《信号与系统 Signals Systems》课程教学资源（PPT课件讲稿）Chapter 04 连续时间傅里叶变换（LTI系统的频域分析）

Chapter 4 连续时间傅里叶变换 LTI系统的频域分析 非周期信号的表示 LTI系统的非周期信号响应 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

Chapter 4 连续时间傅里叶变换 LTI系统的频域分析 ● 非周期信号的表示 ● LTI系统的非周期信号响应

40引言 X() 2si2→x=2si2)=2mo ko T ko O=Koo 周期信号 T T-T T, T XK T 2T, o=Koo 2Sin oT, 2丌 discrete signals of a 丌 2丌 TI 0=Ko T ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

4.0 引言 X j ( )  0 2 0 T T   →  = → 0   = k F s 1 2sinT  1 2T ( ) 0 | X j   =k = of  1 0 1 0 2sin( ) k k T x k T   = 周期信号 0 1 0 2sin( ) k k T Tx k    = 0 1 2sin( ) k T     = =

2丌 T→ x 非周期信号 Tx=X(o) minot, :2T, 连续时间的O 2 丌 2丌 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

0 2 T , 0 T  →  = →  F s 非周期信号 x(t) t 1 连续时间的 1 2sinT    1 2T = X j ( )  −T1 T1

2丌 周期信号 非周期信号 x(joJo=ko x() 2丌 ∑ k=-∞ T→)∞ x(t X(oedo 2丌J-∞ 「x(eh Q1→>0 X(jo)= x(t)e -Jot X(koo)=X(jo=kao ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

0 0 T → ⎯⎯⎯→→ 0 0 0 1 ( ) 2 ( ) k k k T jk t jk t x t Tx e Tx x t e dt     + =−−  =   =    周期信号 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j t j t x t X j e d X j x t e d      + − + − −  =  =   非周期信号 0 X j k ( )    = 0 0 ( ) ( ) k X jk X j     = = 2T 

41非周期信号的表示: 连续时间傅里叶变换 41.1非周期信号傅里叶变换的导出 周期信号 x()此信号可以看成是由 个非周期信号延拓而成 2丌 2T TT 0 T T 2T → 非周期信号 x() 此信号可以看成是一个 周期信号的一个周期 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

4.1 非周期信号的表示: 连续时间傅里叶变换 4.1.1 非周期信号傅里叶变换的导出 周期信号 0 2 T   = x t( ) −2T −T T 2T 2 T − 2 0 T t 非周期信号 x t( ) t 0 T →  此信号可以看成是由一 个非周期信号延拓而成 此信号可以看成是一个 周期信号的一个周期

∑xe" 2丌 =1|x(t) ∑Txe k=-∞ 2 +0 x(t)e jkoot x(t e oo dt 定义: X(lockon =X(jOO )=TxR X(j0) r(tejon X(j0) O=koo X(koo) x() oo e 2丌 面积 Xgo) a=koo x(1)→>x(t) →>0 X(j0)e10 Koo )e/b Cn→>0 → ∑a→d ot X X￥(jO)edo 2丌 J-00 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

 ( ) j t X j e   0 2T  = 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 k jk t x t X jk e     + =− =   0 2 0 2 ( ) 1 ( ) k k T k T jk t jk t x t x e x x t e T   + =−− −  =  =   0 0 0 1 ( ) 2 ( ) k k k jk t jk t x t Tx e Tx x t e dt   + =− + − −  =   =    0 1 2T    = 定义 : ( ) ( ) j t X j x t e dt   + − − =  2  0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) k k k k X j X jk Tx x X j X jk T T         = =  = =  = =  3 0 ( ) | j t k X j e     = T →  0  → 0 0 k 0 0 ( ) j t X jk e   面积 0 0 x t x t ( ) ( )  d + + − −  →   →    1 ( ) ( ) 2 j t x t X j e d     + − =  1

于是,对非周期信号,有傅里叶变换对: x0)=2x(0)m①反复杂伯号∑系数(o.基本信号(o 2丌 J-00 X(jio)=|x()eot②正 系数()=复杂信号(与)基本信号(o) 的相似性 于是,有另一种计算傅里叶级数系数的方法 O X(0)=X(j0 T o=k F→X(jio) 周期 x(t)的频谱 非周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数的系数 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

0 1 ( ) k x X jk T =  0 1 ( ) X j k T    = = 0 2 T  3  = 于是,对非周期信号,有傅里叶变换对: 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j t j t x t X j e d X j x t e dt       + − + − −  =    =    1 2 反 正 于是,有另一种计算傅里叶级数系数的方法: ( ) j t e   复杂信号＝系数（  ）基本信号（ ） 周期信号的傅里叶级数的系数 周期 x(t)的频谱 x t( ) F X j ( )  非周期信号的傅里叶变换 系数（  ）＝复杂信号（与）基本信号（ ） 的相似性

412傅里叶变换的收敛性 1.x()绝对可积:1x(0)t<+ 2x()在任何有限的区间内,只有有限个最大值和最小值 3x()在任何有限的区间内,只有有限个不连续点, 并且在每个不连续的点都必须是有很值 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

4.1.2 傅里叶变换的收敛性 1. x(t) 绝对可积 : 2. x(t) 在任何有限的区间内,只有有限个最大值和最小值 3.x(t)在任何有限的区间内,只有有限个不连续点, 并且在每个不连续的点都必须是有很值 | ( ) | x t dt + −   +

4.1.3连续时间傅里叶变换举例(以后作为基本变换对使用 4.1> x(t)=el(1)2>X() a>0)X(j0)称为x(t)的频谱 J/0+ <证 ②X(jO) at x(t)e Jat dt=e u(t)e Jo dt 0 o e(ata) de ()+a)t (i0+a) e (a+a )10 J0+a J0+a X(o △(10)=-tan(2 (P207图) 0+a ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

1 ( ) ( ) ( ) at x t e u t X j j a   − = ⎯→ = + (a>0) F X j x t ( ) ( )  称为 的频谱 4.1.3 连续时间傅里叶变换举例 ( 以后作为基本变换对使用) 2 2 ( ) ( ) j t X j x t e dt   + − − =  0 ( ) j a t e dt  + − + =  1 ( ) 0 | j a t e j a   + − + = + a  0 (P207图) 2 2 1 X j ( ) ; a   = + 1 X j ( ) tan ( ) a   − = − ( ) at j t e u t e dt  + − − − =  0 at j t e e dt  + − − =  0 1 ( ) ( ) j a t de j a   + − + = − +  1 j a  = +

4.1.3连续时间傅里叶变换举例(以后作为基本变换对使用 ≮x(ju) XGM)I n/4 2 b) 图4.5例4.1中信号x(t)=e“a(t),a>0的傅里叶变换 ProfJianyu Yang:Understanding of Signals Systems

4.1.3 连续时间傅里叶变换举例 ( 以后作为基本变换对使用)