第1章随机事件与概率内容：基本概念，古典概型，几何概型，条件概率，事件的独立性重点：1.基本概念：样本空间，随机事件，随机事件的运算2.古典概型的概率计算3.条件概率与事件的独立性，自然界和社会上发生的现象按其发生的特点可分为：必然现象，随机现象。必然现象：在一定的条件下所发生的结果具有确定性随机现象：在一定的条件下所发生的结果具有不确定性，且满足以下四个特点。1.全部结果的可预知性2.每次结果的不可预知性，3.试验的可重复性，4.大量重复试验的结果呈规律性概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。1.1样本空间与随机事件一.样本空间与随机事件随机实验举例：E：将一枚硬币上抛两次，观察其正反面的出现的情况。Ez：将一枚硬币上抛两次，观察正面出现的次数。Es：袋中有10只白球，2只红球，任取一只观察其颜色。E4：抛一颗般子，观察出现的点数Es：某商场每星期一上午10点至12点来商场的人数N.Es：某城市8月份的平均气温T.E：测量某工件的长度E：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命x.样本空间：随机试验E的所有可能发生的结果の的集合.记：Q=（の)，の：称样本点.以上各试验的样本空间分别为：Q，=（正正，正反，反正，反反】2,=(0,1,2]Q3=(红色，白色)Q=(1,2,3,4,5,6)Q,={0,1,2,3,]Q={T /28°C≤T≤37℃)Q，=[测量值L110.5cm≤L≤11.5cmαg=(x / x≥0(小时))注：样本空间的元素是由试验的目的和内容确定的.如：E,与E试验的Q与2例1：设试验为从装有三个白球（记为1，2，3，号）与两个黑球（记为4，5号）的袋中任取两个球，1
1 第 1 章 随机事件与概率 内容： 基本概念，古典概型，几何概型，条件概率，事件的独立性. 重点：1. 基本概念：样本空间，随机事件，随机事件的运算. 2. 古典概型的概率计算. 3.条件概率与事件的独立性. 自然界和社会上发生的现象按其发生的特点可分为：必然现象，随机现象。 必然现象：在一定的条件下所发生的结果具有确定性. 随机现象：在一定的条件下所发生的结果具有不确定性，且满足以下四个特点. 1.全部结果的可预知性 2.每次结果的不可预知性. 3.试验的可重复性. 4.大量重复试验的结果呈规律性. 概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。 1.1 样本空间与随机事件 一.样本空间与随机事件 随机实验举例： E1: 将一枚硬币上抛两次，观察其正反面的出现的情况。 E2:将一枚硬币上抛两次，观察正面出现的次数。 E3:袋中有 10 只白球，2 只红球，任取一只观察其颜色。 E4: 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5: 某商场每星期一上午 10 点至 12 点来商场的人数 N. E6: 某城市 8 月份的平均气温 T. E7:测量某工件的长度. E8:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命 x. 样本空间：随机试验 E 的所有可能发生的结果ω的集合.记：Ω={ω}，ω：称样 本点. 以上各试验的样本空间分别为： Ω1={正正，正反，反正，反反} Ω2={0，1，2} Ω3={红色，白色} Ω4={1，2，3，4，5，6} Ω5={0，1，2，3，.} Ω6={T∣280 C≤T≤370 C} Ω7 ={测量值 L∣10.5cm≤L≤11.5cm} Ω8={x∣x≥0(小时)} 注：样本空间的元素是由试验的目的和内容确定的.如：E1与 E2试验的Ω1与Ω2. 例 1：设试验为从装有三个白球（记为 1，2，3，号）与两个黑球（记为 4，5 号）的袋中任取两个球
（a）如果观察取出的两个球的颜色，则样本空间是由3个样本点构成的集合Q，=两个白球，两个黑球，一白一黑(b）如果观察取出的两个球的号码，则样本空间是由10个样本点构成的集合Q2=[012，13，014，15，023，024，025，034，035，045]其中：の是2的样本点，表示“取出的是第i号球和第j号球”随机事件：随机试验E的样本空间2的任意一个子集称为E的随机事件.用A,B,C，…表示，简称事件.基本事件：只有一个样本点的集合，必然事件：集合9.不可能事件：空集Φ。注：A发生当且仅当A中的一个样本点出现例如：E：A表示至少出现一次正面.则A=（正正，正反，反正)E:B表示点数不小于3.则B=[3,4,5,6)12E：C表示灯泡的使用寿命不超过1000小时.则C=[x|0≤x≤1000二.事件间的关系与运算1.包含关系AcB:A发生则B必发生2.