《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分 4-习题课

第四章不定积分习题课>教学要求>典型例题

第四章 不定积分 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课

教学要求一、1.理解原函数和不定积分的概念与性质2.熟练掌握基本积分公式3.熟练掌握换元与分部积分法4.会求简单有理函数的积分

1. 理解原函数和不定积分的概念与性质. 2. 熟练掌握基本积分公式. 3. 熟练掌握换元与分部积分法. 4. 会求简单有理函数的积分. 一、教学要求

典型例题二、}dx例1分步凑x In x In(In x)dlnxrd ln(In x)= In|In(In x) + CIn(ln x)In x In(In x)x[ tan /1+ x?例2dx1+x显凑= f tan/1+x d/1+x?= -Incos /1+ x2+C

例1 x x x x d ln ln(ln ) 1  分步凑 = ln ln(ln x) + C 例2 x x x x d 1 tan 1 2 2 + +   = ln(ln x) = − + x + C 2 ln cos 1 显凑 2 d 1+ x  = ln x ln(ln x) dlnx dln(ln x)  = + 2 tan 1 x 二、典型例题

+X例3dx1-x分析想用凑微分法,但不明显.应试一下1+ x解1t)an(H1+x+C1-x

例3 x x x x d 1 1 ln 1 1 2 − + −  分析 解 x x x x d 1 1 ln 1 1 2 − + −         − + = x x 1 1 ln 2 1 C x x  +      − + = 2 1 1 ln 4 1 想用凑微分法,但不明显.应试一下.       − + x x 1 1 dln

例4 设函数f(x)满足方程 /xf(x)dx=V1-x+求[ f(x)dx.x? sinxdx+C,解对方程两边求导得31Cx+x? sinx2 /1-x-[ f(x)dx=dx +x sin xdx?x(1-x)1d/x + (xd(-cosx)21-(Vx)=-arcsin Vx -xcosx+ sinx+C

例4 解 = − +  设函数f (x)满足方程 x f (x)dx 1 x  sin d + , 2 3 x x x C f (x)dx. 求 对方程两边求导得 x f (x) = + − − 1 x 1 2 1 x sin x 2 3 f (x) = (1 ) 1 2 1 x − x − + xsin x  dx  dx  dx  − = − x x d 1 ( ) 1 2 1 2  2  + xd(−cosx) = −arcsin x − xcos x + sin x +C

例5分子分母同除以x2dx+d(x原式=解xxx:x+C1+C

x x x d 1 1 4 2  + + 例5 解 原式= x x x x d 1 1 1 2 2 2  + + 分子分母同除以 2 x  − + = ) 2 1 ( 2 x x ) 1 d( x x − C x x +             − = 2 1 arctan 2 1 C x x +        − = 2 1 arctan 2 1 2

例6dx21-(x*-dxx+解原式=x8-12J4J(x* -1)(x* +1)1Inarctan x’+C84

例6 x x x d 1  8 − = −  1 8 x  − = 2 2 2 d ( ) 1 1 4 1 x x  + − 2 2 2 d ( ) 1 1 4 1 x x − + − = 1 1 ln 8 1 2 2 x x x + C 2 arctan 4 1  − + 2 4 4 d 4 ( 1)( 1) 1 x x x 1 4 x + ( 1) 4 − x − 2 1 2 dx 解 原式=

xer例7dxXxetx解0dx :I1+YUxXdxP0更为复杂2(1+ x)1dxdx取 u=xe,dv1+x(1 + x)V1X原式= xedx1+x1+xXretxe+C1+x1+ x

例 7解 x x xe x d ( 1 )  2 + = +  x x xe x d ( 1 ) 2 x e xx d ( 1 )  2 + u v − + = x e xx 2 ( 1 ) x xx e x d ( 1 ) 1  3 +− 更为复杂 取 , x u = xe , (1 ) d d 2 xx v + = = + =  2 ( 1 ) d xx v + x − 1 1 x xe x +−  1 1 x x xe x d 1( )  +  + x xe x + − = 1 e x x d  + x xe x + − = 1 e C x + + 原式 =

2lnx +例8分项dx2d解?原式-InxY()1-nxrJ x (Inx)In x1+Cx'Inx

( ) x x x x d ln 2ln 1  3 2 + x x x d ln2  3 ( ) x x x d ln1  3 2 + ( ) x x x d ln1  3 2 + ( )   − = − −  x x x x x x d1 ln 1 1 ln 1 1 2 2 2 ( ) x x x d ln1  3 2 + C x x = − + ln1 2 例 8 分项   2 1 d x  = ln x 1 − 解 原式 =

2*3xdx例943解人原式=3In2dt32In22t1R+C+CInT2(In 3 - In 2)t+13*+2*2(In 3 - lIn 2)

例9 2 3 ( ) 2 d 3 ( ) 1 2 x x x −   − x x x x x d 9 4 2 3  − = ) 1 2 3 ( ) 2 3 d( 2 3 ln 1 2 x x  − 1 d 2 3 ln 1 2 t t C t t + + − − = 1 1 ln 2(ln 3 ln 2) 1 . 3 2 3 2 ln 2(ln 3 ln 2) 1 x x C x x + + − − = t x ) = 2 3 令( 解 原式=