内蒙古科技大学：《材料成型控制工程基础》课程授课教案（讲义）第4章控制系统的状态空间分析.doc_大学文库

4.控制系统的状态空间分析 4.1现代控制理论的优越性现代控制理论的理论基础是建立在系统的状态空间描述与分析之上。 1932年奈奎斯特(H.Nvquist)提出在频率域内研究系统的频率响应法，1948年伊万斯 (W.REwans)提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的扫制理论通称为古典控制理论。古典控制理论分析系统的数学模型用传递函数，它只适用单输入一单输出系统：对掌握系统性质的分析从本质上是一种频率法，即靠各频率分量来描述信号，该方法只限于在线性定常系统中应用，否则不满足叠加原理。因此古典控制理论只限于对简单的单输入一单输出的线性定常系统进行分析和设计。由于以传递函数为基础，是在复数域或频率域对控制系统进行研究，这就限制了整个过程在时间域内进行控制的能力，因此难以实现实时控制：设计方法建立在试探法基础上，很难设计出品质指标最优的控制系统，也难以实现最优控制。现代控制理论采用了状态空间法，因此所研究的系统可以是单输入一单输出，也可以是多输入一多输出：可以是线性，也可以是非线性：可以定常的，也可以是时变的：可以是集中参数的也可以分布参数的：可以是连续型的，也可以是离散型的：它的究内容主要包括下面三部分： (1)以最小二乘法为基础的系统辩识。 (2)以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。 (3)以卡尔品滤波理论为核心的最佳估计。式，然国学每号，方使运。下面换一个角度来说说两种控制理论的不同。目前分析动态系统的物理过程有如下两种： (1)输入一输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数域内分析系统的传递函数。 (2状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有内蒙古科技大学教案

2 4．控制系统的状态空间分析 4.1 现代控制理论的优越性现代控制理论的理论基础是建立在系统的状态空间描述与分析之上。 1932 年奈奎斯特（H.Nyquist）提出在频率域内研究系统的频率响应法，1948 年伊万斯（W.R.Ewans）提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的控制理论通称为古典控制理论。古典控制理论分析系统的数学模型用传递函数，它只适用单输入—单输出系统；对系统性质的分析从本质上是一种频率法，即靠各频率分量来描述信号，该方法只限于在线性定常系统中应用，否则不满足叠加原理。因此古典控制理论只限于对简单的单输入 —单输出的线性定常系统进行分析和设计。由于以传递函数为基础，是在复数域或频率域对控制系统进行研究，这就限制了整个过程在时间域内进行控制的能力，因此难以实现实时控制；设计方法建立在试探法基础上，很难设计出品质指标最优的控制系统，也难以实现最优控制。现代控制理论采用了状态空间法，因此所研究的系统可以是单输入—单输出，也可以是多输入—多输出；可以是线性，也可以是非线性；可以定常的，也可以是时变的；可以是集中参数的，也可以分布参数的；可以是连续型的，也可以是离散型的；它的研究内容主要包括下面三部分：（1）以最小二乘法为基础的系统辩识。（2）以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。（3）以卡尔曼滤波理论为核心的最佳估计。状态空间法的实质就是将系统的高阶运动方程写成一种一阶微分方程组的形式，然而再把一阶微分方程组写成矩阵方程，这样就简化了数学符号，方便运算。下面换一个角度来说说两种控制理论的不同。目前分析动态系统的物理过程有如下两种：（1）输入—输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数域内分析系统的传递函数。（2）状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有掌握内蒙古科技大学教案

