图形一般 为一条曲线C ，确定曲线C 在点 0 0  M (x , f (x )) 处的切线的斜率． (1)取增量．给 0 x  一个增量Dx ,  0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x );  (2)求增量比．在 M 的邻近取一点 0 0 N(x + Dx, y + Dy ) ，则割线 MN 的 斜率为 0 0 y  f (x x) f (x ) x x  D D D D + - = (3)取极限． 当点 N 沿曲线C 趋向于M ， 割线 MN 的极限位置称为曲线C 在 M 点的切线．因此，切线的斜率为 ( 0 ) 0 Δ 0 Δ 0 Δ  Δ  ( ) tan lim lim  x Δ  x  Δ y  f x x f x  Æ x Æ x + - a = = ． 二、导数的定义 定义 1 设函数 y = f (x )在 0 x  的某邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x  处 取得增量 D x （点 0 x + Dx 仍在该邻域）时，相应地函数 y  取得增量 0 0  Dy = f (x + Dx) - f (x ) ，如果极限 0 0  0 0  ( ) ( ) lim lim x x y  f x x f x  D Æ x D Æ x D + D - = D D 存在， 则称函数 y = f (x )在 0 x  点处可导， 极限值称为函数 y = f (x )在 0 x  点处的导数，记为 ( ) 0 f ¢ x  ，即 x  f x  x  f x  x  y  f x  x x  D + D - = D D ¢ = D Æ D Æ ( ) ( ) ( ) lim  lim  0 0 0 0 0 ． 函数 y = f (x )在 0 x  点处的导数也可记为 0  |x  x  y = ¢ ， 0  ( ) | , x x f x = ¢ 0 x  x  dx  dy = 或 0  ( ) x  x  dx  df x  = ． 令 0 x = x + Dx ，则当Dx Æ 0 时， 0 x Æ x ，导数可表示为 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim  0 x  x  f  x  f  x  f  x  x x  - - ¢ = Æ ． 如果记D x = h ，导数也可表示为 h f x  h f x  f x  h ( ) ( ) ( ) lim  0 0 0 0 + - ¢ = Æ ． 函数 f (x ) 在 0 x  点处可导也可以说成函数 f (x ) 在 0 x  点处导数存在或具 有导数． 几何意义： 曲 线 y = f (x) 在 点 M0 处的纵坐标 y 的 增量 Δy 与横坐标 x  的增量 Δx 之比， 当 Dx Æ 0 时的极限即 为曲线在 M0 点处的 切线斜率． 提问：两个引例有哪些 共同之处？ 导数定义的本 质是增量比的极限， 反过来， 导数的定义 也是求极限的一种 方法

高等数学1（上）教案第2章导数与微分如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，则说函数f(x)在开区间（a,b)内可导，即对任何xE（a,b)，有课f(x+Ax)-f(x)f'(x)= lim Ar→0Ax这样对于开区间（α,b)内的每一个确定的x都对应着一个确定的导数f(x)，这就构成了一个新的函数，我们称之为导函数（简称为f(x)的导dy或df(x)数）记作f(x)，ydxdxf(x）为导函数f(x)当x=x时的函数值，即f'(xo)= f(x)/xo :f(x -3△x)-f(x)例1设(x）存在,求极限limArYE例2求函数f(x)=C（C是常数）的导数.例3求函数f(x)=x"（nEN+）在x=a处的导数讲推广可得（x"）=nx"-l更一般地，有（x"）=xμ-（μ为实数）11例4求函数f(x)=x2的导数。例5求函数f(x)=二的导数.x授例 6求函数f(x)=sin x的导数。(cosx)=-sin x.例7求函数f(x)=α（a>0,a1）的导数例8求函数f(x)=lnx的导数定义2如果y=f(x)在(x。-8,x]有定义，若左极限新lim (o + Ar)- ()特别的AxAr0*(er)'=e*.存在，则称函数f(x)在x左侧可导，并把上述左极限称为函数f(x)在课x。的左导数，记作f'(x），即f(xo +Ax)- f(xo)'(xo)= limAx11-0类似地可以定义函数f(x）在x的右侧可导及右导数f(x +Ax)- f(xo)J(xo)= lim AxAx>0由极限存在的条件，我们有性质1函数f(x)在x可导的充分必要条件是在x。的左、右导数都存在并且相等，即f(x)=f(xo）由单侧导数可以定义函数在闭区间[a,bl上可导：如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且在a点的右导数存在，在b点的左导数存在，则称函数在闭区间[a,b]上可导.计算机与数学基础教学部杨淑辉33