相等关系A=B：A发生则B必发生且B发生则A必发生3.A与B事件的和事件AUB=(x|xEA或xEB):A事件与B事件至少有一个发生推广：［UJA,称n个事件的和事件UJA,称可列个事件的和事件，4.A与B事件的积事件ANB=xxEA且xeB}：A事件与B事件同时发生推广：n4,称n个事件的积事件，「n4,称可列个事件的积事件.5.A与B事件的差A-B=/xxEA但x@B/：A发生而B不发生6.A与B互不相容（互斥）：若ANB=Φ.此时记AUB为：A+B（A与B的直和）A与B不相容当且仅当A与B不能同时发生n个两两互不相容的事件A,A…,A,即为其中任意两个事件A,与A,(i+j）为互不相容事件.此时可记UA.为：A+A,+.+A,k=l7.A与B互为对立事件（逆事件)：若ANB=Φ且AUJB=Q.记：A的对立事件为：A2
2 （a） 如果观察取出的两个球的颜色，则样本空间是由 3 个样本点构成的集 合 Ω1 ={两个白球，两个黑球，一白一黑} （b） 如果观察取出的两个球的号码，则样本空间是由 10 个样本点构成的 集合 Ω2 ={ω12，ω13，ω14，ω15，ω23，ω24，ω25，ω34，ω35，ω45} 其中：ωij是Ωb的样本点，表示“取出的是第 i 号球和第 j 号球”. 随机事件：随机试验E的样本空间Ω的任意一个子集称为E的随机事件.用A,B,C,. 表示，简称事件. 基本事件：只有一个样本点的集合. 必然事件：集合Ω. 不可能事件：空集ф. 注： A 发生 当且仅当 A 中的一个样本点出现. 例如：E1：A 表示至少出现一次正面.则 A={正正，正反，反正} E4:B 表示点数不小于 3. 则 B={3,4,5,6}ω12 E8: C 表示灯泡的使用寿命不超过 1000 小时.则 C={x∣0≤x≤1000} 二.事件间的关系与运算 1.包含关系 AÌ B:A 发生则 B 必发生. 2.相等关系 A=B: A 发生则 B 必发生且 B 发生则 A 必发生. 3. A 与 B 事件的和事件 AU B={x∣xÎA 或 xÎB}:A 事件与 B 事件至少有一个 发生. 推广： 1 1 n k k k k A A ¥ = = U U 称n个事件的和事件， 称可列个事件的和事件 . 4.A 与 B 事件的积事件 AI B = { x xÎ Î A且 x B } ：A 事件与 B 事件同时发生. 推广： 1 1 n k k k k A A ¥ = = I I 称n个事件的积事件, 称可列个事件的积事件. 5. A 与 B 事件的差 A- B = { x xÎ Ï A 但x B }：A 发生而 B 不发生. 6.A 与 B 互不相容（互斥）：若 A B I = f.此时记 AU B 为：A+B(A 与 B 的直和) A 与 B 不相容当且仅当 A 与 B 不能同时发生. 1 2 n n 1 2 k= A n i j n n A ,A ,.,A A A (i j ) A A . A ¹ U + + + 1 个两两互不相容的事件 即为其中任意两个事件 与 为互不相容事件.此时可记 为： 7.A 与 B 互为对立事件（逆事件）：若 AI B = f且 AUB . = W 记：A 的对立事 件为： A
(2) A=A可见：（1）若A=B,则：B=A(3)Φ=2, =Φ图1.A与B不相容图2.A与B互为对立事件例2.设A和A分别表示在例1（b）中“1号球出现“和”2号球出现“的事件，则有A, =[012,013,014015]A, =[012,023,024,025]且: AUA, =[012, 013,014015,023,024025/, ANA, =/012]AUA = [034,035,045]A -A =[013,04015],事件间的运算关系完全等同与集合的运算关系，因此事件间的运算规律完全等同与集合的运算规律.运算规律：（1）交换律：AUB=BUA，ANB=BNA(2）结合律：AU(BUC)=（AUBUC，AN(BNC)=（ANB)NC(3）分配律：A(BUC)=ABUAC,AU(BNC)=(AUB)N(AUC)（4）对偶律：AUB=BNA,ANB=BUA例3.在如图所示的电路中，设事件A,B,C分别表示继电器接点a,b，闭合，事件D表示指示灯d亮，则由电路是否闭合立刻可知这四个事件之间有如下关系：D=A(BUC),D=AUBUC=AUBC,AD=Φm3