表征系统内部特征的状态变量：状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。 4.2状态空间描述 4.2.1基本摄念 ④)状态。系统的状态就是指系统的过去，现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态 (2)状态变量。状态变量是能够全面确定系统中状态的最小一组变量，并满足： I)当to时刻，x,x,.xo)能确定系统的初始状态： 2)当心o时刻的输入和初始状态一旦确定，这组变量便可完全、唯一地反映心o任何时刻的运动。这里“完全”表示反映系统的全部状况：“最小”表示确定系统的状况无多余信注意：个系统的状态变量的选取不是唯一的，它往往与系统中的能量有关。典型状态变量有：位能、动能、电能、磁能、热能等。若一个系统的状态变量的数目为，则称之为维系统。对于一个确定的系统，其状态变量数目是不变量，但组成不一定是唯一的。 x看成向量)的n个分量，并写成矩阵的向量形 [x(0] x()= x2(0 x.( 根据状态变量的定义可知，当x及系统的输入给定时，)可唯一地确定。 (4)状态空间。由x1轴，x轴， ,X轴所构成的n维空间叫做n维状态空间。任意状态都可以用状态空间中的一个点来表示。 42.2系统的状态空间表示式为了分析动态系统的运动，对于古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入与输出之间的传递函数：同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式。省略其推导过程，状态空间表达式的标准式包括下面两部分： ()表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程重点（考点） X=A+刷 (41) 式中：x一一表示系统中的状态变量X1,x2.x所组成n维向量。 =状态变量内蒙古科技大学教案

3 表征系统内部特征的状态变量；状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。 4.2 状态空间描述 4.2.1 基本概念 (1)状态。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。 (2)状态变量。状态变量是能够全面确定系统中状态的最小一组变量，并满足： 1)当 t=t0 时刻，x1(t0)，x2(t0),.,xn(t0)能确定系统的初始状态； 2)当 t≥t0 时刻的输入和初始状态一旦确定，这组变量便可完全、唯一地反映 t≥t0 任何时刻的运动。这里“完全”表示反映系统的全部状况；“最小”表示确定系统的状况无多余信息。注意：一个系统的状态变量的选取不是唯一的，它往往与系统中的能量有关。典型状态变量有：位能、动能、电能、磁能、热能等。若一个系统的状态变量的数目为 n，则称之为 n 维系统。对于一个确定的系统，其状态变量数目是不变量，但组成不一定是唯一的。 (3)状态向量。将状态 x1(t),x2(t),.,xn(t)看成向量 x(t)的 n 个分量，并写成矩阵的向量形式，即             = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 x t x t x t x t n  根据状态变量的定义可知，当 x0(t)及系统的输入给定时，x(t)可唯一地确定。 (4)状态空间。由 x1 轴，x2 轴，.，xn 轴所构成的 n 维空间叫做 n 维状态空间。任意状态都可以用状态空间中的一个点来表示。 4.2.2 系统的状态空间表示式为了分析动态系统的运动，对于古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入与输出之间的传递函数；同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式。省略其推导过程，状态空间表达式的标准式包括下面两部分： ⑴表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程 = • X Ax + Bu (4-1) 式中： x——表示系统中的状态变量 x1,x2.xn 所组成 n 维向量。 x=             xn x x  2 1 =状态变量重点（考点）内蒙古科技大学教案

7 考虑到式 4-18，则式 4-17 可写成 x(t)= eAt x(0) (4-19) 可以证明，矩阵指数 e At 具有如下性质： 1)若 AB=BA，则 e （A+B）t = eAt ·eBt 2)e-At ·eAt = eAt ·e-At=I 3) dt d e At =A·eAt =eAt ·A 综上（1）（2）中式 4-14 和式 4-19 所述，可将线性定常系统齐次方程的解写成 x(t)= φ(t)·x(0) (4-20) 式中：φ(t)= eAt = L－1 [(sI－A)－1 ] (4-21) 由式 4-20 可看出，齐次方程在任意时刻 t 的解 x(t)仅是初始状态 x(0)的转移。因此 n×n 矩阵φ(t)叫做状态转移矩阵。φ(t)描述了系统从初始状态唯一地转移到 x(t)的自由运动的全部信息。状态转移矩阵决定了由初始 x(0)激发的运动。根据上述φ(t)= eAt 的性质，可以看出状态转移矩阵φ(t)具有如下重要性质： 1) φ(0)=eA0=I 2) •  (t)=A·φ(t)=φ(t)·A 3) φ-1 (t)=φ(-t) 4) [φ(t)]k=φ(kt) 以及φ(t1)·φ(t2)=φ(t1+t2) 5) 若初始时刻为 t1，则 t 时刻的状态为： x(t)= φ(t－t1)·x(t1) 4.2.4.2 线性定常系统非齐次方程的解法到现在为止，求解的关键问题是如何再进一步求解矩阵指数 At e 。常用求解 At e 的方法有：幂级数法（式 4-18），拉普拉斯变换法（式 4-21），矩阵特征值和相似矩阵变换法，以及利用凯莱—哈密顿余子式求 At e 共四种。后两种方法可参阅有关参考书。 4.2.5 传递矩阵与系统交连的解耦在古典控制理论中，单输入—单输出系统之间的信号传递关系可用传递函数来表示。将传递函数的概念推广至多输入—多输出系统，从而可建立传递矩阵的概念。在多输入— 多输出系统中各个通路的信号存在着交连影响，如果希望一个输入只对一个输出有影响，而对其它输出没有影响，这就提出一个消除系统交连的解耦问题。由于采用了传递矩阵的概念，系统消除交连的解耦条件便可通过简捷明了的矩阵运算求得。 4.2.5.1 由状态空间表达式确定单输入—单输出系统的传递函数根据传递函数定义可得 C sI A B D U s Y s G s = = − + −1 ( ) ( ) ( ) ( ) （4-29）（熟悉）了解

