清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1模糊逻辑的数学基础 4.1.1 模糊集合 4.1.2 模糊集合的表示方法 4.1.3模糊集合的运算 4.1.4隶属函数确定方法 4.1.5模糊关系 可
4.1 模糊逻辑的数学基础 4.1.1 模糊集合 4.1.2 模糊集合的表示方法 4.1.3 模糊集合的运算 4.1.4 隶属函数确定方法 4.1.5 模糊关系
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1.1 模糊集合 ·在人类的思维中，有许多模糊的概念，如大、小、冷、 热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述； 有的概念具有清晰的内涵和外延，如男人和女人。我们把 前者叫做模糊集合，用大写字母下添加波浪线表示，如4 表示模糊集合，而后者叫做普通集合（或经典集合）。 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素 的总合叫做模糊集合。 ·例如，胖子就是一个模糊集合，它是指不同程度发胖的 那群人，它没有明确的界线，也就是说你无法绝对地指出 哪些人属于这个集合，而哪些人不属于这个集合，类似这 样的概念，在人们的日常生活中随处可见
4.1.1 模糊集合 • 在人类的思维中，有许多模糊的概念，如大、小、冷、 热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述； 有的概念具有清晰的内涵和外延，如男人和女人。我们把 前者叫做模糊集合，用大写字母下添加波浪线表示，如A 表示模糊集合，而后者叫做普通集合(或经典集合)。 • 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素 的总合叫做模糊集合。 • 例如，胖子就是一个模糊集合，它是指不同程度发胖的 那群人，它没有明确的界线，也就是说你无法绝对地指出 哪些人属于这个集合，而哪些人不属于这个集合，类似这 样的概念，在人们的日常生活中随处可见
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 隶属函数 在普通集合中，曾用特征函数来描述集合，而对于模 糊性的事物，用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为 模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊 性事物的归属，可以把特征函数取值0、1的情况，改为对 闭区间[0,1]的取值。这样，特征函数就可取0~1之间的 无穷多个值，即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑 函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数一一隶属函数， 它是模糊数学中最基本和最重要的概念，其定义为： 用于描述模糊集合，并在[0,1]闭区间连续取值的特征函 数叫隶属函数，隶属函数用4(x)表示，其中表示模糊 集合，而x是的元素，隶属函数满足： 0≤u4(x)≤1
隶属函数 在普通集合中，曾用特征函数来描述集合，而对于模 糊性的事物，用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为 模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊 性事物的归属，可以把特征函数取值0、1的情况，改为对 闭区间[0，1]的取值。这样，特征函数就可取0～1之间的 无穷多个值，即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑 函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数——隶属函数， 它是模糊数学中最基本和最重要的概念，其定义为： 用于描述模糊集合，并在[0，1]闭区间连续取值的特征函 数叫隶属函数，隶属函数用μA (x)表示，其中A表示模糊 集合，而x是A的元素，隶属函数满足： 0≤μA (x)≤1
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 表示青年的集合 有了隶属函数以后，人们就可以把元素对模 糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是 一个集合，用普通集合表示时为集合A,并且有 A={x15岁≤x≤25岁} 则这时的特征函数如图4-1(a)所示。如果用模糊 集合表示，并且有 业4(x)=e9 则这时的隶属函数如图4-1(b)所示
表示青年的集合 有了隶属函数以后，人们就可以把元素对模 糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是 一个集合，用普通集合表示时为集合A，并且有 A＝{x|15岁≤x≤25岁} 则这时的特征函数如图4–1(a)所示。如果用模糊 集合A表示，并且有 μA (x)＝e 则这时的隶属函数如图4–1(b)所示。 2 ) 7 20 ( − − x
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS (x) ma()1 0 510152025303540x 510152025303540五 (a) (6) 图4-1春年的特征函数和隶属函数 (a)特征函数 (b)隶属函数
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 从图4-1中可以看出，隶属函数较为正确地表示 了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那 样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具 有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心， 其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就 越小。 ·这样，一个模糊的概念，只要指定论域中各 个元素对它的符合程度，这个模糊概念也就得到 一 种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作 元素对集合的隶属程度，那么指定各个元素的隶 属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可 由隶属函数所刻划
