第八章向量代数与空间解析几何(习题课）基本要求1典型例题
第八章 向量代数与空间解析几何 （习题课） ◼ 基本要求 ◼ 典型例题
一、基本要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件3.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用向量坐标表达式进行向量运算的方法4.掌握平面的方程和直线的方程及其求法会利用平面、直线的相互关系解决有关问题
1. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念及 其表示. 2. 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向 量积), 3.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表 达式 一、基本要求 了解两个向量垂直、平行的条件. 以及用向量坐标表达式进行向量运算的方法. 4. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法, 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题
5.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程6.了解空间曲线的参数方程、一般方程及空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
5. 理解曲面方程的概念, 6. 了解空间曲线的参数方程、一般方程及 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 了解常用二次曲面 的方程及其图形,了解以坐标轴为旋转轴的旋转 曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程
二、典型例题例1 己已知a=i,b=j-2k,=2i-2i+k,求一单位向量n使nlc,且 n,a,b共面解设n=xi +yi+zk,由题设条件得no[x?+ ? +z? = 1=12x-2y+z= 0n'lc2y+z= 0n'la×ba×b = (0,2,1)n"=+(i+i-)解得
例1 解 求一单位向量 ，使 ，且 共面． 已知 ， n n c n a b a i b j k c i j k , , 2 , 2 2 , 0 0 0 ⊥ = − = − + , 0 n xi yj zk 设 = + + 由题设条件得 1 0 n = n c ⊥ 0 n a b ⊥ 0 + = − + = + + = 2 0 2 2 0 1 2 2 2 y z x y z x y z 解得 ). 3 2 3 1 3 2 ( 0 n i j k = + − a b = (0,2,1) 二、典型例题
x+1Jy-1Z例2.求过点（2，1，3）且与直线32-1垂直相交的直线方程提示：先求二直线交点P.过已知点且垂直于已知直线的平面的法向量为(3,2，1)，故其方程为13(x - 2) +2(y -1) - (z -3) = 0化已知直线方程为参数方程，代入①式，可得交点P(,,)(2,1,3最后利用两点式得所求直线方程D(3,2,-1)z-3x-2y-1-1,1,0)24-1
例2. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程. 提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交 点 最后利用两点式得所求直线方程 4 3 1 1 2 2 − = − − = x − y z 的平面的法向量为 故其方程为 ① (2,1,3) (−1,1,0) (3,2,−1) 过已知点且垂直于已知直线 P
x+y-z-l=0在平面例3.求直线x+y+z=0x-y+z+1=0上的投影直线方程提示：过已知直线的平面束方程x+y-z-1+a(x-y+z+l)=0即(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0从中选择使其与已知平面垂直：(1+2)·1+(1-a)·1+(-1+ a)·1=0得几=－1，从而得投影直线方程J-z-1=0 +这是投影平面x+y+z=0
例3. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 + + = − − = 0 1 0 x y z y z 这是投影平面 x + y − z −1+ (x − y + z +1) = 0 即 使其与已知平面垂直： = −1, 从而得投影直线方程
x+5y+z=0例4.求过直线L：且与平面 x-4y-8zx-z+4=0元+12=0夹成1角的平面方程元44 n提示：过直线L的平面束方程n(1+2)x +5y+(1-2)z+4= 0其法向量为 n =(1+,5,1-).已知平面的法向量为 n=(1,－4，-8)n.n3选择使cos"=nni4 4x+20y+7z-12 = 0从而得所求平面方程
例4. 求过直线L: − + = + + = 4 0 5 0 x z x y z 且与平面 x − 4y −8z 夹成 角的平面方程. 提示: 过直线 L 的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 4 3 = − 从而得所求平面方程 x + 20y + 7z −12 = 0. n n1 4 +12 = 0 1 1 4 cos n n n n = {1 , 5,1 }. n1 = + − n = {1, − 4, −8}
z-1x-1V例5求:(1)直线L:1-1在平面Ⅱ：x-y+2z-1=0的投影直线L的方程(2)直线L,绕y轴旋转一周而成的曲面程 z-1-1y解将直线L由对称式111x-y-1=0化为一般式z+y-1=0设过直线L且与平面Ⅱ垂直的平面束方程为(x-y-1)+(z+y-1)=0
11 1 1 1 :(1) : −− = = x − y z 求 直线L : 2 1 0 ; 在平面 x − y + z − = 的投影直线L0的方程 (2) . 直 线L0绕y轴旋转一周而成的曲面方 程 11 1 1 1 −− = = x − y z 将直线L由对称式 + − = − − = 1 0 1 0 z y x y 化为一般式 设过直线L且与平面 垂直的平面束方程为 解 ( x − y − 1 ) + ( z + y − 1 ) = 0, L 例 5
在平面Ⅱ:x一V+2z1=0的投影直线L,的方程(x- y-1)+2(z + y-1) =0,即 x+(-1)y+z-(1+)=0且1-(-1)+2=0=2=-2即x-3y-2z+1=0因而直线L在平面Ⅱ上的投影直线L的方程x-y+2z-1=0可用一般式表为x-3y-2z+1= 0X=21即直线的一般方程
= −2 即 x − 3 y − 2z + 1 = 0 因而直线L在平面上的投影直线L0的方程 − − + = − + − = 3 2 1 0 2 1 0 x y z x y z 即 (x − y −1) + (z + y −1) = 0, 即 x + ( −1) y + z − (1+ ) = 0 可用一般式表为 在平面 : x − y + 2z −1 = 0的投影直线L0的方程 ( 1) 2 1 z = − y − x = 2 y 直线的一般方程. L 且1 ( 1) 2 0 − − + =
x=2y直线的一般方程Lo1Ey.Q(x, y,z)I MQ|=| MP|= x2 + z2 = x + z, M(0,y,0)P(xo,y,zo)因为(xo,J,zo)在直线Lo上O北x = 4y2, z =(y-1)所以因此,L,绕y轴旋转一周而成的曲程为x2 + z = 4y2 +(y -1)2即4x2-17y2 +4z2+2y-1=0
因此, L0 绕y轴旋转一周而成的曲面方程为 ( 1) , 4 1 4 2 2 2 2 x + z = y + y − 4 17 4 2 1 0 2 2 2 x − y + z + y − = ( 1) 2 1 z = − y − x = 2 y : L0 直线的一般方程. y x z O ( , , ) 0 0 P x y z • • M(0, y,0) Q(x, y,z) d • L0 | MQ |=| MP | , 2 0 2 0 x + z 因为 ( , , ) 0 0 x y z 在直线L0上, 所以 4 , 2 2 0 x = y 2 2 0 ( 1) 4 1 z = y − 即 + = 2 2 x z