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 33 - 课 讲 授 新 课 如果函数 y = f (x )在开区间(a,b )内的每一点都可导，则说函数 f (x ) 在 开区间(a,b )内可导，即对任何 x Œ (a,b )，有 x  f x  x  f x  f x  x D + D - ¢ = D Æ ( ) ( ) ( ) lim  0 ． 这样对于开区间 (a,b ) 内的每一个确定的 x 都对应着一个确定的导数 f ¢(x ) ，这就构成了一个新的函数，我们称之为导函数（简称为 f (x ) 的导 数） ．记作 f ¢(x ) ， y¢， dy dx  或 df (x ) dx  ． 0  f ¢(x ) 为导函数 f ¢(x ) 当 0 x = x 时的函数值，即 0  ( ) ( ) |  0 x  x  f x  f x  = ¢ = ¢ ． 例 1 设 0  f ¢(x ) 存在,求极限 0 0  0  ( 3 ) ( ) lim x f x x f x  D Æ x - D - D ． 例 2 求函数 f (x) = C (C 是常数）的导数． 例 3 求函数 n f (x ) = x  （ + n Œ N ）在 x = a 处的导数． 推广可得 1 ( ) - ¢ = n n x  nx  ． 更一般地，有 1 ( ) - ¢ = m m x  mx  （m 为实数） ． 例 4 求函数 1  2  f (x) = x 的导数．例 5 求函数 1 f (x ) x = 的导数． 例 6 求函数 f (x ) = sin x 的导数． (cos x)¢ = -sin x ． 例 7 求函数 x  f (x ) = a  （a > 0, a ¹1 ）的导数． 例 8 求函数 f (x) = ln x 的导数.  定义 2 如果 y = f (x )在( , ] 0 0 x -d x  有定义,若左极限 x  f x  x  f x  x D + D - Æ - D ( ) ( ) lim  0 0 0 存在,则称函数 f (x ) 在 0 x  左侧可导,并把上述左极限称为函数 f (x ) 在 0 x  的左导数,记作 ( ) 0 f x  - ¢ ,即 ( ) 0 f x  - ¢ = x  f x  x  f x  x D + D - Æ - D ( ) ( ) lim  0 0 0 ． 类似地可以定义函数 f (x ) 在 0 x  的右侧可导及右导数 ( ) 0 f x  + ¢ = x  f x  x  f x  x D + D - Æ + D ( ) ( ) lim  0 0 0 ． 由极限存在的条件，我们有 性质 1 函数 f (x ) 在 0 x  可导的充分必要条件是在 0 x  的左、右导数都存 在并且相等，即 ( ) 0 f x  - ¢ = ( ) 0 f x  + ¢ ． 由单侧导数可以定义函数在闭区间[a,b ]上可导．如果函数 f (x ) 在开区 间(a,b )内可导，且在a 点的右导数存在，在b 点的左导数存在，则称函数在 闭区间[a,b ]上可导． 特 别 的 , x  x  (e )¢ = e  ．

