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第十一章 线面积分的计算 习 题 课 ➢教学要求 ➢典型例题
教学要求一、1.理解两类曲线积分的概念了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，2.会计算两类曲线积分3.掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件
一、教学要求 曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 2. 会计算两类曲线积分. 曲线积分与路径无关的条件. 1. 理解两类曲线积分的概念,了解两类 3. 掌握格林(Green)公式, 会使用平面
4.了解两类曲面积分的概念及高斯Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式，并会计算两类曲面积分5.了解散度、旋度的概念及其计算方法.6.会用曲线积分、曲面积分求一些几何量与物理量
Gauss) 、 5.了解散度、旋度的概念及其计算 6. 会用曲线积分、 4. 了解两类曲面积分的概念及高斯 并会 计算两类曲面积分. 斯托克斯(Stokes)公式, 方法. 曲面积分求一些 几何量与物理量
二、典型例题例1 计算 I=I.(x? +y+z)ds,其中I为曲线x?+y? +z?=ax+y+z=0
二、典型例题 例1 计算 其中为曲线
分析利用轮换对称性,有=SX利用重心公式知ds= 0.yds= yJ(T的重心在原点)2+ y? +z)dsT=解32432ds=7元a33T
分析 利用轮换对称性,有 2 2 2 x s y s z s d d d = = 利用重心公式知 4 3 3 = a o z y x (的重心在原点) 解 2 2 2 2 ( )d 3 I x y z s = + +
例2 计算 I=[,(x2-j)dx+(y2-x)dy其中L是沿逆时针方向以原点为中心，为半径的上半圆周解法1令P=x2- y, Q= y2-x,则apaQC0xay1这说明积分与路径无关，故BA(x2 - y)dx +(y2 -x)dy0 xAK23dx=a3
例2 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 2 2 P x y Q y x = − = − , , 则 这说明积分与路径无关, 故 2 2 ( )d ( )d AB I x y x y x y = − + − 2 d a a x x − = a 为半径的上半圆周
解法2添加辅助线段则BA,它与L所围区域为D,=d(x2 -y)dx+(y2 -x)d yCL+BA-Jμ(x?-y)dx+(y -x)dy1BA x203=JJ,o.dxdy-}"x'dx-二0（利用格林公式）3思考(1）若L改为顺时针方向,如何计算下述积分：I, = J, (x2 - 3y)dx+(y2 - x)d y(②)若L同例2，如何计算下述积分：I, =J,(x2 -y +y2)dx+(y? -x)d y
解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L 0 d d D = x y 2 2 ( )d ( )d BA − − + − x y x y x y 2 d a a x x − − D (利用格林公式) 思考 (2) 若L同例2, 如何计算下述积分: 2 2 2 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 2 + y 2 2 1 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 3 2 3 3 = − a (1) 若L改为顺时针方向,如何计算下述积分: 2 2 ( )d ( )d L BA I x y x y x y + = − + − 添加辅助线段 则
思考题解答yC(1) I, = [,(x? - 3y)dx+(y2 -x)d yTD=f -[,L+AB4FBA x022= -2 [[dxdy+二a一元）1D33(2) I, =J,(x? -y +y')dx+(y2 -x)dy= J,(x2 - y)dx+(y2 -x)dy+f, y dxL:x=acost, y=asint, t:0→π= I-J"a' sin' tdt= -2a3
思考题解答 2 2 1 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 3 (1) L AB AB + = − 2 d d D = − x y 2 2 ( ) 3 = − a a 2 2 2 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 2 + y (2) 2 2 ( )d ( )d L = − + − x y x y x y 2 d L + y x 3 3 0 a t t sin d − L x a t y a t : cos , sin , = = 3 = −2a t : 0 → 2 3 3 + a = I C o y B A x L D
例3计算曲面积分7VI=妤ddydz-dxdzdx-+其中,r=2++:2++2=R取外侧1$ dyda+yddx+zdxdy解TR31S3dxdydz =4元R39
例 3 计算曲面积分 其中 , 2 2 2 r x y z = + + , 2 2 2 2 + + = : x y z R 取外 解 3 1 3d d d x y z R = 侧
例4计算曲面积分［=,[(x+y)++2yz]dS,x2 + 2 + z2 = 2x+ 2z .其中是球面解 I=,[(x*+y2 +z)+2xy+2yzJds=$f,(2x +2z)d S+2f,(x + 2)yds用重心公式利用对称性= 2(x+z),dS+0=32元
例4 计算曲面积分 其中是球面 2 2 2 x y z x z + + = + 2 2 . 解 (2 2 )d x z S = + 2 2 2 I x y z S ( ) d = + + + 2xy + 2yz 2 ( ) d x z y S + + 2( ) d x z S = + +0 利用对称性 用重心公式