内蒙古科技大学教案 2)系统可观测性的充要条件是可观测性矩阵 CA 黄铁即Rank N-=n,N为nmxn矩但 (4-43) 3)系统输出完全可控充要条件是输出可控矩阵 S-CB:CAB:CA B::CA-B:D1秩为m(4-44) 即Rank.S=-m,其中S为m×(n+)r矩阵 (掌握) ,4可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系重点掌握（考 (山)状态方程中出现零极点对消现象点) 由上分折可以看出，当系统的零极点对消现象只出现在状态方程中时系统是不可控的与可观测的。这说明系统的输入激发不起15+1)这个极点所对应的动态过程，因此系统是不可控的 (2)输出方程中出现零极点对消现象由上分析可知，当零极点对消出现在输出方程中时，系统是可控的与不可观测的。这说明系统的输入虽然能激发起1/(S+1)极点所对应的运动，但是这种运动在输出方程中对消了，因此在输出中反映不出来。综上、②所述可知，对于两个系统，假如它们传递函数相同但由于出现零极对消现象的位置而不同，那么两个系统的可控性与可观测性也具有完全不同的特点。如果在传递函数中出现了零极点对消现象，系统或是不可控，或是不可测的，也可能既不可控又不可测三种情况：若传递函数中没有出现零极点对消现象，则系统既是可控的又是可观测的。 4.5.多变量系统的反馈 4.5.1多变量反馈系统的状态空间描述熟悉我们知道，状态方程的解与状态矩阵的特征值有着密切关系，而状态方程的解表明了系统的动态过程的品质。因此在工程实践中，可以通过设计状态反馈矩阵K(或输出反馈矩阵HC)来调整状态矩阵的值，即对系统进行极点配制，改变系统的动态过程，达到对系统进行控制的目的。从工程实现的角度讲，输出反馈易于实现，因为系统的输出量均是实际的物理量，般都能通过传感器进行测量并转换为电信号，而状态变量有些可能不具有物理意义，无法进行测量，但是状态变量与输出变量相比，包含了更丰富的系统信息，因此在工程实践中还是尽可能应用状态反馈，状态变量中不具物理意义的部分，可用“状态观测器”进行估计。 4.5.2.多变量反馈系统的可控性与可观测性实际上可以证明：了解 ()对于状态反馈控制系统，可控性不变：可观测性可能会产生变化。 (2)对于输出反馈控制系统，可控性与可观测性均不变 9