高等数学1（上）教案第2章导数与微分例9讨论函数f(x)=x|在x=0处的可导性x2+xx≤1例10设函数f(x)=判别f(x)在x=1处是否可导2x3x>1可到可导必连续，连续三、函数可导与连续的关系却不一定可导。讲函数y=f(x)在点x处连续是指lim[f(x)-f(x))=0函数y= (s)在点x处可导是指Ilim ()-/()存在.授X-XoAy设函数y=f(x)在点x处可导，即limf"(x)存在．由具有极限的Ar-0 △x新=()+α，其中α当Ax→0时为无穷函数与无穷小的关系知道，Ax小。上式两边同乘以Ax，得Ay=f(x)Ax+αAx：由此可见，当△r→0时，课Ay→0.这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的.定理1如果函数y=f(x)在点x。处可导，则函数y=f(x)在点x处连续；反之不真，例如，函数f(x）=x在x=0处连续但不可导，函数在某点处连续是在该点可导的必要条件，2但不是充分条件.x≤1例11a,b为何值时，函数f(x)=1+x2在x=1处可导ax-b x>l四、导数的几何意义如果函数y=f(x)在x点处可导，则f(x)-f(xo)f(x)=k= tanα= lim =→30X-Xo切线方程为y-y=f(x)(x-x）.1法线方程为y-=(x-xo)f'(xo)在点（2)处的切线和法线的方程例12求曲线y=2x练x≤1X,讨论函数f(x在x=1处的可导性与连续性习2-x，5x>1．导数的实质：增量比的极限小2.函数f(x)在x。可导的充分必要条件是在x的左、右导数都存在并且相等，即f"(x）=f'(x。）结3.导数的几何意义：切线的斜率，4.连续与可导的关系作习题2-2,4,5业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉- 34 -

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 34 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 例 9 讨论函数 f (x ) =| x | 在 x = 0处的可导性 例 10 设函数 2  3  1 ( ) 2 1 x x x  f x  x x Ï + £ = Ì Ó > ，判别 f (x ) 在 x = 1处是否可导.  三、函数可导与连续的关系 函数 y = f (x )在点 0 x  处连续是指 0 0  lim[ ( ) ( )] 0 x x f x f x Æ - = ． 函数 y = f (x )在点 0 x  处可导是指 0 0  0  ( ) ( ) limx x f x f x  Æ x x - - 存在． 设函数 y = f (x )在点 x 处可导，即 f (x ) x  y  x = ¢ D D D Æ0 lim  存在．由具有极限的 函数与无穷小的关系知道， = ¢ ( ) + a D D f x  x  y  ，其中a 当 Dx Æ 0 时为无穷 小．上式两边同乘以D x ，得 Dy = f ¢(x )Dx +aDx ．由此可见，当Dx Æ 0 时， Dy Æ 0．这就是说，函数 y = f (x )在点 x 处是连续的． 定理 1 如果函数 y = f (x )在点 0 x  处可导，则函数 y = f (x )在点 0 x  处 连续;反之不真． 例如，函数 f (x ) =| x | 在 x = 0处连续但不可导． 例 11 a,b 为何值时，函数 2  2  1  ( ) 1  1 x  f x  x  ax b x Ï Ô £ = Ì + Ô Ó - > 在 x = 1处可导． 四、导数的几何意义 如果函数 y = f (x )在 0 x  点处可导，则 0 0  0  0  ( ) ( ) ( ) tan limx x f x f x  f x k  x x a Æ - ¢ = = = - ． 切线方程为 ( )( ) 0 0 0 y - y  = f ¢ x  x - x  ． 法线方程为 ( ) ( ) 1  0 0 0 x  x  f  x  y y  - ¢ - = - ． 例 12 求曲线 1 y  x = 在点 1 ( , 2) 2 处的切线和法线的方程． 可到可导必连续．连续 却不一定可导． 函数在某点处连续是在 该点可导的必要条件， 但不是充分条件． 练 习 讨论函数 ( ) Ó Ì Ï - > £ = 2  1  1 x  x  x  x  f  x  ， ， 在 x = 1处的可导性与连续性． 小 结 1．导数的实质：增量比的极限． 2．函数 f (x ) 在 0 x  可导的充分必要条件是在 0 x  的左、 右导数都存在并且相等， 即 ( ) 0 f x  - ¢ = ( ) 0 f x  + ¢ ． 3．导数的几何意义：切线的斜率． 4．连续与可导的关系． 作 业 习题 2­2,4,5.  教 学 反 思

