第一节 第五章 向量及其运算 六、数量积 七、向量积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一节 六、数量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其运算 第五章 七、向量积
六、数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F‖scos0 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M M, 记 aB cos0 记作。 .b W=F.5 为a与的数量积（点积） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M1 六、数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当a≠0时，b在a上的投影为 |万cos6记作Prj6万 故ab=a PrinB 同理，当b≠0时 a.b=BPrjga 2.性质 a+0,b+0 (0)aa=a2 则ab=0 (2)a,为两个非零向量，则有 11 a.b=0aLb (a,方= π 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba b Prj a b = a ba Prj (1) a a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.运算律 (1)交换律a.b=b,d (2) 结合律(2，u为实数) (2b=a:(2b=2(a.b (a)(ub)=2(a(ub)) =元4(a.b) Prje Prje b (3)分配律(a+)c=ac+b元 Prjc(a+B) 事实上，当c=0时，显然成立；当≠0时 (a+b).=Prj(a+B)=|(Prjca+PrjcB) @Prjca+Prjcb =a.c+b. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b) = ( a ( b) ) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a bc a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj ac = c Prj bc + c Prj = a c + b c Prj (a b) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
单选题1分 可设置 设三向量2，万，满足关系式 ab-a.c 则() 必有a=0或b=c B 必有a=b-c=0 当a≠0时，必有b=c 必有c垂直b-C HIGH EDUCATION PRESS 提交
设三向量 满足关系式 则（） 必有 或 必有 当 时，必有 必有 垂直 A B C D 提交 abc , , a b a c = a = 0 b c = a b c = − = 0 a 0 b c = a b c − 单选题 1分
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2 +b2-2abcos0 证：如图.设 CB-a,CA=b,AB=t 则 c=a-五 c=区-应-3)=aa+66-2a.6 =a2+b2-2a3cs0 a=a,b=b,c=c c2 a2+b2-2abcos0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a , CA = b, AB = c = 2 c ( a − b)( a − b)= a a + b b − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.数量积的坐标表示 设a=ai+a,j+a.k,b=bi+b,j+bk,则 ab=(a,i+a,了+a.)(b.i+b,j+b飞) i.i=j.f=k.k=1,T.j=j.k-ki-0 a-b=axbx +ayby +a-b 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.乃=acos0,得 a.b axbx +ayby a-b- cos va+a5+a√b+b+b HIGH EDUCATION PRESS ◆00⊙8 机动目录上页下页返回结束
4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 x y z a + a + a 2 2 2 x y z b + b + b 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z ( a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i j = j k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
填空题1分 g设置 设a=(1,1,-4),b=(2,0,-2) 则(a+(a-b= [填空1] 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 HIGH EDUCATION PRESS 作答
设 则 [填空1] 作答 正常使用填空题需3.0以上版本雨课堂 a b = − = − (1,1, 4 , 2,0, 2 ) ( ) ( ) ( ) a b a b + − = 填空题 1分
例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 则 CoS∠AMB= MA·MB MAMB 1+0+0 1 22 2 故 ∠AMB= 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2,2,1),B( 2,1,2), AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+ 0 +0 2 2 AMB = 求 MA MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
七、向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=0F=sin0 OP三F一M符合右手规侧 MLOP MLF 00=Op sine M HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
七、向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP F M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束