9 内蒙古科技大学教案 2）系统可观测性的充要条件是可观测性矩阵 N=                 n−1 CA CA C   满秩,即 RankN=n，N 为 nm×n 矩阵 (4-43) 3）系统输出完全可控充要条件是输出可控矩阵 S=[ CB CAB CA B CA B D n     2 −1 ] 秩为 m （4-44）即 RankS=m，其中 S 为 m ×（n+1）r 矩阵。 4.4 可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系 (1)状态方程中出现零极点对消现象由上分析可以看出，当系统的零极点对消现象只出现在状态方程中时,系统是不可控的与可观测的。这说明系统的输入激发不起 1/(s+1)这个极点所对应的动态过程，因此系统是不可控的。 (2)输出方程中出现零极点对消现象由上分析可知，当零极点对消出现在输出方程中时，系统是可控的与不可观测的。这说明系统的输入虽然能激发起 1/（S+1）极点所对应的运动，但是这种运动在输出方程中对消了，因此在输出中反映不出来。综上(1)、(2)所述可知，对于两个系统，假如它们传递函数相同，但由于出现零极点对消现象的位置而不同，那么两个系统的可控性与可观测性也具有完全不同的特点。如果在传递函数中出现了零极点对消现象，系统或是不可控，或是不可测的，也可能既不可控又不可测三种情况；若传递函数中没有出现零极点对消现象，则系统既是可控的又是可观测的。 4.5.多变量系统的反馈 4.5.1 多变量反馈系统的状态空间描述我们知道，状态方程的解与状态矩阵的特征值有着密切关系，而状态方程的解表明了系统的动态过程的品质。因此在工程实践中，可以通过设计状态反馈矩阵 K（或输出反馈矩阵 HC）来调整状态矩阵的值，即对系统进行极点配制，改变系统的动态过程，达到对系统进行控制的目的。从工程实现的角度讲，输出反馈易于实现，因为系统的输出量均是实际的物理量，一般都能通过传感器进行测量并转换为电信号，而状态变量有些可能不具有物理意义，无法进行测量，但是状态变量与输出变量相比，包含了更丰富的系统信息，因此在工程实践中还是尽可能应用状态反馈，状态变量中不具物理意义的部分，可用“状态观测器”进行估计。 4.5.2.多变量反馈系统的可控性与可观测性实际上可以证明： (1)对于状态反馈控制系统，可控性不变；可观测性可能会产生变化。 (2)对于输出反馈控制系统，可控性与可观测性均不变。（掌握）重点掌握（考点）熟悉了解

10 内蒙古科技大学教案 4.6 极点配置 4.6.1 可控标准形与可观测标准形 (1)可控标准形一旦系统的状态方程化为可控标准形,便可立即写出系统的特征方程。对式 4-51 两边取拉氏变换（推导过程略）、合并同类项，可得到系统的特征方程： S n+a1S n-1+a2S n-2+ . +an-1S+an=0 (4-58) (2)可观测标准形 (3)可控标准形的可控性 (4)可观测标准形的可观测性 4.6.2 极点配置的实际应用本节是系统的可控性与可观测性的实际应用。如果系统是可控的与可观测的，则可以设计一个带状态反馈（或还带有状态观测器）的闭环控制系统，使系统具有给定的极点配置。这是因为设计系统时要依照系统的稳定性与动态指标来进行，而稳定性和动态指标又与系统的极点，即系统特征方程的特征值有密切关系。因此，使闭环控制系统具有预先设定的特征值就成为控制系统的设计方法之一，称之为极点配置。下面讨论如何进行极点配置。带状态反馈的闭环系统的特征方程为： |sI－(A－BK)|=sn+a1s n-1+. +an-1s+an =(s－s1)(s－s2).(s－sn)=0 (4-71) s1 ,s2 , .sn 是状态系统特征方程的特征解，也就是闭环系统的极点。可以证明，当 A，B 为可控标准形时，只要适当地设计反馈阵 K，就能使闭环系统的极点 s 配置在任意给定的位置上。对于 K 是否存在，有如下结论：K 存在的充分与必要条件是系统（A，B）完全可控。将 A，B 的可控标准形，即式 4-5 中的值代入（A－BK），可得： A－BK==                 − − − − − − − − − n k an k1 an 1 k2 an 2 k3 a1－ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0        可见上式为可控标准形,因此可直接写出其特征式为 1 0 2 2 1 + 1 + + + + =   − −  −  n n n n n S a S a S ┄ a S a 式中：  1 a =a1+kn ,  2 a =a2+kn-1 , .,  n−1 a =an-1+k2 ,  n a =an+k1 , 而  1 a ,  2 a . ,  n−1 a ,  n a 则可完全通过设计由所要求、希望的“极点位置”来确定。（了解）了解重点掌握（考点）

内蒙古科技大学：《材料成型控制工程基础》课程授课教案（讲义）第4章 控制系统的状态空间分析

内蒙古科技大学：《材料成型控制工程基础》课程授课教案（讲义）第4章控制系统的状态空间分析