高等数学1（上）教案第2章导数与微分课次10授课题目S2.2求导法则与导数公式教学目标：1.掌握导数的四则运算法则2.掌握基本初等函数的求导公式3.掌握复合函数的求导法则4.会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，复合函数求导方法教学难点：反函数求导方法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点？疑点）复习思考：函数的导数是否极限的四则运算法则是什么？引有相同的运算法则呢？入函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，则(1) [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v(x) ;(2) [u(x)v(x)' = u'(x)v(x) +u(x)v(x) ;(3) [“(]=“()()-()()(v(x)±0)v2(x)v(x)u(x+ Ax)v(x+ Ax)-u(x)v(x)证明：(2)[u(x)v(x)"= lim Ar-→0Ax讲u(x+Ar)v(x+ Ax)-u(x)v(x+Ax)+u(x)(x+Axr)-u(x)v(x)= limAr→0Ar[u(x + Ax)v(x + Ax) - u(x)v(x + Ax) + u(x)v(x + Ax) - u(x)v(x)= lim [Ar→0AxrAx授[(x+Ax)-u(x)(x+A) + lim u(x)[v(x+Ax)-v(x)]-limArAr→0Ax→0Ar= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)例1设y=tanx，求y.新例2设=secx，求」(x)及f()类似可得(cotx)"=-csc"x,(cscx)'=-cscxcotx课例3设y=x-2x2+sinx，求y.计算机与数学基础教学部杨淑辉35-

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 35 - 授课题目 §2.2 求导法则与导数公式 课次 10 教学目标：1.掌握导数的四则运算法则 2.掌握基本初等函数的求导公式 3.掌握复合函数的求导法则 4.会求反函数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，复合函数求导方法 教学难点：反函数求导方法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 极限的四则运算法则是什么？ 思考：函数的导数是否 有相同的运算法则呢？ 讲 授 新 课 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数u = u (x )及v = v (x ) 都在点 x 具有导数，则 (1) [u(x ) ± v (x )]¢ = u ¢(x ) ± v ¢(x ) ； (2) [u(x )v (x )]¢ = u ¢(x )v (x ) + u (x )v ¢(x ) ； (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ 2 v  x  u  x  v  x  u  x  v  x  v  x  u x  ¢ - ¢ = ( v(x ) ¹ 0 )． 证明：(2) x  u x  x  v  x  x  u x  v  x  u x  v  x  x D + D + D - ¢ = D Æ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim  [ ( ) ( )] ( ) lim  ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim  0 0 0 0 u  x v  x  u  x v  x  x  u  x  v  x  x  v  x  x  u  x  x  u  x  v  x  x  x  u  x  v  x  x  u  x v  x  x  u  x  x v  x  x  u  x  v  x  x  x  u  x  x  v  x  x  u  x v  x  x  u  x  v  x  x  u  x v  x  x  x  x  x = ¢ + ¢ D + D - + D + D - + D = D + D - + D + D + D - + D = D + D + D - + D + + D - = D Æ D Æ D Æ D Æ 例 1 设 y = tan x ，求 y¢ ． 例 2 设 y = sec x ，求 f ¢(x ) 及 ) 2 (p f ¢ ． 类似可得 x x  2 (cot )¢ = -csc  ，(csc x)¢ = -csc x cot x  例 3 设 3 2  y = x - 2x + sin x ，求 y¢ ．

