第七章空间解析几何 与向量代数 习题课 主要内容 典型例题 帮助 返回}
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一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何
(一)向量代数 向量概念 向量的 向量的 线性运算 表示法 向量的积 数量积 混合积 向量积 上页
向量的 线性运算 向量的 表示法 数量积 混合积 向量积 向量的积 向量概念 （一）向量代数
1、向量的概念 定义：既有大小又有方向的量称为向量 重要概念： 向量的模、单位向量、零向量、 自由向量、相等向量、负向量、 平行向量、向径. 上页 返回
1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量
2、向量的线性运算 a+b=c (1)加法：a+b=c (2)减法：d-b=d a-b-d (3)向量与数的乘法： 设2是一个数，向量与几的乘积2a规定为 (1)2>0,2d与a同向，|2a=2|al (2)2=0,2a=0 (3)2<0,2a与a反向，|2d=lλldl
(1) 加法： a b c + = 2、向量的线性运算 a b d a − = b (2) 减法： a b c + = a b d − = (3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向， | a | | | | a | =
3、向量的表示法 向量的分解式：i=ai+0,j+ak 在三个坐标轴上的分向量：ai,aj,a, 向量的坐标表示式：d={a,a,2} 向量的坐标：0x,4y,z 其中a.a,a,分别为向量在x,y,z轴上的投影， 回
向量的分解式： { , , } x y z a = a a a , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , 3、向量的表示法
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 a=fas,ay,a.B=b,by,b. a+b=fax+bs,a+by2 a:+b:3 =(a+bx)i+(a,+b)j+(a,+b,)k a-b={ax-bs,ay-by,a:-b:3 =(a.-b)i+(a,-b,)j+(a:-b)k i={2x,m,2,} =(2ax)i+(2)j+(m,)Z 上页
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 { , , } x y z a = a a a { , , } b = bx by bz { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz { , , } a = ax ay az ax bx i ay by j az bz k = ( + ) + ( + ) + ( + ) ax bx i ay by j az bz k = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k = ( ) + ( ) + ( )
向量模长的坐标表示式a上Va:+a,2+a, 向量方向余弦的坐标表示式 c0S0= ya2+0,2+a Cos B= ay a2+a,2+a 2 a, cosy aa2+a2 (cos'a+cos B+cos'y-1) 回
2 2 2 | | a = ax + ay + az 向量模长的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + + = 2 2 2 cos x y z y a a a a + + = 2 2 2 cos x y z z a a a a + + = 向量方向余弦的坐标表示式 ( cos cos cos 1 ) 2 2 2 + + =
4、数量积（点积、内积） a.b=alblcose 其中0为0与b的夹角 数量积的坐标表达式 a.b=ab+a,b,+ab. 两向量夹角余弦的坐标表示式 a bs+a b +ab. cus8=a+a,+a+6+6 aLb→ab.+a,b,+ab2=0 页
4、数量积 a b | a || b | cos = 其中 为a 与b 的夹角 (点积、内积) a b = axbx + ayby + azbz 数量积的坐标表达式 a b ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式
5、向量积 (叉积、外积) labsine 其中0为a与b的夹角 c的方向既垂直于，又垂直币，指向符合 右手系 向量积的坐标表达式 axb =(a b.-ab,)i+(a b.-ab.)j +(a b,-a b)k 这回
5、向量积 | c | | a || b |sin = 其中 为a 与b 的夹角 c 的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合 右手系. (叉积、外积) a b a b k a b a b i a b a b j x y y x y z z y z x x z ( ) ( ) ( ) + − = − + − 向量积的坐标表达式 a b