3 可见：（1）若 A =B,则： B A = （2） A A = （3）f = W, W = f 图 1.A 与 B 不相容 图 2. A 与 B 互为对立事件 例2. 设 A1和 A2分别表示在例 1（b）中“1 号球出现“和”2 号球出现“的事件， 则有 1 12 13 14 15 2 12 23 24 25 1 2 12 13 14 15 23 24 25 1 2 12 1 2 13 14 15 1 2 34 35 45 A { , , } A { , , , } A A { , , , , } , A A { } A A { , }, A A { , , } = w w w w = w www = w w w w w w w = w - = w w w = www U I U 且: 事件间的运算关系完全等同与集合的运算关系，因此事件间的运算规律完全等同 与集合的运算规律. 运算规律：（1）交换律： AU B B = = U A, AI I BBA （2）结合律： AU( B UC ) = = ( AU B )UC, AI( B IC ) ( AI I B ) C （3）分配律： A( B UC ) = = AB U AC, AU( B IC ) ( AU B )I U ( A C ) （4）对偶律： AU B = = B I A, AI U B B A 例 3．在如图所示的电路中，设事件 A,B,C 分别表示继 电器接点 a,b,c 闭合，事件 D 表示指示灯 d 亮，则由电 路是否闭合立刻可知这四个事件之间有如下关系: D = A( B UC ) , D = AU B U U C =A BC , AD = f
1.2事件的频率与概率一.事件的频率定义：进行n次相同的试验，事件A发生n,次，称比值"4为事件A发生的频率。n记为：J.(A)，即：J,(A)="4n(非负性)频率的基本性质：1.0≤f(A)≤12. J,(Q)=1（规范性）3．对两两互不相容的事件A,A..A有：Zf(A,)f.(ZA)=)（有限可加性）=注：频率一定程度上可以表示事件A发生的可能性的大小，但由于它的波动性，用其表示事件A发生的可能性（概率）是不合适的，但通过试验我们发现：频率具有稳定性。具体地说：当试验次数n逐渐增大时，频率（A)呈现出稳定性例如：考虑“抛硬币”这个试验，考虑正面发生的事件为A，我们将一枚硬币抛掷5次，50次，500次，各做10遍，用n，表示事件A发生的次数，J（A）表示A发生的频率，则得到的数据如表1.1所示。这样的试验在历史上也有不少人做过，其中最著名的结果见表1.2表1.1试n=5n=50n=500验J.(A)f.(A)naJ.(A)nnA序号210. 4220. 442510.502230.6250. 502490.498310. 2210. 422560.512451250.502530.50612450.20.482510.502620. 4210. 422460.492740.8180.362440. 488820. 4240.482580.51627930.60. 542620.5241030.6310.622470. 4944
4 1.2 事件的频率与概率 一. 事件的频率 定义：进行 n 次相同的试验，事件 A 发生 A n 次，称比值 A n n 为事件 A 发生的频率. 记为： n f ( A )，即： A n n f ( A ) n = 频率的基本性质：1. 0 1 n £ £ f ( A ) （非负性） 2. 1 n f ( ) W = （规范性） 3. 对两两互不相容的事件 A1 2 n ,A ,., A 有： 1 1 n n n i n i i i f ( A ) f ( A ) = = å å= （有限可加性） 注：频率一定程度上可以表示事件 A 发生的可能性的大小，但由于它的波动性， 用其表示事件 A 发生的可能性（概率）是不合适的，但通过试验我们发现：频率 具有稳定性。 具体地说：当试验次数 n 逐渐增大时，频率 f ( A ) n 呈现出稳定性. 例如：考虑“抛硬币”这个试验，考虑正面发生的事件为 A,我们将一枚硬币抛 掷 5 次，50 次，500 次，各做 10 遍，用 A n 表示事件 A 发生的次数， n f ( A )表示 A 发生的频率，则得到的数据如表 1.1 所示。这样的试验在历史上也有不少人做 过，其中最著名的结果见表 1.2 表 1.1 试 n=5 n=50 n=500 验 序 号 A n n f ( A ) A n n f ( A ) A n n f ( A ) 1 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 3 0.6 25 0.50 249 0.498 3 1 0.2 21 0.42 256 0.512 4 5 1 25 0.50 253 0.506 5 1 0.2 24 0.48 251 0.502 6 2 0.4 21 0.42 246 0.492 7 4 0.8 18 0.36 244 0.488 8 2 0.4 24 0.48 258 0.516 9 3 0.6 27 0.54 262 0.524 10 3 0.6 31 0.62 247 0.494
