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第七章 微分方程 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课
一、教学要求1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法3.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。4.会用降阶法解下列方程：y(n) = f(x), y" = f(x, y')和y" = f(y, y')
一、教学要求 1. 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等 概念. 2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法. 3. 会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,并从中 领会用变量代换求解方程的思想,会解全微分方 程. 4. 会用降阶法解下列方程: ( ), ( , ) ( , ). ( ) y f x y f x y y f y y n = = 和 =
5.理解二阶线性微分方程解的结构6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数线性微分方程的解法7.会求自由项形如：Pm(x)eax、ex[P, cos ax + P, sin ax]的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题
5. 理解二阶线性微分方程解的结构. 6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了 解高阶常系数线性微分方程的解法. 7. 会求自由项形如: 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题. P x e e P x P x l n x x m ( ) 、 cos + sin
典型例题二、1例1求通解(x cos 兰 + ysin 当)dx = x(ysin ≥- xcos )dy.1xxxX解原方程可化为2VCOSS1dyxxx齐次方程dxyVxsinCOSxxxquux，y=u+xu.代入原方程得cosu+usinu分离变量u+ xu'=u5usinu-cosu
二、典型例题 ( cos sin )d ( sin cos )dy. x y x x y x x y x y y x y y x + = − 例1 解 原方程可化为 ), sin cos cos sin ( d d x y x y x y x y x y x y x y x y − + = , x y 令u = y = ux, y = u + xu . 求通解 齐次方程 , sin cos cos sin u u u u u u u xu u − + + = 分离变量 代入原方程得
cosu+usinu分离变量u+ xu'=uusinu-cosudxusinu-cosu两边积分du =2ucosuxIn(ucosu) = Inx-2 +InC.c.ucosu:,CyV所求通解为 xycos=C.cOSxxx
, sin cos cos sin u u u u u u u xu u − + + = , d d 2 cos sin cos x x u u u u u u = − 分离变量 两边积分 ln( cos ) ln ln , 2 u u = x + C − cos , 2 x C u u = cos , 2 x C x y x y = 所求通解为 cos C. x y xy =
2x31例2 求通解dy = 0.dxLyaap6x2x解4ayay17aaQ6x(y±0)分axax公apaQ方程为全微分方程axay
d 0. 3 d 2 4 2 2 3 = − + y y y x x y x 例2 求通解 解 ) 2 ( 3 y x y y P = , 6 4 y x = − ) 3 ( 4 2 2 y y x x x Q − = , 6 4 y x = − ( y 0 ) , x Q y P = 方程为全微分方程
-3x22x?求通解dy = 0.dx-yy(1）利用原函数法求解2xQu设原函数为u(x,J),则Ls,axx:.u+β(y)，两边对y求导=.-s3x?3x2Qu11+@'(y), 解得 β'(y) =LATay10y故方程的通解为3yy
(1) 利用原函数法求解: , 2 ( , ), 3 y x x u u x y = 设原函数为 则 ( , ) ( ), 3 2 y y x u x y = + 两边对 y 求导, 4 2 2 1 3 y x y y u = − , 1 ( ) 2 y 解得 y = , 1 ( ) y y = − 故方程的通解为 . 1 3 2 C y y x − = 0. 2 3 4 2 2 3 = − + dy y y x dx y x 求通解 ( ), 3 4 2 y y x = − +
2x3x求通解dy = 0.dx -VV(2）利用分项组合法求解：原方程重新组合为3x22x1dy) +dxXyV即得0dLx?故方程的通解为CLsy
(2) 利用分项组合法求解: 原方程重新组合为 ) 0, 1 d( ) d( 3 2 + − = y y x 即 得 d ) 3 d 2 ( 4 2 3 y y x x y x − 故方程的通解为 . 1 3 2 C y y x − = d 0. 3 d 2 4 2 2 3 = − + y y y x x y x 求通解 y y d 1 2 + = 0
3x2x求通解dy = 0.dxVV(3）利用曲线积分求解:y2-3x2r(x,y)r(x,y) 2xVdxdy:4(0,1)(0,1)Jotx-3x2x即dy = CdxL1302/1XC.-3yl故方程的通解为Cyy
O x y (3) 利用曲线积分求解: d , 3 d 2 4 2 2 ( , ) (0,1) 3 y C y y x x y x y x = − + x x x 0 3 d 1 2 即 y y x 1 2 1 − 故方程的通解为 . 1 3 2 C y y x − = d 0. 3 d 2 4 2 2 3 = − + y y y x x y x 求通解 (0,1)· ·(x,y) − + y y y y x 1 4 2 2 d 3 = C . 1 3 2 C y x y + =
例3 求通解(x2- y2-2y)dx+(x2-2 +2x)dy = 0apaQ= 2x +2,解-2v-2axayapaQ￥非全微分方程axay利用积分因子法：原方程重新组合为(x2 - y)(dx + dy) = 2(ydx - xdy),1dx + dy = 2 ydx - xdyμ(x,y) =x2 - 1,2'x? - y2
( 2 )d ( 2 )d 0. 2 2 2 2 例3 x − y − y x + x − y + x y = 解 = −2 − 2, y y P = 2 + 2, x x Q , x Q y P 非全微分方程. 利用积分因子法: 原方程重新组合为 ( )(d d ) 2( d d ), 2 2 x − y x + y = y x − x y 求通解 , 1 ( , ) 2 2 x y x y − = 2 2 d d d d 2 x y y x x y x y − − + =