沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第5章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律

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*复习引入“概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。洗阳师范大学ShenYangNiormalUniver

*复习引入 • “概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增 大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。 大数定理就是从理论上说明这一结果。 • 正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常 广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分 布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基 本理论，在概率统计中具有重要地位

*知识框架DX切比雪夫不等式：X的期望和方差均存在，PIIX-EX|≥}≤P(X-EX|00ni-沈阳师范大学ShenYang Normal Uny

*知识框架 切 比 雪 夫 不 等 式 ： X 的 期 望 和 方 差 均 存 在 ,   2 DX P X EX   −   ，   2 1 DX P X EX   −   − . 切比雪夫大数定律：只要求X n 两两不相关,并不要求它们是同分布的.使 DX c i  ， 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n  → = =     −  =     伯努利大数定律： n 重伯努利试验，lim 1 A n n P p n  →     −  =   . 辛钦大数定律： 不要求随机变量序列X n 的方差存在，但X n 需是独立同分布的随 机变量序列 EXi =  ， 1 1 lim 1 n i n i P X n   → =     −  =   

依概率收敛与大数定律·预备知识·切比雪夫（Chebyshev)不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=2,则对于任意正数>0,有9P( X - μ)≤?9α P(IX-μ<)≥1-沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

( ) 2 2 | |   P X −     •预备知识 •切比雪夫(Chebyshev)不等式:设随机变量X具有数 学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε> 0,有 ( ) 2 2 P X 1      −   − 一 . 依概率收敛与大数定律

分析应用切比雪夫不等式的利与整在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知道数学期望和方差两个数字特征就够了（而无需知道分布函数)，因而使用起来比较方便，这是它的优点。但是也正因为它没有完整地利用到随机变量的统计规律一分布函数，所以一般来说，它给出的估计是比较粗糙的。但是切比雪夫不等式主要在理论研究中发挥重要作用。P≤)≥1-<% P(X-P( X-μZ)≤8C沈阳师范大学snenYangNormalUnv

5 • 分析应用切比雪夫不等式的利与弊 在切比雪夫不等式给出的估计中，只需要知 道数学期望和方差两个数字特征就够了(而无需知 道分布函数)，因而使用起来比较方便，这是它的 优点。但是也正因为它没有完整地利用到随机变 量的统计规律－分布函数，所以一般来说，它给 出的估计是比较粗糙的。 但是切比雪夫不等式主要在理论研究中发挥 重要作用。 ( ) 2 2 | |   P X −     ( ) 2 2 1    P X −     −

*1.定义：随机变量依概率收敛的概念设Y,Y2，,Y,是一个随机变量序列,α是一个常数,若对于任意正数8有 lim P Y-α8Y,Y2，,Y依概率收敛于α，记为Y.>an沈阳师范大学ShentYang Nomal Unive

limn P n Y Y Y a P Y a Y Y Y a Y a   →   ⎯⎯→ 1 2 n n 1 2 n 设 , , , 是一个随机变量序列, 是一个常数,若对于任意正数 有 {| - | }= 1,则称序列 , , , 依概率收敛于 , 记为 *1.定义：随机变量依概率收敛的概念

解释： Y,→a意思是:当 n→ 时,Y,落在内的概率越来越大.Vno,n>no(a-ε,a+)Yaa-8a+而 Y,→α意思是：>0,n,当n>nIY,-a<沈阳师范大学ShenYangNoemal Univenit

P 解释: Y a n → 意思是:当 a − a a +  Y n 而 Y a n → 意思是: 0   0,n | | Y a n −   n → 时,Yn落在 (a −,a + ) 内的概率越来越大. ,当 0 0 n ,n  n n  n0

2.大数定律的定义设X,X2..X是随机变量序列,若X-limPE(X,)<ε=1n-00nNi=l则称该序列服从大数定律沈阳师范大学ShentangNomal Univesth

2.大数定律的定义 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n i i n i i n E X n X n P 则称该序列服从大数定律 设X1 , X2 ,.,Xn是随机变量序列,若

切比雪夫大数定律设X，X..是两两不相关的随机变量序列，若每个X,的方差都存在,且有共同的上界,即D(X)≤C,C为常数(-1,2,..).则对于任意ε>0,都有切比雪夫，Ⅱ儿12x,-12E(X,)1.i=1S23ngn i=li=lX-limE(X,)<=1n-00沈阳师范大学ShentangNomal Universt

二、切比雪夫大数定律 设X1 , X2 ,.是两两不相关的随机变量序列, 若每个 Xi的方差都存在, 且有共同的上界, 即D(Xi ) ≤C, C为常数 (i=1,2,.). 则对于任意ε>0,都有 证明: 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 n i n n i i i i i D X n P X E X n n   = = =           −   −      ( ) n C D X n X n D n i i n i i  =         = =1 2 1 1 1 由切比雪夫不等式，得 因为X1 , X2 ,.两两不相关 ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n i i n i i n E X n X n P ( ) 1 1 1 lim 1 1 =        −   = = →  n i i n i i n E X n X n P 2 1 C n  −

该大数定律表明：无论正数ε怎样小，只要n充分大，事件区,E(μ-&,μ+))发生 的概率均可任意地接近于1。即当n充分大时，X，差不多不再是随机变量，取值接近于其数学期望Ⅱ的概率接近于1。在概率论中，将所表示的收敛性称为随机变量序列X,X,,,X,,….依概率收敛于u，记为X,μ.沈阳师范大学ShenYang Niomal Uns

该大数定律表明：无论正数ε 怎样小, 只要 n充 分大，事件 发生 的概率均可 任意地接近于 1。 Xn  ( −  ,  +  ) 即当 n充分大时， 差不多不再是随机变量， 取值接近于其数学期望μ 的概率接近于 1。 Xn 在概率论中，将所表示的收敛性称为随机变量 序列 依概率收敛于μ ， 记为 X1 , X2 ,  , Xn ,  ⎯→  . P X n