表1.2试验者f.(A)nnA德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005从试验中可以看出：当试验次数n逐渐增大时，A事件发生的频率越来越稳定在0.5数值周围.因此以0.5表示事件A发生的概率以上表达了概率的统计性的定义，但要从频率直接获得概率确实非常困难的，甚至是不可能的.但我们从中提炼出概率的基本性质，从而给出概率的定义，二。概率的公理化定义定义：设Q为试验E的样本空间，Q的子集A是随机事件，P（A）是实值函数，如果P(A）满足下述三条公理：1.(非负性）VA,有P(A)≥02.(规范性)对于必然事件2,有P(Q)=13.（完全可加性)对可列个两两互不相容的事件A，A.A...A..有:J.(ZA)-ZJ.(A)i=li=l则称P（A）为随机事件A的概率，记作P（A）三概率的性质1. P(Φ)= 0证明：由于Q=Q+++.+.且Q...两两互不相容则:P(Q)=P(Q)+P(Φ)+P(Φ)+..所以：P(Φ)+P(Φ)+P(Φ)+..=0,又P(Φ)≥0则得：P(Φ)=02．（有限可加性）对两两互不相容的事件A.,A...A有：PA)P(A)i=li=l证明：A=A+A+A+...+A,+Φ++...i=l且它们两两互不相容，则有：5
5 表 1.2 试验者 n A n n f ( A ) 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 从试验中可以看出：当试验次数 n 逐渐增大时，A 事件发生的频率越来越稳 定在 0.5 数值周围.因此以 0.5 表示事件 A 发生的概率. 以上表达了概率的统计性的定义，但要从频率直接获得概率确实非常困难的，甚 至是不可能的.但我们从中提炼出概率的基本性质，从而给出概率的定义. 二. 概率的公理化定义 定义：设W 为试验 E 的样本空间，W 的子集 A 是随机事件， P( A )是实值函数， 如果 P( A )满足下述三条公理： 2 3 k 1 1 1 P(A) 0 2. ( ) n i n i i i .( A, ,A ,A ,.,A ., : f ( A ) f ( A ) ( A) A , ¥ ¥ = = " ³ W W å å= 1 非负性） 有 规范性 对于必然事件 ,有P( )=1 3.(完全可加性)对可列个两两互不相容的事件A 有 则称P 为随机事件 的概率 记作P(A). 三. 概率的性质 1. P( ) f = 0 证明：由于 W = W + f + f + .+ . 且W,f f, ,. , 两两互不相容 0 0 0 : P( ) P( ) P( ) P( ) . : P( ) P( ) P( ) . , P( ) P( ) W = W + f + f + f + f + f + = f ³ f = 则 所以 又 则得: 2.（有限可加性）对两两互不相容的事件 A1 2 n ,A ,., A 有： 1 1 n n i i i i P( A ) P( A ) = = å å= 证明： 1 2 3 n åAi n = A + A + A + .+ A + f + f + . i=1 且它们两两互不相容，则有：
P(Z A)= P(A)+P(A,)+ P(A)+...+P(A )+P($)+P($)+..i=l= P(A)+P(A)+P(A,)+..+P(A,)3.设A,B是任意两个随机事件，若AcB，则有：P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥P(A)证明：因为：B=A+(B-A),且A与B-A互不相容则: P(B)= P(A)+P(B-A)所以：P(B-A)=P(B)-P(A),同时得:P(B)≥P(A)4. 对于任意事件 A,有：P(A)≤1,P(A)=1-P(A)证明：因为Q=A+A则由有限可加性：P(Q)=P(A)+P(A)即: P(A)+P(A)=1 ，则得: P(A)=1-P(A)，P(A)≤1.5.（加法公式）对于任意两个随机事件A,B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)证明：由于AUB=A+(B-AB),且ABB,由概率的基本性质2和3知：P(AUB)=P(A)+P(B-AB)=P(A) +P(B)- P(AB)推广：1.VA,B,C三个事件：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)2.Vn个事件A,A..A有：P(UA,)=ZP(A,)- Z P(AA,)+.Z, P(AA,A,)-(-1)- (AA..A,)i=li=lISi<iSrlsi<j<k例1.设A,B是两个随机事件，已知：P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=0.4求P(B-A),P(A）,P(AUB)，P(AB)解：由概率的基本性质：P(B-A)=P(B-P(AB)=0.5-0.4=0.16
