沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第2章 导数与微分 2.4 高阶导数

第四节高阶导数一、高阶导数的定义二、求高阶导数举例三、高阶导数的运算法则

二、求高阶导数举例 第四节 一、高阶导数的定义 高阶导数 三、高阶导数的运算法则

一、高阶导数的定义1. 引例变速直线运动s = s(t)ds速度即v=s'V=dtdydds加速度a-dtdtdt即a=(s')

一、高阶导数的定义 s  s(t) 速度 即 v  s 加速度 , d d t s v  t v a d d  ) d d ( d d t s t  即 a  (s) 1. 引例 变速直线运动

2.定义(1)如果f(x)的导数f(x)在点x.处可导,即f'(xo + Ax) - f'(xo)limf"(xo)=[f'(x)]x=x0AxAr→>0存在，则称[f'(x)]为函数,f(x)在点x.处的x=X0二阶导数，并称f(x)在x=x处二阶可导，记作d? f(x)d2V或f"(xo), J"|x=xo'dx2X=X0x=xodx2

2. 定义 (1) 如果 f (x)的导数 f (x)在点x0处可导, 即 0 f ( x )  x f x x f x f x x x x             ( ) ( ) [ ( )] lim 0 0 0 0 存在 则称 为函数 在点 0处的 0 , [ f ( x)] f ( x) x x x   二阶导数， ( ) , 并称f x 在x  x0处二阶可导 记作 . d d ( ) d d ( ), , 0 2 2 0 2 2 0 0 x x x x x x x f x x y f x y      或

(2) 若函数 y= f(x) 的导数 y'= f'(x) 在区间(a, b)上可导，则称 f'(x)的导数为f(x)的二阶导(函)数记作"或,即 "=(y)或dxdxdx2类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推。n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作j",j(4),v(h..d'yd* yd" y或dx3dxhdx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

(2) 若函数 y  f (x) 的导数 y  f (x) 在区间(a, b) 或 , d d 2 2 x y 即 y  ( y) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y  类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n  1阶导数的导数称为 n 阶导数 , y , , (4) y ( ) , n  y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的二阶导(函)数 , 记作 y f (x)的导数为 依次类推 , 分别记作 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 . 上可导, 则称

例1设x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值。解一方程两边对x求导得4x3 - y-xy' + 4y"y'= 04x3 -y将 x=0,=1代入(1)式得(1)x-4y将方程(1)两边再对x求导,注意方程(I)右端的v仍然是x的函数J"= (4x*-J)' (x-4y)-(4x*- ) (x-4y)(x -4y3)2(12x2 - y) (x-4y3)-(4x3 - y)·(1-12y2 . y)(2)(x-4y3)1将x=0, J=1, Jx= =二代入(2)式得x=016J=l

例1 1, (0,1) . 设 x 4  xy  y 4  求y在点 处的值 解一方程两边对x求导得 3 3 4x  y  xy  4 y y  0 将方程(1)两边再对x求导, 3 3 3 3 3 2 (4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 ) ( 4 ) x y x y x y x y y x y            4 1 1  0    y x y 将 x  0, y  1代入(1)式得 . 16 1 1  0     y x y 3 3 4 (1) 4 x y y x y     2 3 3 2 3 2 (12 ) ( 4 ) (4 ) (1 12 ) (2) ( 4 ) x x y x y y x y y         y     注意方程(1)右端的y仍然是x的函数 将 代入(2)式得 4 1 0, 1, 1    0    y x y y x

设x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值解二方程两边对x求导得(1)4x3- y-xy'+4yy= 0代入x=0,y=1得yx=0 =y=1将方程(1)两边再对x求导得12x2-2y'- xy" +12y(y') + 4yy" = 01得代入x=0,y=1,J1x=0=016y=1y=1

1, (0,1) . 设 x 4  xy  y 4  求y在点 处的值 解二方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x  y  xy  y y  代入 x  0, y  1得 ; 4 1 1  0    y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x  y  xy  y y  y y  得4 1 1  0    y x 代入 x  0, y  1, y . 16 1 1  0     y x y

隐函数的二阶导数求法用复合函数求导法则求出的隐函数一阶导数的表达式通常既含有自变量x，也含有因变量y。在求二阶导数时，仍然将>看作x的函数，按复合函数求导法则来求导

隐函数的二阶导数求法 用复合函数求导法则求出的隐函数一阶导数 的表达式通常既含有自变量x，也含有因变量y。 在求二阶导数时，仍然将y看作x的函数， 按复合函数求导法则来求导

-V练习设x-y+siny=0,求dx?2解 将方程两边求导数，得2dydx用复合函数求导法则2- cos y注意变量y是x的函数2d解得dxcosVd'y(2 - cos y)sin y-4sin y2dx2(2 - cos y)3(2 -cos y)2 - (2 -cos y)3

练习 . d d sin 0, 2 1 2 2 x y 设 x  y  y  求 解 将方程两边求导数, 得 d 2 , d 2 cos y x y   , 2 cos 2 d d x y y    2 2 d d x y 2 (2 cos ) 2  y x  (2  cos y) 2 (2 cos ) sin 2 y y    x  y 3 4 sin . (2 cos ) y y    用复合函数求导法则, 注意变量y是x的函数. 解得

x= acos例2 求由方程表示的函数的二阶导数、y=asin'tdy3a sin’ t costdydt解-tantdxdx3acos’ t(- sin t)dtd2d(-tant)"sec'didx?-3acos’tsint(acos' t)'dxdxsec*t3asint

例2 解 . sin cos 3 3 求由方程 表示的函数的二阶导数      y a t x a t dt dx dt dy dx dy  3 cos ( sin ) 3 sin cos 2 2 a t t a t t    tant ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y  ( cos ) ( tan ) 3     a t t a t t t 3 cos sin sec 2 2    a t t 3 sin sec 4 

二、求高阶导数举例1.逐阶求导法：按高阶导数的定义逐阶求导例3设 y=arctanx,求f"(O),f"(O)-2x1解(1+x2)2C1+x+x2(3x2 1)-2x2(1 + x2)3(1+ x-2xf"(0)0 = 0;(1 + x3)2/x=0 2(3x2 - 1)-2.f"(O)x=0(1 + x2)3

二、求高阶导数举例 1. 逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导. 解 2， 1 1 x y    ) 1 1 ( 2     x y 2 2 (1 ) 2 x x    ) (1 ) 2 ( 2 2      x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x    例3 设 y  arctan x, 求f (0), f (0). 2 2 0 (1 ) 2 (0)       x x x f  0; 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0)      x x x f  2