《高等数学》课程教学资源（各章复习要点）10-重积分复习

1、二重积分 (1)直角坐标系下计算二重积分：二次积分 若D为X-型区域 y=02(x) 01(x)≤y≤02(x) a≤x≤b Io=的nd]a 记作心ddy 2)交换积分号次序

1、二重积分 (1)直角坐标系下计算二重积分：二次积分        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 若D为 X - 型区域 O ( ) 1 y   x ( ) 2 y   x b x y D a 2 1 ( ) ( ) d ( , )d b x a x x f x y y    记作 x b a [ ]d  ( , )d  D f x y   f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1    (2)交换积分号次序

1、二重积分 (2)极坐标系下计算二重积分 (0)≤p≤p,(0) p= p3(0) 设D 则 a≤0≤B j∬f(x,y)do= f(pcos0,psin0)pdpd0 -do,/pcsapsnopdn

1、二重积分 (2)极坐标系下计算二重积分   D 1     ( ) 2     ( ) O x 2 1 ( ) ( ) f ( cos , sin ) d            设 1 2 ( ) ( ) D : ,                则 ( cos , sin ) d d D f             d ( , )d = D f x y  

1.计算∬ydd,其中D是由抛物线y2=x与直线y=x-2所围成的闭区域

2.二重积分fc出交换积分次序后为

3.设D为圆域：x2+y2≤a2(a>0),则二重积分川x2+y2do= D

2、三重积分 2=z2(x,V) (1)直角坐标系下计算三重积分 2={(x,y,)川2(x,y)≤z≤2(x,y), (x,y)∈D} 2=2(x,y) ={(x,y,2)川1(x,y)≤2≤22(x,y) y(x)≤y≤y2(x)月 D.y (x.y) =y2(x) a≤x≤b} y(x) ∬y3dw-[fy地]do =[xxE]4

2、三重积分 (1)直角坐标系下计算三重积分 b a z y x O z=z2(x,y) S2 z2 z S1 1 z=z1(x,y) y=y2(x) y=y1(x) Dxy (x,y) 1 2     {( , , ) | ( , ) ( , ), x y z z x y z z x y ( , ) }xy x y D  f x y z v ( , , )d   2 1 ( , ) ( , ) = ( , , )d d xy z x y z x y D f x y z z          1 2    {( , , ) | ( , ) ( , ), x y z z x y z z x y 1 2 y x y y x ( ) ( ),   a x b   }.   2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) = ( , , )d d d b y x z x y a y x z x y f x y z z y x         

2、三重积分 (2)柱面坐标系下计算三重积分 2={(p,0,z|Ξ(pcos0,psin0)≤z≤z2(pcos0,psin) P(0)≤p≤P(0), &≤0≤B} =(x,y) f(x.v.=)dv =(x,) Q ) -(pcos0.psin0.=)pd pdod= P=p(0) P=() (pcose,psin0) 'dp f(pcos0,psin0,=)pd (pcos0,psin0)

2、三重积分 (2)柱面坐标系下计算三重积分  {( , , | }    z      1 2      ( ) ( ),   1 2 z z z ( cos , sin ) ( cos , sin )           x y z O  1     ( ) 2     ( ) ( , ) x y1 z z x y  ( , ) 2 z z x y  ( , ) f x y z v ( , , )d   d d dz d      2 1 ( ) ( ) d       2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin ) ( cos , sin , ) z z f z dz              

1.计算∬x2 dxdydz,其中2是由抛物面z=x2+y2和平面z=1围成的闭区域

3、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D A=∬V1+(x,)+了(x,ydg dxdy

3、曲面的面积 设光滑曲面 2 2 1 ( , ) ( , ) d x y D A f x y f x y      2 2 1 ( ) ( ) d d D z z x y x y        

1.计算锥面z=x2+y2被柱面x2+y2=2x所割下部分曲面的面积