复旦大学：《离散数学》课程教学讲义（集合论）第二章 关系（主讲：吴永辉）

第二章关系 21二元关系 2.2关系的性质 2.3关系的运算 2.4关系数据库的一个实例 2.5关系的闭包 2.6等价关系与划分 27次序关系

第二章 关系 2.1 二元关系 2.2 关系的性质 2.3 关系的运算 2.4 关系数据库的一个实例 2.5 关系的闭包 2.6 等价关系与划分 2.7 次序关系

引言 在现实生活中,集合与集合之间还存在着某 种联系。 现实世界中的二元关系 1,同一个集合中的二元关系:同学关系、同 桌关系 2,两个不同集合之间的二元关系:师生关系、 学生和选修课程的关系 现实世界中的多元关系 学生、课程和任课教师的关系

引言  在现实生活中, 集合与集合之间还存在着某 种联系。  现实世界中的二元关系 1，同一个集合中的二元关系：同学关系、同 桌关系…… 2，两个不同集合之间的二元关系：师生关系、 学生和选修课程的关系……  现实世界中的多元关系 学生、课程和任课教师的关系

关系在现实世界和信息世界中的表示 关系在现实世界中的表示 表格 关系在信息世界中的表示 数据库

关系在现实世界和信息世界中的表示  关系在现实世界中的表示： 表格  关系在信息世界中的表示 数据库

形式化和非形式化的描述 形式化描述 数学、精确无二义、难理解 非形式化描述 自然语言、不精确、易理解

形式化和非形式化的描述  形式化描述 数学、精确无二义、难理解  非形式化描述 自然语言、不精确、易理解

2.1二元关系 定义2.1(二元关系) 设和B是任意两个集合,A子集R称为从 A到硝二元关系。当A=时,称R为A上的二元关 系。若ab∈R,则称丐b关系R,记为aRb 术语: abcR:丐没有关系R R=O:空关系 R=AB:全关系

2.1 二元关系  一 定义2.1（二元关系） 设A和B是任意两个集合，AB的子集R称为从 A到B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关 系。若(a, b)R，则称a与b有关系R，记为aRb。 术语： (a, b)R：a与b没有关系R R=：空关系 R=AB：全关系

由定义2.1,得出: 1)二元关系是集合; 2)二元关系的元素是有序对

 由定义2.1，得出：  1）二元关系是集合；  2）二元关系的元素是有序对

2.1二元关系 例:设A={,2,3,4,5},A上共有多少个二 元关系? 因为A上的二元关系R是Ax4的子集,是AxA 的幂集中的元素 酉安交通大学1998考研

2.1 二元关系  例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上共有多少个二 元关系？  因为A上的二元关系R是AA的子集，是AA 的幂集中的元素。  西安交通大学1998考研

解: 因为A上的二元关系R是AxA的子集, Ax4|=25,|P(Ax4)=23 所以A上的二元关系R的个数是22

 解：  因 为 A 上的二元关系 R 是 AA 的子集， |AA|=25，|P(AA)|=225  所以A上的二元关系R的个数是225

2.1二元关系 二定义2.2(定义域,值域) 设R是从4到的的二元关系,A的一个子集{叫存 在b,使得(ab∈R称为R的定义域,记为D0mR 的一个子集{圳存在a,使得b∈称为R的 值域,记为RaR。 A称为R的前域,为R的陪域,并且DOm RcA,RanR∈B 例21,2.2,23

2.1 二元关系  二 定义2.2（定义域，值域） 设R是从A到B的二元关系，A的一个子集{a|存 在b，使得(a, b)R}称为R的定义域，记为Dom R。 B的一个子集{b|存在a，使得 (a, b)R}称为R的 值域，记为Ran R。 A称为R的前域，B称为R的陪域，并且Dom RA，Ran RB。 例2.1, 2.2, 2.3

例2.1整除关系 设A=23号B=13456定义从A 的二元关系R:白b∈R台a整除b R=(24(263(36)4 Dom r=i2 3, 4 Ran r= 34 67

 例2.1 整除关系 设A={2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6, 7}, 定义从A到 B的二元关系R: (a, b)Ra整除b。 R={(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} Dom R={2, 3, 4}, Ran R={3, 4, 6}