高等数学1（上）教案第2章导数与微分例4设(x)=x-3e'cosx+sin，求(6例5设f(x)=xlnx，求f(x)sinx例6设f(x)=一，求f(x)1+cosx例7设y=x(x3-4cosx-sin1)，求y及|=l二、反函数的求导法则定理2如果函数x=f(y)在区间I,内单调、可导且f(y)0，则它的反函数y=f-(x)在区间I,=(x|x=f(y),eI,)内也可导，且讲1dy_1或[f-l(x)]}' =dx"dxf'(y)dy例8求y=arcsinx的导数授例9求y=arctanx的导数例10求y=logx的导数三、复合函数的求导法则新对于复合函数，如2xy=siny=lntanx,y=e1+x2课有求导法则，即定理3如果u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x))在点x可导，且导数为dydydy du或=f'(u).g'(x)dxdxdu dx来迎例12设y=/1-2F，求少例11设y=(2x-5)%dxdx，来山例14设y=(arctanVa)，求例13设y=erdxdx1，求迎例16 设y=J(sinx)，求例15设y=lncos-dxdxx四、基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式(2) (x")'= μ-x4-1(1) (C)'= 0,(3) (sin x)'= cosx,(4) (cosx)=-sin x,(5) (tanx)'= sec2 x,(6) (cotx)'= -csc2 x,(7) (secx)'= secxtanx,(8)(cscx)'=-cscxcotx,(9) (a*)=a*lna,(10) (e*)'=er,计算机与数学基础教学部杨淑辉- 36 -

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 36 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 讲 授 新 课 例 4 设 3  ( ) 3 cos sin 6 x f x x e x p = - + ，求 ) 2 (p f ¢ .  例 5 设 2  f (x) = x ln x ，求 f ¢(x).  例 6 设 sin ( ) 1 cos x  f x  x = + ，求 f ¢(x).  例 7 设 3  y = x(x - 4 cos x - sin1) ，求 y¢ 及 x 1 y = ¢ ． 二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 x = f ( y )在区间 y  I 内单调、 可导且 f ¢( y ) ¹ 0 ， 则它的反函数 ( ) 1 y f  x  - = 在 区间 { |  ( ),  } x  y  I = x  x = f y  y Œ I 内也可导，且 ( ) 1  [ ( )] 1 f  y  f x  ¢ ¢ = - 或 dy  dx  dx  dy 1 = 例8 求 y = arcsin x 的导数 例 9 求 y = arctan x 的导数 例 10 求 y  x  a = log 的导数 三、复合函数的求导法则 对于复合函数，如 y = ln tan x ， 2 x  y = e  ， 2 1 2 sin x  x  y + = 有求导法则，即 定理 3  如果u = g (x ) 在点 x 可导，y = f (u )在点u = g (x ) 可导， 则复合函数 y = f [g (x )]在 点 x 可导，且导数为 f (u) g (x ) dx  dy = ¢ × ¢ 或 dx  du du dy  dx  dy = × 例 11 设 3 6  y = (2x - 5) ，求 dx  dy . 例 12 设 3 2 y = 1- 2 x  ，求 dx  dy .  例 13 设 3 x  y = e  ，求 dx  dy .  例 14 设 3  y = (arctan x) ，求 dx  dy .  例 15 设 x  y 1 = ln cos  ，求 dx  dy . 例 16 设 2  y = f (sin x ) ，求 dx  dy . 四、基本求导法则与导数公式 1．常数和基本初等函数的导数公式 (1) (C)¢ = 0 ,  (2) 1 ( ) - ¢ = × m m x m x  ,  (3) (sin x)¢ = cos x ,  (4) (cos x)¢ = -sin x ,  (5) x x  2 (tan )¢ = sec ,  (6) x x  2 (cot )¢ = -csc  ,  (7) (sec x)¢ = sec x tan x ,  (8) (csc x)¢ = -csc x cot x ,  (9) a  a  a  x x  ( ) = ln  ,  (10) x  x  (e )¢ = e 

