第二节偏导数偏导数的定义及其计算法1偏导数的几何意义高阶偏导数■小结思考题
第二节 偏 导 数 n 偏导数的定义及其计算法 n 偏导数的几何意义 n 高阶偏导数 n 小结 思考题
一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z=f(x,）在点(xo,J)的某邻域内有定义，将y固定为yo，而x在x,处有增量△x时函数有相应的增量(称为关于x的偏增量)△rz = f(xo + Ax, yo)- f(xo,yo)如果极限Af(x。 + △x,yo)- f(xo,Jo)7limlimAxAr-→>0AxAr-→0存在,则称此极限为函数 z=f(x,y)在点(xo,Jo)处对x的偏导数,记为
一 、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数z f ( x, y) 0 将y固定为y , ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z f x x y f x y x x zx x 0 lim 存在, 0 0 z f ( x, y)在点( x , y )处 0 0 在点(x , y )的某邻域 内有定义， 0 而x在x 处有增量x时, 函数有相应的增量 如果极限 x f x x y f x y x ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 则称此极限为函数 (称为关于x的偏增量). 对x的偏导数, 记为
△zf(xo + △x, yo)- f(xo, yo1limlimAxAxAx-→0Ax-→0对x的偏导数，记为Oz.afx=xo, 或 f(xo,yo)7axX=Xoaxy=yoX=Xoy=yoV=yo同理,可定义函数 z= f(x,y)在点(xo,y)处.为对y的偏导数,△,Zf(xo, yo + Ay) - f(xo, yo)limtimAyAy-→0AyAy-→0az.af记为x=xo ,或 f,(xo, yo).z,xayayx=XoX=X0=Voy=yoy=yo
记为 , 0 0 y y x x x z , 0 0 y y x x x f , 0 0 y y x x x z 或 ( , ). 0 0 f x y x 同理,可定义函数 z f (x, y)在点(x0 , y0 )处 为 y zy y 0 lim y f x y y f x y y ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 , 0 0 y y y x x z , 0 0 y y y x x f , 0 0 y y x x y z 或 ( , ). 0 0 f x y y x f x x y f x y x z x x x ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 对x的偏导数, 对y的偏导数
如果函数 z= f(x,J)在区域D内任一点(x,J)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是x、的二元函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数(简称偏导数)az af记作，zx或 f(x,y)ax' ax同理,可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数(简称偏导数)z,of, z记作zy 或 f,(x,y)ay' ay
那么这个偏导数 仍是 x、y 的二元函数, 它就称为函数 如果函数 对自变量x的偏导函数(简称偏导数), 记作 , x z , x f x z 或 f ( x, y). x 同理,可定义函数z f (x, y)对自变量y的 偏导函数(简称偏导数), 记作 , y z , y f y z 或 f ( x, y). y 在区域D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在, z = f (x, y) z = f (x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如,u= f(x,,z) 在(x, y,z)处f(x+Axb y,z)- f(x, y,z)fr(x, y,z) = limAxAr-→0f(x, y+Aylz) - f(x, y,z)f,(x, J,z) =limAyAy-→0f(x, y,z+az) - f(x,y,z)f,(x, y,z) = limAzAz-→>0
偏导数的概念可以 f x ( x, y,z) f y (x, y,z) f z (x, y,z) 推广到二元以上函数 如,u f (x, y,z) 在(x, y,z)处 , ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z x , ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z y . ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z z
求多元函数的偏导数并不需要新的方法如求f.(x,J),只需将y看作常量,利用一元函数的求导法对x求导即可例1 求z=xy+siny在点(1,0)处的两个偏导数Ozaz= x + cos y,解= 2xy,axayazaz.= 0,= 2.0xl(1,0)Qyl(1,0)例2 求z =x(x>0)的偏导数Oz解αzyxy-1xyInxayax
求多元函数的偏导数 例1 求 z x y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数. 2 解 2xy, x z cos , 2 x y y z 0, (1,0) x z 2. (1,0) y z 如求f x (x, y),只需将y 利用一元函数 的求导法对x求导即可. 看作常量, 并不需要新的方法, 例2 求z x ( x 0)的偏导数. y 解 , 1 y yx x z x x y z y ln
例3 求f(x,y,z)=(z-a)sinlnx2 在点(1,0,2)处的三个偏导数，22二coslnx解 fx(1,0,2) =[sin ln x2 x=1xx=10f,(1,0,2)= 0'lv=0 = 0, f,(1,0,2) = 07=2求某一点的偏导数时，可将其它变量的值代入,变为一元函数,再求导，常常较简单
三个偏导数. 2 ( , , ) ( )sinln xy 求f x y z z a x 解 求某一点的偏导数时, 1 2 [sinln ] x x (1,0,2) y f (1,0,2) z f f x (1,0,2) 1 2 cosln 2 x x x 0 0, 0 y 0 0 2 z 例3 代入,变为一元函数, 在点(1,0,2)处的 可将其它变量的值 再求导, 常常较简单. 2
例4已知理想气体的状态方程pV=RT，其中p为压强,V为体积,T为温度,R为常数,求证：aTapavavaTopRTopRT证pV2avVavRRTaTVPVVUaTopRRppavaTRTRVRTopV2avaTopRpVp偏导数的记号只是一个整体记号，不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商
证 V RT p ; 2 V RT V p p RT V ; p R T V R pV T ; R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V 1. pV RT 1 p V T V T p p为压强,V为体积,T为温度,R为常数,求证： 例4 已知理想气体的状态方程pV=RT，其中 偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的 导数那样可看成是分子与分母的微分的商
二、偏导数的几何意义设二元函数z= f(x,y)在点M.(xo,yo有偏导数.如图，tz z= f(x,y)设M,(xo, Jo, f(xo, yo))M/z=f(xyo)为曲面z=f(x,y)上的一点，过点M.作平面y=yo,此平面与曲面相交得一曲线，曲线的Vy[z= f(x,y)方程为y= yo:由于偏导数f,(xo,yo)等于一元函数 f(x,Jo)的导数f"(x,Jo）x=x,故由一元函数导数的几何意义
二、偏导数的几何意义 设二元函数z f (x, y) 0 0 0 0 0 设M ( x , y , f ( x , y )) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 有 如图, 为曲面 z f (x, y) 偏导数. 上的一点, M0 z f (x, y) y z O 过点M0作平面 , 0 y y 此平面 与曲面相交得一曲线, 曲线的 方程为 z f (x, y), . 0 y y ( , ) 0 z f x y 由于偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 等于一元函数 ( , ) 0 f x y 的 导数 ( , ) 0 f x y , 0 x x 故由一元函数导数的几何意义 0 x 0 y x
z= f(x,y)可知：M.z=f(x,yo)偏导数f(xo,y)在几何上表示=fxo,y)[z = f(x,y)在点曲线(y = yoM(xo,Jo,f(xo,Jo))处的切线对yXx轴的斜率;x偏导数f,(xo,。在几何上表示z= f(x,y)在点 M,(xo, Jo, f(xo, yo)曲线x=xo处的切线对v轴的斜率
可知: x0 Ty Tx 0 y z f (x, y) y z O ( , ) 0 z f x y M0 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 在几何上表示 曲线 z f (x, y) 0 y y 在点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 处的切线对 x轴的斜率; 偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 在几何上表示 曲线 z f (x, y) 0 x x 在点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 处的切线对y轴的斜率. ( , ) 0 z f x y x