《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何 8-2 第二节 数量积、向量积、混合积

第二节数量积向量积*混合积两向量的数量积两向量的向量积向量的混合积1小结思考题

第二节 数量积 向量积 *混合积 ◼ 两向量的数量积 ◼ 两向量的向量积 ◼ *向量的混合积 ◼ 小结 思考题

一、两向量的数量积引例 设一物体在常力 F作用下,沿与力夹角为的直线移动，位移为，则力F所做的功为FW =|F3|cos 001.定义3M2M设向量a,b的夹角为θ,称记作a.b[a/b cos 0W=F.3为α与b的数量积(点积)

一、两向量的数量积 M1 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 的数量积(点积) . 引例 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b a, b s 为 a 与 b

a.b=lalblcosoaIalcos =Prj,a: Ib Icos = Pr j,ba.b=ibiPrja=laPrj.b重要a.ba.bPrjb:Prj,a =1b1lal结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积．（两向量的数量积的几何意义）

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos =   | a | cos =  结论：两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. a b =   a j ab   = | | Pr  重要 | | Pr a a b j a b       = j ba  Pr  j ab  Pr  (两向量的数量积的几何意义) b j ab   Pr  | | | | Pr b a b j ab       =

a.b=lallblcos6数量积也称为“点积”或“内积”注对非零向量 a,b 有(1) 为锐角a·b>0;(2) 为钝角 台a.b<0.关于数量积的说明：(1) aa=ap.证:0=0,.a.a=laalcose=la?

数量积也称为 注 关于数量积的说明： | | . 2 a a a     =  = 0, aa =   证 “内积”. (1) (2)  ab  0;  a  b  0. | a || a | cos =   a b | a || b | cos      = | | . 2 a  (1) “点积”或 对非零向量 a b, 有  为锐角  为钝角

(2)a.b=0→ab.此时也称a与正交.证(→):a.b=0,la0,l0,元alb.0:.. cosO = 0,2'元:alb, ..0=():. cos0 = 0,2'a.b=lallblcoso= 0.例 i、、互相正交→i.=0,.=0k.i =0

() a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, , 2   = a b.   ⊥ () a b,    ⊥ , 2   = cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.     证 a  b = 0    a b.   ⊥ 此时也称 i  j = 0,   (2) a  b  与 正交. 例 j  k = 0,   k  i = 0.   i、j、k 互相正交   

2.数量积符合下列运算规律a.b=b.a(可用定义证)（1）交换律：(a+b).c=a.c+b.c（2）分配律：(3）若a为数:(aa)·b=a.(ab)=a(a.b)若 α μ为数:(aa)·(μub)=μu(a.b)(4)a.a=a.此外 a.a=0台a=0

2. 数量积符合下列运算规律 （1）交换律： a b b a      =  （2）分配律： a b c a c b c        ( + ) =  +  （3）若  为数: a  b =   ( ) 若  、  为数: ( a)( b) =     (可用定义证) (4) | | . 2 aa = a  a = 0 a ( b) =    (a b)     (a b)      此外 a a = 0

之用向量的数量积，证明恒等式la++la-b=2la+2l即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).-a+b证la+b+la-ba-ba=(a+ b)·(a+b)+(a-b).(a-b)=a.a+2a.b+b.b+a.a-2a.b+b.b= 2[a2 +2|b /

用向量的数量积,证明恒等式: 即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方 和(如图). 证 2 2 2 2 | a b | | a b | 2 | a | 2 | b |       + + − = + 2 2 | a b | | a b |     + + − (a b) (a b) (a b) (a b)         = +  + + −  − a a a b b b a a a b b b             =  + 2  +  +  − 2  +  2 2 2 | a | 2 | b |   = + a  b  a b   + a b   −

3.用坐标表示式计算数量积设a=ai+a,j+ak,b=bi+b,j+bka.b=(ai+a,j+a,k).(bi+b,j+b,k).iljlk.i.i=j.k=k.i=0分配律:i=l ik=1..i.i=i.i=k.k=la.b=a.b+a,b,+a,b数量积的坐标表达式

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0       | i |=| j |=| k |= 1     i  i = j  j = k  k = 1       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式 3. 用坐标表示式计算数量积 分 配 律

4.两向量的夹角（数量积在几何中的应用）a.ba.b=alblcoso =→cos0[allb两向量夹角a.b,+a,b,+a,bcos =余弦的坐标+a,+a,b+b,+b表示式由此可知两向量垂直的充要条件为alb<←= a,bx +a,b, +a,b, =0数量积的物理意义为力F推动质点从点A沿直线运动到点B所作的功W=F×AB（即实例

a b | a || b | cos      = | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角 余弦的坐标 表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为 4. 两向量的夹角 (数量积在几何中的应用) 数量积的物理意义为 F  力 推动质点从点A 沿直线运动到点B所作的功 W F AB =  (即实例)

例1 已知 a=(1,1,-4), b =(1,-2,2),求(1)a.b；(2)a与b的夹角；(3)a在b上的投影解 (1) a.b = 1·1+1.(-2)+(-4)·2 = -9.a,bx+a,b,+a,b,(2) cos =b?+b,?+bax+a,+a,13元~24a.b-3(3) a.b=biPrja :Prja1b1

解 a b  ( 1 )  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. (2) cos = , 21 = − . 43  = a b b j ab     Pr  (3)  =| | 3. | | Pr = −   = ba b j ab     例 1 求 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + 已知 a b = − = − (1,1, 4), (1, 2, 2), (1) ; a b (2) a 与 b 的夹角； (3) a 在 b 上的投影