高等数学1（上）教案第2章导数与微分11(12) (ln x)'= (11) (log.x)'=xlnax1(13)(arcsinx)'=(14)(arccosx)'=Vi-x2Vi-x11(15)(arctanx)(16)(arccotx)"=1+x21+ x22．函数和、差、积、商的求导法则(1) (u±v)=u'±v*,(2）(Cu)=Cu(C为常数)_vu'-vu'(4) (")(3) (uv)'=uv+u',(v0).1213.反函数的求导法则如果x=f(y)与y=f-(x)互为反函数，则1dy_1或9[f-(x)]"'=dx"dxf'(y)dy4.复合函数的求导法则如果y=f(u)可导，u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x))可导，且=F(u)·g(n) 或 dy_dydudxdxdu dx例17 设y=xsin(Inx)+co(nx)], 求会,dx例18设y=sin'x-sin(r),求变dx例19 设y=}(arctanx),求dx练），来山设dx习1．掌握导数的四则运算法则和基本初等函数求导公式，小2.掌握复合函数求导法则．求复合函数导数步骤：第一步：分清函数的复合关系；结第二步：应用公式，作习题2 -4.6(2),(3),(6).8.(2),(4),(6),(8),(10)业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉- 37

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 37 - (11) x  a x  a ln 1 (log )¢ = ,  (12) x  x 1 (ln )¢ = ,  (13) 2 1  1  (arcsin ) x  x - ¢ = ,  (14) 2 1  1  (arccos ) x  x - ¢ = - ,  (15) 2 1 1 (arctan ) x  x + ¢ = ,  (16) 2 1 1 ( cot ) x  arc x  + ¢ = - ． 2．函数和、差、积、商的求导法则 (1) (u ± v ) = u ¢ ± v ¢ ,  (2) (Cu)¢ = Cu ¢(C 为常数),  (3) (uv)¢ = u ¢v + u v ¢ ,  (4) 2 ( ) v  v u v u v  u ¢ - ¢ ¢ = ( v ¹ 0) ． 3．反函数的求导法则 如果 x = f ( y )与 ( ) 1 y f  x  - = 互为反函数，则 ( ) 1  [ ( )] 1 f  y  f x  ¢ ¢ = - 或 dy  dx  dx  dy 1 = 4．复合函数的求导法则 如果 y = f (u )可导，u = g (x ) 可导，则复合函数 y = f [g (x )]可导，且 f (u) g (x ) dx  dy = ¢ × ¢ 或 dx  du du dy  dx  dy = × 例 17 设 y = x[sin(ln x) + cos(ln x)] ，求 dx  dy . 例 18 设 2 2  y = sin x ×sin(x ) ，求 dx  dy . 例19 设 2  y = f (arctan x) ，求 dx  dy . 练 习 设 ( ) 2  y = f sin x ，求 dy dx ． 小 结 1．掌握导数的四则运算法则和基本初等函数求导公式． 2．掌握复合函数求导法则．求复合函数导数步骤： 第一步：分清函数的复合关系； 第二步：应用公式． 作 业 习题 2 ­4.6(2),(3),(6).8.(2),(4), (6),(8),(10).  教 学 反 思

高等数学1（上）教案第2章导数与微分11课次授课题目S2.3隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目标：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导、参数方程确定的函数的求导方法教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点教学方式与策略（？疑点）思考：对于函数e'+y-e=0，如何求坐，引dx入隐函数的导数显函数：函数V均由自变量x的某一个解析式所表达，例如2x+1y=x，y=log.x(a>l,a±l),y=Vx-3自变量x与因变量y之间的对应法则含于一个二元方程F(x,y)=0之中，这样确定的函数y=f(x)称为隐函数问题：对于不能显化的隐函数，如何求导呢？隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导讲F(x,y)=0两边对求导（注意=(a)）授1F(xy)=0（含导数的方程）dx例1 求由方程y*+2y=x-3x? =0 所确定的隐函数的导数会dx新dy例2设y=f(x)是由方程e"-e°=xy确定的隐函数，求dx/reo例4设=，求例3求y=xsinx（x>0）的导数dx课一般情况，对于幂指函数y=u(u>0)求导数y的方法为：先取对数，得Iny=vInu计算机与数学基础教学部杨淑辉- 38 -

