沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第1章 函数、极限、连续 1.5 极限的运算法则

1.5极限的运算法则极限的四则运算法则2求极限的方法

求极限的方法 极限的四则运算法则 1.5 极限的运算法则 1 2

极限的四则运算法则重要前提定理设 lim f(x)= A,limg(x)= B,(1)lim[f()±g(x)]= A±B:(2)lim[f(x)· g(x)]= A B;B-0?Af(x)lim其中B±0.(3)Bg(x)

定理 (1) lim[ ( ) ( )] ; (2) lim[ ( ) ( )] ; ( ) (3) lim , 0. ( ) f x g x A B f x g x A B f x A B g x B        其中  设 lim f (x)  A,lim g(x)  B,则 重要前提 B=0？ 1 极限的四则运算法则

推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]= clim f (x)(limc = c)常数因子可以提到极限记号外面n有限推论2如果limf(x）存在，而n是正整数，则lim[f(x)]" = [lim f(x)]

推论1 lim ( ) , , lim[ ( )] lim ( ). (lim ) f x c cf x c f x c c   如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n  推论2 如果 存在 而 是正整数 则 n有限

常用的函数的极限：(2) lim x = xo;(1) lim C = C;(C为常数)X→Xox→Xo(4) lim x" = x°;(3) lim /x = /xo;x→XoX→Xo1(6) lim = = 0;(5) lim C =C:(C为常数)x-8 Xx>0(8) lim e = 0:(7) lim e-x = 0;x-80→+

(5) lim ;( ) x C C C   为常数 1 (6) lim 0; x x  常用的函数的极限： 0 0 (2) lim ; x x x x   (7) lim 0; x x e    (8) lim 0; x x e   0 (1) lim ;( ) x x C C C   为常数 0 0 (3) lim ; x x x x   0 0 (4) lim ; n n x x x x  

21.设lim,f(x)与lim g(x)都不存在,则【x-→>Xox-→xo(A) lim[f(x)+g(x)]一定不存在X-→Xo(B) lim[f(x)一g(x)]一定不存在x-→xo(C)当 lim[f(x)+g(x))与 lim[f(x)一g(x)]有一个存在,x-→xoXx则另一个一定存在，(D) lim[f(x)+g(x)]与 lim[f(x)一g(x)]都有可能存在→XoX->X

单选题设置页1分1.设lim f(x)与lim g(x)都不存在,则【x-→Xox>X(A) lim[Lf(x)+g(x)]一定不存在>Xlim[f(x)一g(x)一定不存在(B)x-→Xo(C)当 lim[f(x)+g(x)]与 lim[f(x)一g(x)]有一个存在,x-→xox→>Xo则另一个一定存在D) limLf(x)+g(x)l与 lim[f(x)一g(x)l都有可能存在x→xox-→xo提交

A B C D 提交 单选题 1分

2求极限的方法例1求 lim 2x2=3x+1.x→1解lim(2x2 -3x +1) = lim 2x2 - lim 3x + lim 1x-→1x-1x-1x-1= 2lim x? - 3limx +1x-→1x→1= 2( lim x)2 - 3 + 1x-→1=2-3+1=0

2 求极限的方法 例1 2 1 lim 2 3 1. x x x  求   解 2 2 1 1 1 1 lim(2 3 1) lim2 lim3 lim1 x x x x x x x x          2 1 1 2lim 3lim 1 x x x x       2  31  0 2 1 2( lim ) 3 1 x x    

例2设n次多项式函数f(x)=ax"+ax"-l +.….+a,，其中ao,α，…,an为常数，且α≠O，对任意xER，证明：lim f(x) = f(x) .x-→xo解 lim f(x)= ao(lim x)" +a,(lim x)"-1 + ...+anx-→Xox→Xox-→xon--+...+a, = f(x)=ax+axo

n n x x n x x x x f x  a x  a x   a     lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1  0 0 0 n n n  a x  a x   a   1 0 0 1 0 ( ). 0  f x 例2 ．解

2求极限的方法lim P(x) = A,limQ(x)= B重点和难点：商的极限P(x)lim f(x) = limQ(x)lim P(x)x-→xoBf(x) =BBlim (Q(x)x-→xo80 (A# 0,B = 0.取倒数0消零因子法、等价无穷小代换08无穷小因子分出法8

2 求极限的方法 重点和难点：商的极限 lim P(x)  A,limQ(x)  B ( ) lim ( ) lim ( ) P x f x Q x  =      ( 0) A B B  0 0 lim ( ) ( ) = lim ( ) x x x x P x A f x Q x B    ( 0, 0, ) 0 A  A  B  0 0   取倒数 消零因子法、等价无穷小代换 无穷小因子分出法

x? +1lim例3 求B≠Ox-2 3x3-2x2 +2B解lim(3x3 - 2x2 +2)= lim 3x3 - lim 2x2 + lim 2X-→2x->2x→2x→2=3lim x3-2lim x2 +2x-→2x-→2=3×23-2×22+2=18±0lim(x2 + 1)x2 +15limX-2 3x3 -2x2 +218lim(3x3 -2x2 +2)

解 3 2 2 lim(3 2 2) x x x    ( 0) A B B 例3 求  2 3 2 2 1 lim x 3 2 2 x  x x    3 2 2 2 2 lim3 lim2 lim2 x x x x x       3 2 2 2 3lim 2lim 2 x x x x      3 2  3 2  2 2  2 18  0 2 3 2 2 1 lim x 3 2 2 x  x x    2 2 3 2 2 lim( 1) 5 lim(3 2 2) 18 x x x x x       