6 1 2 3 1 2 3 n i n n P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) . P( A ) P( ) P( ) . P( A ) P( A ) P( A ) . P( A ) = + + + + + f + f + = + + + + å i=1 3.设 A,B 是任意两个随机事件，若 A B Ì ，则有： P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ³ P(A) 证明： 因为: B = A+( B - - A),且 与A B A互不相容, : P( B ) P( A) P( B A ) : P( B A) P( B ) P( A), : P( B ) P( A ) = + - - = - ³ 则 所以 同时得 4.对于任意事件 A,有： P( A) £1 1 , P( A ) = - P( A ) 证明: 因为 W = + A A 则由有限可加性： P(W）= + P( A) P( A ) 即： P( A)+ P( A ) =1 , 则得： ， P( A ) =1 1 - £ P( A) P( A) . 5.（加法公式）对于任意两个随机事件 A,B 有 P( AU B ) = P( A)+ - P( B ) P( AB ) 3 A B A ( B AB ), B AB ) B P AB ) = + - Ì - = - U U 证明：由于 且AB B, 由概率的基本性质2和 知： P(A B)=P(A)+P( P(A)+P( ） （ 推广：1." A,B,C三个事件： P( A B U UC ) = P( A)+ P( B )+ P(C )- P( AB )- P( AC )- + P( BC ) P( ABC ) 1 2 1 1 1 1 2 1 n n n i i j i j k i j n i i j n i j k n . n A ,A .A ) P( A ) P( A A ) P( A A A ) . ( ) P( A A .A ) - = £ < £ £ <<£ " U = å - å å + - + - n i i=1 个事件 ， 有： P( A 例1. 设 A,B 是两个随机事件，已知：P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=0.4 求 P(B-A),P( A ) ,P(AU B)，P(A B ) 解：由概率的基本性质：P( B - A) = P( B )- P( AB ) =-= 0.5 0. . 4 0 1
P(A)=1-P(A)=1-0.6=0.4P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-0.4=0.7因为: AB= A-AB,且: ABC A,则: P(AB)=P (A)-P(AB)=0. 6-0. 4=0. 2例 2:已知：P(A)=P(B)=P(C)=二,P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=，求ABC中至少有46一个发生的概率解:P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)511111-(注：P(ABC)=0)-+-444466127
7 1 1 0 6 0 4 0 6 0 5 0 4 0 7 P( A ) P( A) . . P( A B ) P( A) P( B ) P( AB ) . . . . AB A AB, AB A, = - = - = = + - = + - = = - Ì U 因为： 且： 则：P(AB)=P(A)-P(AB)=0.6-0.4=0.2 例 2：已知：P(A)=P(B)=P(C)= 1 4 ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= 1 6 ,求 A,B,C 中至少有 一个发生的概率. 解： P( A B U UC ) = P( A)+ P( B )+ P(C )- P( AB )- P( AC )- + P( BC ) P( ABC ) = 1 1 1 1 1 5 4 4 4 6 6 12 + + - - = （注：P(ABC)=0）