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 38 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 §2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 课次 11 教学目标：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导、参数方程确定的函数的求导方法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 引 入 思考：对于函数e  + xy - e = 0 y  ，如何求 dx  dy ？ 讲 授 新 课 一、隐函数的导数 显函数:函数 y 均由自变量 x 的某一个解析式所表达，例如 3 y = x ， log ( 1, 1) a  y = x a > a ¹ ， 2 1  3 x  y  x + = - ． 自变量 x 与因变量 y 之间的对应法则含于一个二元方程 F(x, y) = 0 之中，这样确定的函数 y = f (x)称为隐函数． 问题：对于不能显化的隐函数，如何求导呢？ 隐函数求导法则：用复合函数求导法则直接对方程两边求导． 例 1 求由方程 2  3  0  5 7 y  + y - x - x  = 所确定的隐函数的导数 dy dx .  例 2 设 y = f (x) 是由方程 y x e - e ＝ xy 确定的隐函数，求 x 0 dy dx = .  例 3 求 x  y x sin = （ x > 0）的导数.  例 4 设 x y y = x ，求 dy dx .  一般情况，对于幂指函数 v  y = u  （u > 0） 求导数 y¢ 的方法为：先取对数，得 ln y = v ×ln u

高等数学1（上）教案第2章导数与微分对x求导数，得1y=w-lnu+.uyu解得vu'vuy'=y.(v.lnu+)=u"(v.Inu+uu以上求导数方法称为对数求导法，讲(x-1)(x-2)的导数：（假定x>4）例5求y=N(x-3)(x-4)由参数方程所确定的函数的导数授[x=p(t)若参数方程确定V与x间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数，y=y(t)(x= p(t)般情况，参数方程。可确定函数y=y(x)或x=x(y)：一般由x=p(t)得(y=y(t)新(x)，代入y=y(t)，得t=@y=y(t) = y[p-'(x)] = y(x)由复合函数求导方法，得课dy_dydtdy1y't)dtdxp'@)dxdt dxdit2了，求当X=例6设dr(y=1-tx=acost一相应点的切线方程，例7求椭圆曲线在t=4ly=bsint3at?3atdy所确定的函数y=f(x)的导数例8求蔓形线x1+3J1+tdx练x-5我迎drV/+2习小1.掌握隐函数求导法则、对数求导法，结2.掌握参数方程所确定的函数求导方法，了解其求二阶导数求法作习题 2- 11.13(2),(4).14(1),(3)业教学反思计算机与数学基础教学部杨淑辉-39-

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 - 39 - 讲 授 新 课 对 x 求导数，得 u  u  v  y  v  u  y × ¢ = ¢ ×ln  + × ¢ 1  解得 ( ln ) ( ln ) u v u u v  u u v u y  y  v  u v ¢ = ¢ × + ¢ ¢ = × ¢ × + 以上求导数方法称为对数求导法． 例 5 求 ( 3)( 4) ( 1)( 2) - - - - = x  x  x  x  y  的导数．(假定 x > 4 ) 二、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程 Ó Ì Ï = = ( ) ( ) y  t  x t  y j 确定 y 与 x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数． 一般情况，参数方程 Ó Ì Ï = = ( ) ( ) y  t  x t  y j 可确定函数 y = y (x ) 或 x = x ( y ) ．一般由 x = j(t ) 得 ( ) 1 t x  - = j ，代入 y =y (t ) ，得 ( ) [ ( )] ( ) 1 y = t  = x  = y  x  - y y j 由复合函数求导方法，得 ( ) 1 ( ) t  t  dt  dt  dx  dy  dx  dt  dt  dy  dx  dy j y ¢ ¢ = × = × = 例 6 设 Ô Ó Ô Ì Ï = - = y  t  t  x 1  2  2 ，求 dx  dy  例7 求椭圆曲线 Ó Ì Ï = = y  b  t  x a  t  sin  cos 在 4 p t = 相应点的切线方程． 例 8 求蔓形线 2 3 3 3 3  , 1 1 at at  x y  t t = = + + 所确定的函数 y = f (x) 的导数 dy dx .  练 习 5  5  2  5 2 x  y  x - = + ，求 dx  dy ． 小 结 1．掌握隐函数求导法则、对数求导法． 2．掌握参数方程所确定的函数求导方法，了解其求二阶导数求法． 作 业 习题 2­ 11 .13(2),(4).14(1),(3).  教 学 反 思

