《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何 8-2 数量积 向量积

第二节 第八章 数量积向量积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 第八章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为日 的直线移动，位移为3，则力F所做的功为 W=Fs cos0 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M 3 M 记作 ab coso a.B W=F.3 为a与b的数量积（点积）

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W  1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s    M2 a b 为a与b的 a, b s

当a≠0时，b在a上的投影为 万cos日起作Prj后万 故 a.B=a Prjab 同理，当≠0时 a≠0，b≠0 a.b=bPrjra 则a.b=0 2.性质 IT ()a:a=a2 ,= 2 (2)a,b为两个非零向量，则有 ab=0三aLb a.b=a b cos0

 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba  b Prj a b  a ba  Prj (1) a  a  (2) a ,b a b  0  则 a b  0 a  0, b  0 当a  0 时, b 在 a 上的投影为 同 理,当b  0 时, a b

3.运算律 (1)交换律ab=ba (2) 结合律(2,4为实数) (2a)-b=a(2b)=2(a.b b） (2a)(4b)=元(a(ub)）》 =元4(a.b) Prica Prjeb (3)分配律(a+b)c=a.c+bC Prjc(@+B) 事实上，当=0时，显然成立；当c≠O时 (@+b)-@=|Prjz(a+B)=||(Prjca+PrjcB) @Prjna+Prjzb =a.c+b.c

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b )    a ( b)     (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c  0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a  b) b a bc  a Prj c  Prj  a  b  c  a b  c  c Prj   c  a b  c c   Prj  Prj a c   c Prj bc   c Prj  a  c  b  c Prj (a b) c  

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b cP=(a-B).(a-b)=a.a +b.B-2a.B a+32-2a B coso a=a,b=B,c=G c2 a2+b2-2abcos0

例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c  a  b  a b 证: 如图 . 则 2 cos 2 2 2 c  a  b  a b CB  a , C A  b, AB  c A B C  a b c  2 c ( a  b )( a  b ) a  a  b b  2 a b 2  a 2  b  2 a b cos a  a , b  b , c  c 设

4.数量积的坐标表示 设a=ai+a,j+ak,b=bi+b,j+bk,则 a.B=(axT+ay j+ak)(bsi+by J+b-k) i.i=j.j-k.k=1,T.j=j==0 a.b=axbx +ayby+a-b- 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.b=a1cos0,得 a.b axbx +a by+ab ab1+a+a、b++b

4. 数量积的坐标表示 设 则  0 x x y y z z  a b  a b  a b 当 为非零向量时, cos   x x y y z z a b  a b  a b 2 2 2 x y z a  a  a 2 2 2 x y z b  b  b 由于 a b cos a a i a j a k ,  x  y  z b b i b j b k ,  x  y  z ( a i  a j  a k ) x y z (b i b j b k ) x  y  z i  j  j  k  k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) 则 cOS∠AMB= MA.MB MAMB 1+0+0 1 √2√2 2 故 ∠AMB= 元 3

MA  ( ), MB  ( )  B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1 , 2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB  1  0 0 2 2 AMB  求 MA  MB MA MB 故

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为日 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M M=0=opFsine OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M⊥F 00=Op sin0

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ  O P L   Q 符合右手规则  OQ F  OP F sin OP sin OP  F  M M  OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M  F

1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,cLb且符合右手规则 向量c 模：c=a b sin0 称c为向量ā与b的向量积，记作 c-axb (叉积) 引例中的力矩M=OPxF G-axb 思考：右图三角形面积 S=axb

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a , b的夹角为， c c  a , c  b c  a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b 的 c  a  b  a  b 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝

axb a bsine 2.性质 (I)axa=0 (2)a,b为非零向量，则a×b=0二a∥b 证明：当a≠0，b≠0时， axb=0-ab sin0=0 =sin0=0,即0=0或元二a∥b 3.运算律 )a×b=-bxd (2)分配律(a+b)×c=axc+bxC (3)结合律(2a)×b=a×(2b)=元(axb)

2. 性质 为非零向量, 则 sin  0，即  0 或 π (1) a  a  0 (2) a , b a  b  0 a ∥ b 当a  0, b  0时, a ∥ b a  b  0 a b sin  0 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律  b  a ( a  b ) c  a  c  b  c ( a )b  a  ( b )   ( a  b ) (1) a  b 证明: a b  a b sin