1.3古典概型与几何概型一.古典概型古典概型满足的条件：1°样本空间包含有限个样本点2°每个样本点发生的概率是等可能的古典概型随机事件概率的计算公式定理1.设试验E是古典概型，n是其样本空间Q包含的样本点数，A是E的包含有k个样本点的随机事件，则随机事件A的概率为P(A)=kn证明（略）例1．上抛两枚硬币，出现一正一反的概率为多少，解：样本空间Q=（HH,HT,TH,TT)，其中：H表示出现正面，T表示出现反面.A表示“出现一正一反”事件_2_1则A={HT,TH)，由于是古典概型，所以：P(A)=42本题注意：如果样本空间认为Q={HH,TH,TT}，这它不是古典概型注：在求样本空间样本点的个数n及事件包含的样本点的个数k时，常常用到排列与组合的基本知识.例2.袋内有三个白球与两个黑球，从其中任取两只，求取出的两个球是白球的概率解：样本空间Q所含样本点数共C2=10个，且是古典概型（等可能）：而取到两个白球的样本点的个数是C?个，则取出的两个球是白球的概率C=二=0.3p=C10例3.（抽球问题）袋内有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回，接连取k（k≤a+b）个球，求第k次取出的是白球的概率，解：由于考虑到取球的顺序，这相当于从a+b个球中任取k个球作排列，每一种取法是一基本事件，其基本事件的总和为Pk,=（a+b）（a+b-1)...（a+b-k+1）而第k次取得的白球可以是a个白球中的任意一个，其余k-1个球从a+b-1个球中顺次任意取出，一共有aPa+b-aptb- =-a因此所求概率为p=Pab"a+b8
8 1.3 古典概型与几何概型 一.古典概型 古典概型满足的条件：1 o 样本空间包含有限个样本点. 2 o 每个样本点发生的概率是等可能的. 古典概型随机事件概率的计算公式 定理 1.设试验 E 是古典概型，n 是其样本空间W 包含的样本点数，A 是 E 的包含 有 k 个样本点的随机事件，则随机事件 A 的概率为 P(A)= k n 证明（略） 例1. 上抛两枚硬币，出现一正一反的概率为多少. 解：样本空间W = { HH ,HT ,TH ,TT }， 其中：H 表示出现正面，T 表示出现反面. A 表示“出现一正一反”事件 则 A = { HT ,TH }, 由于是古典概型，所以： 2 1 4 2 P( A ) = = 本题注意： 如果样本空间认为W = { HH ,TH ,TT }，这它不是古典概型. 注：在求样本空间样本点的个数 n 及事件包含的样本点的个数 k 时，常常用到 排列与组合的基本知识. 例2. 袋内有三个白球与两个黑球，从其中任取两只，求取出的两个球是白球的 概率. 解：样本空间W 所含样本点数共 2 C5 =10 个，且是古典概型（等可能）. 而取到 两 个 白 球 的 样 本 点 的 个 数 是 2 C3 个 ， 则 取 出 的 两 个 球 是 白 球 的概率 2 3 2 5 3 0 3 10 C p . C = = = 例3. （抽球问题）袋内有 a 个白球与 b 个黑球，每次从袋中任取一个球，取出 的球不再放回，接连取k( k £ + a b )个球，求第k 次取出的是白球的概率. 解：由于考虑到取球的顺序，这相当于从 a+b 个球中任取 k 个球作排列，每一种 取法是一基本事件，其基本事件的总和为 k Pa b ( a b + = + ）(a+b-1).(a+b-k+1) 而第 k 次取得的白球可以是 a 个白球中的任意一个，其余 k-1 个球 从 a+b-1 个 球中顺次任意取出，一共有 1 1 k a b aP - + - 因此所求概率为 1 1 k a b k a b aP a p P a b - + - + = = +
可见：取得白球的概率与先后次序k无关在上例中如果是改为放回取球，结果又怎样？例4.（随机取数问题）从1，2，3，，10共10个数字中任取7个（可以重复），求下列各事件的概率：A：取出的7个数字全不相同：B：取出的7个数字中不含1与10C·取出的7个数字中恰好出现两次10.解：从10个数字中取出7个数的每一种取法构成一基本事件根据乘法公式：共有10°中取法（与顺序有关）：PaP(A)==0.060510787则：P(B)==0.2097107C2.9s= 0.1240P(C)=107例5.（生日问题）n个球，N个盒子（n≤N），每个球等可能的被放入N个盒中，试求：（1）指定的n个盒子中各有一球的概率pi(2)恰好有n个盒子各有一个球的概率p2n!解：（1）P=NN!Ch-n!_PN(2)P2 =NnN"N"(N-n)!Cs-n! _Pes注：“n个人生日全不相同”的概率应为365″365"把n个人看成n个球（它们的生日还未知道），365天看成365个盒子，当他们的生日已知时，就看成Ⅱ个人落在365个盒子中例如：n=50，p=0.0349，其相反事件“50个人中生日至少有两个人生日相同”的概率为0.9651，当n=60时，概率为：0.9922例6.任取一个两位数，求这个数能被2或3整除的概率，解：设A：“取出的两位数能被2整除”B：“取出的两位数能被3整除”则AB表示取出的两位数能被2×3=6整除两位数共有90个，能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，故由加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)45,3015_290909039
