第五节隐函数的求导公式(implicitfunction一个方程的情形1方程组的情形小结思考题
( implicit function ) 第五节 隐函数的求导公式 ◼ 一个方程的情形 ◼ 方程组的情形 ◼ 小结 思考题
隐函数在实际问题中是常见的.如平面曲线方程F(x,y)=0空间曲面方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0空间曲线方程G(x,y,z)= 0下面讨论如何由隐函数方程求偏导数
隐函数在实际问题中是常见的. 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 F(x, y) = 0 F(x, y,z) = 0 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 如 求偏导数
一、一个方程的情形1. F(x,y)= 0在一元函数微分学中曾介绍过隐函数(1)F(x,y) = 0的求导法。现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)的求导公式,并指出：隐函数存在的一个充分条件
一、一个方程的情形 在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 1. F(x, y) = 0 F(x, y) = 0 (1) 的求导法. 并指出: 曾介绍过隐函数 的求导公式, 隐函数存在的一个充分条件
隐函数存在定理1设二元函数F(x,v)在点P(xo,Jo)的某一邻域内满足：1）具有连续偏导数：(2) F(xo, yo) = 0;(3) F,(xo, yo) ± 0,则方程 F(x,y)=0在点 P(xo,yo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件yo=f(xo),并有dyFr(x,y)隐函数的求导公式dxF,(x,y)(证明从略)仅推导公式。将恒等式F(x,f(x)=0两边关于x求导，由全导数公式，得
隐函数存在定理1 F(x, y) ( , ) 0 0 P x y 设二元函数 的某一邻域内满足: 在点 ( , ) 0, Fy x0 y0 则方程 ( , ) 0; F x0 y0 = y = f (x), ( ), 0 x0 y = f 的某一邻域内 并有 ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − (1) 具有连续偏导数; F(x, y) = 0 ( , ) 0 0 P x y 它满足条件 在点 隐函数的求导公式 (2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边关于x求导, F(x, ) 由全导数公式,得 f (x) 0
F(x, f(x)= 0dy=0F(x,y)+ F,(x,y)dx由于F,(x,y)连续，且F,(xo,yo)±0,所以存在(xo,yo)的一个邻域,在这个邻域内F,(x,y)≠0于是得F.(x,y)Ldydi或简写：dxdxF,(x,y)
由于Fy (x, y)连续，且Fy (x0 , y0 ) 0， F (x, y) 0, y ( , ) ( , ) d d F x y F x y x y y x = − 或简写: . d d y x F F x y = − ( , ) 0 0 x y 于是得 所以存在 的一个邻域, 在这个邻域内 F (x, y) x F (x, y) + y x y d d = 0 F(x, f (x)) 0
xy-ex+e"=0如，方程记 F(x,y)= xy-e* +e', 则(1) F(x,y)= y-e*与F,(x,y)=x+e在点(0,0)的邻域内连续；(2) F(0,0) = 0;隐函数存在定理1(3) F,(0,0) =1 ± 0,所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数当x= 0时y=0的隐函数 = f(x),且V-etHdyX+e"dx
如, 方程 0, x y xy e e − + = 记 ( , ) , x y F x y = xy − e + e F(0,0) = 0; (1) x x F (x, y) = y − e y y 与F (x, y) = x + e 的邻域内连续; (0,0) = 1 0, Fy 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 且 y x F F x y = − d d . x y y e x e − = − + 隐函数存在定理1 当x = 0时y = 0 的隐函数 y = f (x), 则 (2) (3) 在点(0,0)
dy例1已知ln /x2+y2=arctan,求dxxy解 令F(x,y)=ln /x2 + y2 -arctanxx+yy-xF.(x,y)则 F(x,y) =x?+yx2+ yFx+ydyFdxy-x
解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − = y x F F x y = − d d . y x x y − + = − 例1 . d d ln arctan , 2 2 x y x y 已 知 x + y = 求
2.由三元方程F(x,J,z)=0确定二元隐函数Oz azz = f(x,y),求ax'ay若三元函数F(x,J,z)满足：隐函数存在定理2(1)在点P(xo,Jo,z)的某邻域内具有连续偏导数;(2) F(xo, Jo,Zo) = 0;(3) F,(xo, Jo,zo) + 0,则方程 F(x,y,z)=0在点(xo,Jo,zo)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z= f(x,y),它满足条件zo=f(xo,Jo),YdzOzF.并有axFKay
F(x, y,z) ( , , ) 0 0 0 P x y z ( , , ) 0, Fz x0 y0 z0 则方程 ( , , ) 0; F x0 y0 z0 = z = f (x, y), ( , ), 0 0 0 z = f x y 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 并有 具有连续偏导数; 若三元函数 的某邻域内 F(x, y,z) = 0 ( , , ) 0 0 0 x y z 函数 它满足条件 在点 在点 2. 由三元方程 F(x, y,z) = 0 确定二元隐函数 z = f (x, y), , . y z x z 求 隐函数存在定理2 的某一邻域 , z x F F x z = − . z y F F y z = − (1) (2) (3) 满足:
（证明从略）仅推导公式设z=f(x,y)是方程 F(x,Jz)=0 所确定的隐函数,则将恒等式F(x,y,f(x,y))= 0两边分别关于の和求导，应用复合函数求导法得OzOF. +H= 0.F0.+Xaxay因为 F,连续,且F,(xo,o,Zo)± 0,所以存在点(xo,yo,z)的一个邻域,在这个邻域内F,≠0,F.ozOz于是得axF'Qy
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 两边分别关于x和y求导, F(x, y, ) 应用复合函数求导法得 f (x, y) 0 Fx + Fz x z = 0, , z x F F x z = − . z y F F y z = − 设 是方程 所确定的隐 函数,则 Fy + Fz y z = 0. Fz 且Fz (x0 , y0 ,z0 ) 0， 0, Fz ( , , ) 0 0 0 点 x y z 所以存在 的一个邻域,在这个邻域内 因为 连续, 于是得
azFFaz上axFayFa"zOzOzNV及求例2已知b2axayaxdyQC22ZXV解 令 F(x,y,z)262Ca2x2z2y则FFF171621Oz.(z ± 0)在求F、F、F时,将F(x,y,z)看作是x,y,z的三个自变量的函数
例2 1, 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 已知 , . 2 x y z y z x z 求 及 解 F(x, y,z) = 1 2 2 2 2 2 2 + + − c z b y a x 则 , 2 2 a x Fx = , 2 2 b y Fy = 2 2 c z Fz = = x z a z c x 2 2 − = y z b z c y 2 2 − 令 (z 0) , z x F F x z = − z y F F y z = − 在求Fx、Fy、Fz时,将F(x, y,z)看作是 x, y,z的三个自变量的函数