高等数学1（上）教案第2章导数与微分12课次授课题目S2.4高阶导数教学目标：了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂多媒体幻灯片课堂概况：教学方式与策略教学内容（注明：*重点#难点（？疑点）复函数的导函数仍然习y= sin x,y"= cosx,(y')'= (cos x) =-sinx可以求导，如何简洁的引记导函数的导数呢？入dy对于一般函数=f(x)，y'=(x)，[f(x)"称为f(x)的二阶导数，记成y"，f"(x)，dx?或，记dx2()=()=(x)J"= f"(x)= dr2dxdxdxdxdtyd"y类似，可定义三阶导数"=["(x)}"、四阶导数y(4）=乃至于n阶导数(）=dx4dx"即讲y(m = d"y_d(d"-l=[ f(n-I (x)dn-idx"dxf(x)称为f(x)一阶导数，函数f(x)的二阶导数的导数称为函数f(x)的三阶导数，函数f(x)的三阶导数的导数称为函数f(x)的四阶导数，.,函数f(x)的(n-1)阶导数的导数称为授函数f(x）的n阶导数.分别记作 y,., a) 或dyd"ydx3dx"新二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数例 1例2设y=x+sinx，求y"设y=elnx，求y".d?y例3求由方程e=x+y所确定的隐函数(x)的二阶导数求课dr?d'y例4设函数y=f(x)由方程x-y+siny=0确定，求dx?2计算机与数学基础教学部杨淑辉40

高等数学 1（上）教案 第 2 章 导数与微分 - 40 - 计算机与数学基础教学部 杨淑辉 授课题目 §2.4 高阶导数 课次 12 教学目标：了解高阶导数的概念，会求简单的 n 阶导数 教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法、翻转课堂 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 y = sin x, y¢ = cos x,( y¢)¢ = (cos x)¢ = - sin x  函数的导函数仍然 可以求导，如何简洁的 记导函数的导数呢？ 讲 授 新 课 对于一般函数 y = f (x )，y¢ = f ¢(x )，[ f ¢(x )]¢ 称为 f (x ) 的二阶导数， 记成 y¢¢，f ¢¢(x ) ， 2 2 dx  d  y  或 2 2 dx  d  f  ，记 ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 ¢¢ = ¢¢ = = = = f ¢ x  ¢ dx  df  dx  d  dx  dy  dx  d  dx  d  y  y  f  x  类似，可定义三阶导数 y ¢¢¢ = [ f ¢¢(x )]¢ 、四阶导数 4 4 (4) dx  d  y  y = 乃至于 n 阶导数 n n n dx  d  y  y = ( ) ， 即 ( ) [ ( )] ( 1) 1 1 ( ) = = = ¢ - - - f  x  dx  d  y  dx  d  dx  d  y  y  n n n n n n f ¢(x ) 称为 f (x ) 一阶导数，函数 f (x ) 的二阶导数的导数称为函数 f (x ) 的三阶导数，函数 f (x ) 的三阶导数的导数称为函数 f (x ) 的四阶导数，LL,函数 f (x ) 的(n -1) 阶导数的导数称为 函数 f (x ) 的 n 阶导数.分别记作 (3) (4) ( ) , , , n  y y L y  或 3 3 , , n n d y d y  dx dx  L . 二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数.  例 1 设 ln x y = e x ，求 y¢¢ . 例 2 设 4  y = x + sin x ，求 y¢¢¢ . 例 3 求由方程 y e = x + y 所确定的隐函数 y(x ) 的二阶导数求 2 2 dx  d y  .  例 4 设函数 y = f (x) 由方程 sin 0 2 1 x - y + y = 确定，求 2 2 dx  d y