《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用 3-07 第七节 曲率

曲率第七节弧微分曲率及其计算公式小结曲率圆与曲率半径■小结思考题

第七节 曲 率 ◼ 弧微分 ◼ 曲率及其计算公式小结 ◼ 曲率圆与曲率半径 ◼ 小结 思考题

为了得出曲线y=f（x的曲率公式，先计算弧长函数s对的微分，称为弧微分设函数,f(x)在区间(a, b) y内具有连续导数M基点: M,(xo,yo),M.M(x,y)为任意一点,tXoxx(1)曲线的正向与x增大的方向一致;规定(2)AM = s,当AM 的方向与曲线正向一致时,s取正号，相反时.s取负号

一、弧微分 为了得出曲线 y = f (x) 的曲率公式, 先计 算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分. ( , ), 0 0 0 M x y M(x, y)为任意一点, (2) AM ⌒ = s, s取正号, 规 定 相反时,s取负号. 设函数 f (x)在区间(a, b) 内具有连续导数. 基点: (1) 曲线的正向与x增大的方向一致; ⌒ 当AM 的方向与曲线正向一致时, x y O s x M 0 x M0

Vs= s(x)是单调增函数M/设M'(x+Ax,y+Ay),如图,Ay4sMM.设对应于x的增量Ax，弧 s4xHS的增量为s,那未tx + 4xXoxxAs= M,M'-M,M =MMIMM"-{MMMM'AS会于是(Ax)AxI MM'IMM(Ax) +(Ay)?()[(会)MM!MM(Ar)

s = s(x) 是单调增函数 . 设M(x + x, y + y), 如图， 设对应于x的增量x, s, s = M M 0 − M0 M = M M 于是  =        2 x s 2         x MM = 2 (x)           2 MM | MM | 2 | MM | 2          = MM | MM | 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x x y   +   2          = MM | MM |                  + 2 1 x y 弧 s 的增量为 那末 x y O s x M 0 x M0 x + x M s x y

（））（）M'Ay令Ax→0 取极限,M'→MAsM. MAxISMM即lim=1o1M-→MIMM'x+xXoxxAyds又±/1+y2lim得Ar-→>0Axdx： s= s(x)为单调增函数,故ds= ~1+ y'dx弧微分公式

=   x s 2         x s 2          = MM | MM |                  + 2 1 x y 令x → 0 取极限, M → M,                  +            2 2 1 | | x y MM MM | | | | lim MM MM M M   即 → = 1 又 y x y x =     →0 lim 得 = x s d d d 1 d . 2 故 s = + y x 弧微分公式 2 + 1+ y − s = s(x) 为单调增函数, x y O s x M 0 x M0 x + x M s x y

弧微分公式ds=/1+ydx如将 dx 写到根式内,得ds=/(dx)+(dy)ds = /1 + x'dy如曲线x= x(y),则x = p(t), dx =p'(t)dt如曲线为参数方程y = y(t), dy = yr'(t)dt,ds = p"(t) + y'2(t)dt如曲线以极坐标方程给出 p=p(①)x = p(0)cos0可化为参数方程形式= p()sinO代入公式,得ds = /[p'(0)P +[p(0)Pd

如将 d (d ) (d ) . 2 2 s = x + y 如曲线x = x( y),则 dx = (t)dt, d ( ) ( )d . 2 2 s =  t + t t d 1 d . 2 s = + x y    = =       ( )sin ( )cos y x 代入公式,得 d [ ( )] [ ( )] d . 2 2 s =   +    ds 1 y dx 2 弧微分公式 = +  dy =(t)dt,    = = ( ), ( ), y t x t    = ( ) 可化为参数方程形式 如曲线以极坐标方程给出 如曲线为参数方程 dx 写到根式内,得

二、曲率及其计算公式1.曲率的定义曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量M22M4S,PSM,M2ASNAsM,弧段弯曲程度转角相同弧段越大转角越大越短弯曲程度大

是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量. 弧段弯曲程度 越大 转角相同弧段 越短 1. 曲率的定义 曲率 转角越大 弯曲程度大 二、曲率及其计算公式 M1 M2 M3 1  2 S1 S2 M1 M2 N1 N2  S1 S2

V设曲线C是光滑的，M'340AsM,是基点 [MM|=[Asl,Mos Mα+4αaM→M切线转角为△αl.xAα定义弧段MM的平均曲率为KAsα曲线C在点M处的曲率为 K= limAsAs->0αdαda在 lim存在的条件下，K=ds4s4s-→0ds

s K   =  设曲线C是光滑的， . M0 是基点 M → M 定义 s K s   =  →  0 曲线C 在点M处的曲率为 lim s s ds d lim 0     = → 在 . d d s K  = M ⌒ M = s, 切线转角为 . 弧段MM的 平均曲率为 存在的条件下, x y O s s  C  +   M0 M M

(1)直线的曲率处处为零;注(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大2.曲率的计算公式设y=f(x)二阶可导，：tanα=y'1da有 α= arctany',dα :dx:K1+dsL7由ds =/1+ y2dx.:. K =(1 + y")2

2. 曲率的计算公式 (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , d = . (1 ) 2 3 2 y y K +    = 有 = arctan y , d 1 d . 2 由 s = + y x 注 , d d s K  2  ydx  = 1 1 + y

x = (t),设二阶可导，(y = y(t),d'yp'(t)y"(t)-"(t)y'(t)dy'(t)Up"(t)dxdxq(t)I y"由公式 K=3，(1 + y")2(p'(t)y"(t) -"(t)y'(t):K-3[" (t) + y"2 (t)]

   = = ( ), ( ), y t x t   设 . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t K        +    −    = , ( ) ( ) d d t t x y      = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 2 3 2 t t t t t x y         −   = , (1 ) | | 2 3 2 y y K +   = 二阶可导, 由公式

例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大?"K=解 y'=2ax + b,y"= 2a,3(1 + y2)2[2a..K=3[1 + (2ax + b)"]2b时,K最大，显然,当x2abb2-4ac文:为抛物线的顶点，2a4a：抛物线在顶点处的曲率最大

例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a K + +  = 显然, , 2 当 时 a b x = − ) 4 4 , 2 ( 2 a b ac a b − 又 − − 2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 为抛物线的顶点, ∴ 抛物线在顶点处的曲率最大. K最大