第二节函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则基本求导法则与导数公式小结思考题
◼ 函数的和、差、积、商的求导法则 ◼ 小结 思考题 ◼ 反函数的求导法则 ◼ 基本求导法则与导数公式 ◼ 复合函数的求导法则 第二节 函数的求导法则
一、函数和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u(x),v(x)在点x处可导则它们的线性组合、积、商在点x处也可导并且(1)[αu(x)+ βv(x)'= αu'(x)+ βv(x); α,βe R.(2) [u(x) ·v(x)' = u'(x)v(x)+u(x)(x);u'(x)v(x)Ou(x)v'(x)u(x)(3)(v(x) ± 0).v?(x)x
定理1 如果函数u( x) , v( x)在 点 x处可导, (1)[u( x) + v( x)] = 并且 则它们的线性组合、积、商在点 x处也可导, u ( x) + v ( x); (2)[u( x) v( x)] = u( x)v( x) + u( x)v( x) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x (v( x) 0). , R. 一、函数和、差、积、商的求导法则 = ( ) ( ) (3) v x u x
(1) [cu(x)+ βv(x)l' = u'(x)+ βv'(x);α, β e R证设 f(x)= αu(x)+ βv(x),则由导数的定义有f(x+h)- f(x)f'(x) = limhh→>0[αu(x + h) + βv(x + h)]-[αu(x) + βv(x)]= limhh->0α[u(x + h) -u(x)]+β[v(x + h) -v(x)]= limhh-→>0v(x+h)-v(x)u(x +h)-u(x)+ lim = limαThhh→>0h-→0= cu'(x) + βv'(x)
证 则由导数的定义有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − + → = u ( x) + v ( x). (1)[u( x) + v( x)] = u ( x) + v ( x);, R. 设 f (x) = u( x) + v( x), h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 + + + − + = → 0 lim → = h h [u(x + h) − u(x)] + [v(x + h) − v(x)]
u'(x)v(x)-u(x)v'(x)u(x)(v(x) ± 0)v(x)v?(x)证设V=则u=yv!由乘积的导数：(2) [u(x) · v(x))' =u'(x)v(x) +u(x)v(x):得u'=yv+yv',故V(v±0)VDv'(x特别即2 (x(x)1
= ( ) ( ) v x u x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 − v x v x u x v x u x v x , v u 证 设 y = 则u = yv. (2)[u( x) v( x)] =u( x)v( x) + u( x)v( x) ; 由乘积的导数: 得 u = 故 v u yv y − = v v v u u − = ( 0) 2 − = v v u v uv y v + yv , 特别 = ( ) 1 v x ( ) ( ) 2 v x − v x . 2 v u v uv v u − = 即
则u+v+w推论若u、V、w在点x处均可导uvw在同一点x处也可导且(u+v+ w) = u' +y' +w'(uvw) = u'vw + u'w + uvw
推论 若 u 、 v 、 w在点x处均可导, ( ) = u + v + w ( ) = uvw 则u+ v + w , uvw在同一点x处也可导, 且 v + w uvw + uvw u + uvw +
例1 求y=x3-2x2+sinx的导数。解 J'=3x2-4x +cosx.例2 求 y= sin2x·lnx的导数。解 : y= 2sin x·cosx·ln xy' = 2cosx.cosx.lnx + 2sin x .(-sin x).ln x1+ 2sin xcos x .x1= 2cos 2x ln x + = sin 2x.x
例 1 2 sin . 求 y = x3 − x2 + x 的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin2x ln x 的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x + 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
'y-uvu例3 求 y=tanx的导数。sin x解 y=(tan x):*-cos x(sinx)'cos x- sinx(cos x)cos? xcos? x + sin? x1seo.cos"xcos" x(tanx)' = sec’ x.即(cot x)' = -csc2 x.同理可得
例3 求 y = tan x 的导数 . 解 y = (tan x) x 2 cos = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 x = x 同理可得 (cot x) = x x cos sin 即 csc . 2 = − x 2 v u v uv v u − = (sinx)cos x− sin x(cos x)
(例4 求 y= secx的导数。sin x_-(cos x)解 y'=(sec x)'= (cos" x2cos'xcosx= secx.tanx即(secx)'= secx·tanx(C2GX)= - C2CX· COT X同理可得
例4 求 y = sec x 的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = (csc x) = −csc x cot x 同理可得 = ( ) 1 v x ( ) ( ) 2 v x − v x 即 (sec x) = sec x tan x
用求导法则与用定义求导数时，结果有时不一致这是为什么？如已知f(x)=/x sinx,求f'(O)1sinx+x/3解f'(x)cosx.3x2/3f'(0)无意义,所以,f'(0)不存在上述解法有问题吗？注意问题出在x=0处f(x)不连续.因此f(x)可能在不连续点处不代表该点处的导数值，1sinx+/x cosx, 当x±0时3x2/3f'(x) =当x=0时,0,用定义！
用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致, 这是为什么? 如已知 ( ) sin , (0). 3 f x = x x 求f 无意义, 解 sin cos . 3 1 ( ) 1 3 2 3 x x x x f x = + f (0) 所以, f (0) 不存在. 上述解法有问题吗? 注意问题出在 x = 0处f (x) 不连续.因此 f ( x) 可能在不连续点处不代表该点处的导数值. 当x 0时, f ( x) = 当x = 0时, 0, 用定义! sin cos , 3 1 3 2 3 x x x x +
第一章第九节定理2：单调的连续函数必有单二、反函数求导法则调的连续反函数定理2如果函数x= f(v)在某区间I.内单调可导且f'(y)0,那末它的反函数y= f-l(x)在对应区间I,内也可导,且dy[f- (x)]}' =或dxdxf'(y)dy证M1lim[f-I(x)}' = limAy-0Arf'(y)Ar-0 AxAy反函数的导数等于直接函数导数的倒数
( ) 1 [ ( )] 1 f y f x = − 或 . d d 1 d d y x x y = 第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单 调的连续反函数. 定理2 如果函数x = f ( y)在某区间I y 内单调、 且f ( y) 0 , 那末它的反函数y = f −1 ( x)在 对应区间 内也可导, x I 且 可导 二、反函数求导法则 证 , x 任取x I 给x以增量x ( ) ( ) 1 1 y f x x f x − − = + − 连续, ( 0, ) x x x + x I 0, . 1 y x = x y lim 0, 0 = → y x ( ) 1 y f x − = 故 从而 有 0 lim x→ 0 lim y→ . ( ) 1 f y = = − [ ( )] 1 f x 因反函数的导数等于直接函数导数的倒数. y x x y = 1