9 可见:取得白球的概率与先后次序 k 无关. 在上例中如果是改为放回取球，结果又怎样? 例4. （随机取数问题）从 1，2，3，.，10 共 10 个数字中任取 7 个（可以重 复），求下列各事件的概率： 7 7 1 10; C: 7 A : B : 取出的 个数字全不相同； 取出的 个数字中不含 与 取出的 个数字中恰好出现两次10. 解：从 10 个数字中取出 7 个数的每一种取法构成一基本事件. 根据乘法公式：共有 107中取法（与顺序有关）. 则： 7 10 7 7 7 2 5 7 7 0 0605 10 8 0 2097 10 9 0 1240 10 P P( A) . P( B ) . C P(C ) . = = = = × = = 例 5.（生日问题）n 个球，N 个盒子（n £ N ），每个球等可能的被放入 N 个盒中， 试求：（1）指定的 n 个盒子中各有一球的概率 1. p (2)恰好有 n 个盒子各有一个球的概率 2. p 解：（1） 1 n n! p N = （2） 2 n n N N n n n C n! P N ! p N N N ( N n )! × = = = - 注： “n 个人生日全不相同”的概率应为 365 365 365 365 n n n n C ×n! P = . 把 n 个人看成 n 个球（它们的生日还未知道），365 天看成 365 个盒子，当他们 的生日已知时，就看成 n 个人落在 365 个盒子中. 例如：n=50，p=0.0349,其相反事件“50 个人中生日至少有两个人生日相同”的 概率为 0.9651，当 n=60 时，概率为：0.9922. 例 6.任取一个两位数，求这个数能被 2 或 3 整除的概率. 解： 设 A:“取出的两位数能被 2 整除” B:“取出的两位数能被 3 整除” 则 AB 表示取出的两位数能被 2´ =3 6整除. 两位数共有 90 个，能被 2 整除的有 45 个，能被 3 整除的有 30 个，能被 6 整除 的有 15 个，故由加法公式 45 30 15 2 90 90 90 3 P( A B ) = P( A)+ - P( B ) P( AB ) = + - = U
二几何概型几何概型的两大特点：1°样本空间的样本点充满某个区域2，且2是可测的（即样本空间Q的测度mQ）可用长度、面积或体积等几何度量来度量其“大小”值）2°试验中等测度的事件发生的概率相等.定理2.设E是按测度等可能概型（几何概型），m（Q）是样本空间的测度，m(A)是事件A的测度，则事件A发生的概率P(A)= m(A)m(A)=m (B)m(2)例7.甲乙两人相约在下午6点到7点之间在某地相见，约定：先者应等后者20分钟，过时即可离去.求两人能见面的概率，解：设：甲到达的时间为x，乙到达的时间为y．(6≤x,v<≤7)二(小时))A表示“能见面”事件.则：A=（x,y)x-≤介yQ测度（边长为1的正方形面积）为：m（Q）=1y-x=1/3(2)25事件A的测度（阴影部分的面积）：m(A)=1(3)-9A所以 P(A)=m(Q)_ 5)2=0.5556x-y=1/3m(A)9Y6710
10 二.几何概型 几何概型的两大特点： 1 o 样本空间的样本点充满某个区域 W ，且 W 是可测的（即样本空间 W 的测度 m（W）可用长度、面积或体积等几何度量来度量其“大小”值）. 2 0 试验中等测度的事件发生的概率相等. 定理 2.设 E 是按测度等可能概型（几何概型），m(W )是样 本空间的测度，m( A )是事件 A 的测度，则事件 A 发生的 概率 m( A ) P( A ) m( ) = W 例 7.甲乙两人相约在下午 6 点到 7 点之间在某地相见，约定：先者应等后者 20 分钟，过时即可离去.求两人能见面的概率. 解：设：甲到达的时间为 x ,乙到达的时间为 y . ( 6 7 £ £ x, y ) A 表示“能见面”事件.则： 1 3 A = {( x, y ) x - £ y ( } 小时） 2 1 1 5 9 W ( ) : m( ) W = æ ö ç ÷ = è ø 测度 边长为 的正方形面积 为 2 事件A的测度(阴影部分的面积):m(A)=1- 3 y-x=1/3 所以 5 0 5556 9 m( ) P( A) . m( A ) W = = = x-y=1/3