第二节定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长小结思考题
小结 思考题 一、平面图形的面积 二、体 积 三、平面曲线的弧长 第二节 定积分在几何学上的应用 1
平面图形的面积直角坐标情形二、极坐标情形2
平面图形的面积 一、直角坐标情形 二、极坐标情形 2
一、直角坐标系情形yVy= f(x)y= f2(x)yi= fi(x)xx+Axbo1oxAxaab曲边梯形的面积曲边梯形的面积A= "f(x)dxA = f'lf2(x) - fi(x)dx3
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx 3
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积解两曲线的交点x=y(0,0)(1,1)V=选x为积分变量 xE[0,1]面积元素 dA=(~x一x2)dx2'(/x - x°)dx=4=-331
例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y 4
说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量只能选x吗？
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？ 5
例 3计算由曲线y2=2x和直线y=x4所围成的图形的面积解两曲线的交点=xy2 = 2xy=x-4=2x→ (2,-2), (8,4) yE[-2,4]选为积分变量dA = 18.dA =A:dyy+221
例 3 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线 y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4 6
x = p(t)如果曲边梯形的曲边为参数方程y=y(t)曲边梯形的面积A:y(t)p'(t)dt.（其中t,和t,对应曲线起点与终点的参数值）在[tj,t,]（或[t,,l）上x=(t)具有连续导数,y=y(t)连续
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续. 7
VX例4求椭圆1的面积ax=acost解椭圆的参数方程y=bsint由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积，A = 4[" ydx = 4[’ bsin td(acos t)A sin’ tdt = πab.: 4ab08
例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab. 8
二、极坐标系情形e+de设由曲线r =β(O)及射线r =(0)θβ=α、=β围成一曲边扇de形，求其面积.这里，Φ()在[α,β]上连续，且Φ(①)≥0.x0=α面积元素dA=[(0)deAA= f"[p(0)do.曲边扇形的面积9
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 二、极坐标系情形 r = ( ) 9
例5求双纽线p2=α2cos20所围平面图形的面积。解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积V=xAA=4Ao* =acos20cos 2Ad = a?0210
例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1 10