第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱 13-1 求下列非正弦周期函数∫()的频谱函数（傅里叶级数系数），并作频谱图。 (1)f(r)=cos4t+sin6t (2)f0如题13-1图(a、(b.(c)所示 f (a) 题13一1图f)的波形 13-2 设非正弦周期函数0的频谱函数为Ae=Q,一·试表述下列与f0相关函数的频谱函 数。 (1)f-o): 2)f0=f-). (3)f0=-f(-0, 4)f0=-f+12. 13-3 己知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形： (1)a0=0,(2)对所有k,b=0,(3)对所有k,ak=,(4)a和bg为零，当k为偶数 时。 解：(1)当a。=0时，在后半个周期上，只要画出)的负波形与横轴(1轴)所围面积与
第 13 章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 13-1 求下列非正弦周期函数 f t() 的频谱函数（傅里叶级数系数），并作频谱图。 （1） f t t t ( ) cos 4 sin 6 = + ； （2） f t() 如题 13—1 图（a）、（b）、（c）所示。 (a) (b) (c) f (t) f (t) f (t) Um - Um Um /2 - Um /2 O T/3 2T/3 T t - T/2 O T/2 t - T/2 T/2 -1 O 1 (t) t 题 13—1 图 f t() 的波形 13-2 设非正弦周期函数 f t() 的频谱函数为 j m j k A e a b k k k = − 。试表述下列与 f t() 相关函数的频谱函 数。 （1） 0 f t t ( ) − ； （2） f t f t ( ) ( ) = − ； （3） f t f t ( ) ( ) = − − ； （4） f t f t t ( ) ( / 2) = − + ； （5） d ( ) d f t t 。 13-3 已知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形： （1）a 0 =0; (2) 对所有 k，b k =0;（3）对所有 k，a k =0;（4）a k 和 b k 为零，当 k 为偶数 时。 解：（1）当 a 0 =0 时，在后半个周期上，只要画出 f(t) 的负波形与横轴（ t 轴）所围面积与
已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解13-2图中的(b),(c)图均满足此条件。 ↑f) 题133图 +f) (a) (b) (c) 题解12-2图 (2)对所有kb,=0,)应为偶函数，即有)=升-.波形如题解13-2图(a)所示，波形对称于 纵轴。 (3)对所有ka:-00应为奇函数，即)=-，波形如图(b)所示，波形对称于原点。 (4)a:和b:为零，当k为偶数时，此时，f)称为奇谐波函数，既ak和bk只出现在k 为奇数时，函数m满足镜对称性质，即有们-了，波形如图（⊙）所示。 注：13-1和132题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。 充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外
已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解 13-2 图中的（b），（c）图均满足此条件。 题 13-3 图 （a） （b） （c） 题解 12-2 图 （2）对所有 k,b k =0,f(t)应为偶函数，即有 f(t)=f(-t),波形如题解 13-2 图（a）所示，波形对称于 纵轴。 （3）对所有 k,a k =0,f(t) 应为奇函数，即 f(t)= -f(-t), 波形如图（b）所示，波形对称于原点。 （4）a k 和 b k 为零，当 k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 a k 和 b k 只出现在 k 为奇数时，函数 f(t) 满足镜对称性质，即有 f(t)= -f(t+ 2 T ) , 波形如图（c）所示。 注：13-1 和 13-2 题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。 充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外
还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函 数，以便简化傅立叶级数的系数计算。 134 一个RLC串联电路。其R-12,L-0015H,C-704F,外加电压为 u)=1I+14L.4cos(1000w-35.4sin2000]V 试求电路中的电流)和电路消耗的功率。 解：RLC串联电路如题解133图所示，电路中的非正弦周期电压W)为已知，分别有直 流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式 题解12-3图 U ZaR+aL-in 电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为： (1)直流U。=1Ψ作用时，电感L为短路，电容C为开路，故，1。=0，P。=0。 (2)基波(k=)作用时，令U=100∠0°V Zw=RaL-6C)-10.714)n=1023∠37Ip 100∠0° 故1m会"n28T974-37入 P=IR=905.28W 2三次谐波k=2引作用时，令0心a=35490°25032∠90 ZaR20L-20C)-+00-号x1428%-25,36∠6430
