复旦大学：《离散数学》课程教学讲义（集合论）第三章 函数

第三章函数 3.1函数的基本概念 3.2逆函数与复合函数 3.3集合的特征函数

第三章 函数  3.1 函数的基本概念  3.2 逆函数与复合函数  3.3 集合的特征函数

函数回顾 中学期间所学的函数 函数特点:自变量和应变量 函数类型

前言  函数回顾 中学期间所学的函数 函数特点：自变量和应变量  函数类型

3.1函数的基本概念 函数及其术语的定义 定义3.1(函数) 设A和是两个任意集合,f是从倒到的的 二元关系。若f具有性质 (1)f的定义域Dom′=A; (2)如果(ab,(ab∈,则b=b。 则称关系f是从A到硝函数,记为fAB,或 A丶B。称b为a的象,a为b的原象,记为 b=(a)f的值域记为尺又称f为从A到B的映 射

3.1 函数的基本概念  一 函数及其术语的定义  定义3.1（函数） 设A和B是两个任意集合，f 是从A到B的 二元关系。若f 具有性质： （1）f 的定义域Dom f=A； （2）如果(a, b)，(a, b’)f，则b=b’。 则称关系f 是从A到B的函数，记为f:AB，或 AB。称b为a的象，a为b的原象，记为 b=f(a)。f 的值域记为Rf。又称f 为从A到B的映 射

3.1函数的基本概念 函数:一种特殊的关系 函数C关系 函数≠关系 给出关系,根据函数定义判定是否是 函数

3.1 函数的基本概念  函数：一种特殊的关系 函数关系 函数关系 给出关系，根据函数定义判定是否是 函数

3.1函数的基本概念 例:设A=1234B={abC从A到的 关系: R1=(1a(2b(3c R2=1(1ab12b3c(4c R3=1a(2b(3b(4a DR1={1233=A不是函数。 DR2=1234=A但(1a(1b∈R2故不 是函数。 R是函数,满足函数的定义

3.1 函数的基本概念  例：设A={1,2,3,4}, B={a,b,c}, 从A到B的 关系:  R1={(1,a), (2,b), (3,c)},  R2={(1,a), (1,b), (2,b), (3,c), (4,c)},  R3={(1,a), (2,b), (3,b), (4,a)}  DR1={1,2,3}A, 不是函数。  DR2={1,2,3,4}=A, 但(1,a),(1,b)R2, 故不 是函数。  R3是函数，满足函数的定义

例:设A=1a},定义: AXA-P(A如 下:我xy=44y m判断下列各式是否成立: 1)x)= 2)10)={xt 3)1a3={ta3 4fa, ia=ta ta, ta3 西安交通大学1996年考研

 例：设A={, a, {a}}，定义f:AAP(A)如 下：f(x, y)={{x}, {x,y}}  判断下列各式是否成立：  1) f(, )={{}}  2) f(, )={, {}}  3) f(a, {a})={{a}}  4) f(a, {a})={{a}, {a, {a}}}  西安交通大学1996年考研

1(则=2}=={ 所以1)成立,2)不成立; l沙={ tan ia ta 所以3)不成立,4)成立;

 f(, )={{}, {, }}={{}, {}}={{}}  所以1)成立，2)不成立；  f(a, {a})={{a}, {a, {a}}}  所以3)不成立，4)成立；

3.1函数的基本概念 定义3.2(象,原象) 设函数f:AB,XA,yB,定义: (×)=a)a∈ 称(X是在F下X的象 f-(y=ta∈A1(a)∈y 称f(是在F下)的原象

3.1 函数的基本概念  定义3.2 （象，原象） 设函数f：AB，XA，YB，定义： f(X)={f(a)|aX} 称f(X)是在f 下X 的象。 f -1 (Y)={aA| f(a)Y} 称f -1 (Y)是在f 下Y的原象

例3.3/*象,原象的概念* ■设A={1,2,3},B={a,b,c,d,g={(1,a),(2,C) (3,C}从A到B的一个函数。S={1},T={1,3}, U={a},V={a,c} g(S)={a},g(T)={a,c} g1(U)={1},g-(V)={1,2,3

 例3.3 /*象，原象的概念*/  设A={1, 2, 3}, B={a, b, c, d}, g={(1, a), (2, c), (3, c)}从A到B的一个函数。S={1}，T={1, 3}， U={a}，V={a, c}。  g(S)={a}，g(T)={a, c}  g-1(U)={1}，g-1(V)={1, 2, 3}

3.1函数的基本概念 二满射、内射、双射 定义3.3(满射、内射、双射) (1)设AB,若R=B,则称f为满射 (到上的) (2)设AB若aa2=A,a有 fa=f(a2),则称f为内射(一对的) (3)设f:AB,若是满射且是内射, 则称为双射(一一对应的)

3.1 函数的基本概念  二 满射、内射、双射  定义3.3（满射、内射、双射） （1）设f：AB，若Rf=B，则称f为满射 （到上的）。 （2）设f：AB，若a1, a2A， a1a2有 f(a1)f(a2)，则称f为内射（一对一的）。 （3）设f：AB，若f是满射且是内射， 则称f为双射（一一对应的）