《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-3 格林公式及其应用

第三节 第十一章 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 *四、全微分方程

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第十一章 *四、全微分方程 三、二元函数的全微分求积

一、格林公式 在一元函数积分中，有牛顿莱布尼茨公式 fx)kF'(=f）Fb)-Fa 格林(Green)公式告诉我们：在平面闭区域D上的二重积分 可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表述 区域D分类： 单连通区域（无“洞”区域） D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 多连通区域（有“洞”区域）

区域 D 分类： 单连通区域 ( 无“洞”区域 )： 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) L D 一、 格林公式 在一元函数积分中,有牛顿-莱布尼茨公式 ( ) b a f x dx  ( ) ( ) F x f x   F b F a ( ) ( ).  格林(Green)公式告诉我们：在平面闭区域D上的二重积分 可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表述. L D D内任一闭曲线所围成的部分都属于D

域D边界L的正向： 当观察者沿边界行走时， 区域D总在他的左边， 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数， 则有器3dy=手A04y

定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 d d d d L D Q P x y P x Q y x y                ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 域 D 边界L 的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边. L D L D

证明：1)若D既是X-型区域，又是Y.型区域，且 D p(x)≤y≤P2(x a≤x≤b .w c≤y≤d 则 器v-2 =∫0wy)dy-∫cw1),y)dy -J(x.dy-fio(.dy (dy+c

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 d d D Q x y x      d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q    CBE Q(x, y)dy   EAC Q(x, y)dy   d c Q( ( y), y )dy 1   d c dy O d c y x E C A B a b D

即 r0ad-可，o ① 同理可证 -ady-Pt ② ①、②两式相加得 器 )dxdy=∮，Pdx+Ody

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得:  d d d d L D Q P x y P x Q y x y         

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 )dxdy =2( ）dxdy k=1 Dk -2on Pdx+Qdy(Dk表示D的正向边界) k-I =∫，Pdx+Ody 证毕

L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2   1 d d k n k D Q P x y  x y         d d D Q P x y x y           n k Dk P x Q y 1 d d    L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕 y O x

格林公式 器y=N+o 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 A-fxdy-ydx (0≤0≤2π)所围面积 A=fixdy-ydx (abcos20+absin20d=ab

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积    L A xdy y dx 2 1 格林公式 d d d d L D Q P x y P x Q y x y                例如, 椭圆 (0 2π) sin cos :           y b x a L 所围面积    2π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab    π ab

例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 f 2xydx+x2dy=0 证：令P=2xy,Q=x2,则 80_P=2x-2x=0 Ox Oy 利用格林公式，得 f2xydx+xdy=odxdy=0

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2    xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P  xy Q  x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2     D 0dx dy  0

例2.计算 ∬edxd,其中D是以O0,0),4A1,1). D B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,O=xey,则 B(0,1) A(1,1) 80 Op -cy V=x 利用格林公式，有 edxdyxed -foixe>dy-Joye dy =l-e）

例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, e y P Q x    利用格林公式 , 有    D y x e dy 2 x y OA y e d 2    y y y e d 1 0 2    (1 e ) 2 1 1   y  x y x A(1,1) B(0,1) D O

例3.计算 xdy-ydx x2+y2 其中乙为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线， 则当x2+y2≠0时， 2y2-x2 (x2+y2)2 设L所围区域为D,当(0,0)ED时，由格林公式知 =0

例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2  y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y x L O