• 从图4–1中可以看出，隶属函数较为正确地表示 了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那 样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具 有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心， 其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就 越小。 • 这样，一个模糊的概念，只要指定论域U中各 个元素对它的符合程度，这个模糊概念也就得到 一种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作 元素对集合的隶属程度，那么指定各个元素的隶 属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可 由隶属函数所刻划
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1.2模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界，只能有一种描述方法， 就是用隶属函数描述。Zadeh于1965年曾给出下列定义： 设给定论域U,4为倒[0,1]闭区间的任一映射， 严A:U0,1] 都可确定的一个模糊集合4,4称为模糊集合的隶属函 数。x∈乃，”4()称为元素x对的隶属函数，即x隶属于4 的程度。 当4(x)值域取值[0,1]闭区间两个端点时，即取值 {0,1}时，4，(x)即为特征函数，4便转化为一个普通集 合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广，而普通集 合则是模糊集合的特殊情况
4.1.2 模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界，只能有一种描述方法， 就是用隶属函数描述。Zadeh于1965年曾给出下列定义： 设给定论域U，μA为U到[0，1]闭区间的任一映射， μA：U [0，1] x μA (x) 都可确定U的一个模糊集合A，μA称为模糊集合A的隶属函 数。x∈U，μA (x)称为元素x对A的隶属函数，即x隶属于A 的程度。 当μA (x)值域取值[0, 1]闭区间两个端点时，即取值 {0, 1}时，μA (x)即为特征函数，A便转化为一个普通集 合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广，而普通集 合则是模糊集合的特殊情况
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 1.有限论域 若论域，且论域U={x1,x2,,x},则U上的模 糊集合A可表示为： HA() 4= = 44(x),4(x2) LA(xn) i=1 X1 X2 Xn 其中：4（x)（i=1,2, n)为隶属度，x为论域中 的元素。当隶属度为0时， 该项可以略去不写。例如： =1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d+0/e 或 =1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d 注意，与普通集合一样，上式不是分式求和，仅是一种表 囊鹏晨度案晨養秀中香藏省露装示相应
1.有限论域 若论域U，且论域U＝{x1，x2，…，xn }，则U上的模 糊集合A可表示为： A＝ ＝ 其中：μA (xi )（i＝1，2，…，n）为隶属度，xi为论域中 的元素。当隶属度为0时，该项可以略去不写。例如： A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d ＋ 0/e 或 A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d 注意，与普通集合一样，上式不是分式求和，仅是一种表 示法的符号，其分母表示论域U中的元素，分子表示相应 元素的隶属度，隶属度为0的那一项可以省略。 = n i i A i x x 1 ( ) ~ n A A A n x x x x x x ( ) ...... ( ) ( ) 2 2 1 1 + + +
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 2.无限论域 在论域是无限的情况下，上面的记法就不行了，为此 需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间，这时的模糊集合4可以用实函数来表 示。不论论域是否有限，都可以表示为： 4=w A(x) 其中：积分号不是高等数学中的积分意义，也不是求和号， 而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式。 当然，给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集
2．无限论域 在论域是无限的情况下，上面的记法就不行了，为此 需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间，这时U的模糊集合A可以用实函数来表 示。不论论域是否有限，都可以表示为： A＝ 其中：积分号不是高等数学中的积分意义，也不是求和号， 而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式。 当然，给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集。 x→U A x (x) ~
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1.3模糊集合的运算 由于模糊集和它的隶属函数一一对应，所以 模糊集的运算也通过隶属函数的运算来刻划。 (1)空集。模糊集合的空集是指对所有元素x,它 的隶属函数为0，记作，即 4=Φ台业4()=0 (2) 等集。两个模糊集4、B,若对所有元素x,它 们的隶属函数均相等，则4、也相等，即 A=Ba()=严B(
4.1.3 模糊集合的运算 由于模糊集和它的隶属函数一一对应，所以 模糊集的运算也通过隶属函数的运算来刻划。 ⑴ 空集。模糊集合的空集是指对所有元素x，它 的隶属函数为0，记作，即 A＝ μA (x)＝0 ⑵ 等集。两个模糊集A、B，若对所有元素x，它 们的隶属函数均相等，则A、B也相等，即 A＝B μA (x)＝μB (x) Φ