还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函 数，以便简化傅立叶级数的系数计算。 13-4 一个 RLC 串联电路。其 R=11 ,L=0.015H ,C=70 F , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流 i(t) 和电路消耗的功率。 解： RLC 串联电路如题解 13-3 图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直 流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式 ( ) ( ) ( ) ) 1 ( ( ) . . k C R j k L U Z U I k k k k + − = = 其中 , L =15 , C 1 =14.286 . 电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为： （1） 直流 U0 =11V 作用时，电感 L 为短路，电容 C 为开路，故，I 0 =0 , P0 =0 。 （2） 基波 (k=1)作用时，令 . U =100 0 0 V Z (1) = R+j( L — C 1 ) =（11+j0.714） =11.023 0 3.71 故 (1) . I = (1) (1) Z U = 0 0 11.023 3.71 100 0 =9.072 0 − 3.71 A P (1) = I 2 (1) R = 905.28 W （3）二次谐波 (k=2) 作用时，令 U(2) = 0 90 2 35.4 =25.032 0 90 V Z (2) =R +j(2 L — 2C 1 ) =11 +j(30 — 2 1 14.286) =25.366 0 64.3
故1。0536264 .02=25.032∠90° =0.987∠25.7°A P=2R=0.98)2x11=10.716w 所以，电路中的电流10为 i(0=0+2x9.072cos(1000t-3.71°)+2×0.987co2000t+25.7) =12.83c0s(1000t-3.71)-1.396sin(2000t-64.3)A 电路消耗的功率 P-D+Po+P2=905.28+10.716=916W 13-5 电路如图所示，电源电压为 4s()=[50+100sin(314t)-40cos(628t)+10sin(942t+20°)JV 试求电流1)和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。 102 5020R s 01m504 题12-4图 题124国 解：设电流10第k次谐波的向量为（采用复振幅相量）。(1)当k-0,直流分量U= 50V作用时，电路如题解12-4图所示，有Z。=R+R1=602,故
故 (2) I = (2) (2) Z U = 0 0 25.366 64.3 25.032 90 = 0.987 0 25.7 A P (2) =I 2 (2) R =(0.98) 2 11 = 10.716 W 所以，电路中的电流 i (t) 为 i (t) = 0 + 2 9.072 cos (1000t — 3.71 0 ) + 2 0.987 cos(2000t + 25.7 0 ) = 12.83 cos (1000t - 3.71 0 ) – 1.396 sin (2000t – 64.3 0 ) A 电路消耗的功率 P = P0 + P(1) + P(2) = 905.28 +10.716 = 916 W 13-5 电路如图所示，电源电压为 S u (t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 20 0 )]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。 解：设电流 i (t) 第 k 次谐波的向量为 m(k ) I (采用复振幅相量)。（1）当 k = 0 ，直流分量 U 0 = 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有 Z 0 =R +R 1 = 60 ，故
P。=U,-0g416w (2)当-l，即可=可，=314ads,基波向量00=100∠-90°V作用时，有 1 Z=10+j3.14+ -=71.267∠-19.31°2 00157+30+314 1 故 0n7267Z193=1403∠-7069A in Zo 100∠-90° x1.403c0193 =66.2W (3)当k-2,即0=2@，=628ds,二次谐波向量02=40∠0°V作用时，有 1 Z2=10+j6.28+ -=42.528∠-54.552°2 00314+30+j628 1 故 -40∠00 2=Z42.528∠-54.5520=09412-125448° Pe,=0✉g1ac0s-5452)=7×40x094xcos54.52°=10,915w (4)当k=3,即0=30，=942rad/s,三次谐波相量Usw6)=10∠-70p作用时，有 1 Z6=10+j9.42+ =20.552∠-51.192 0.0471+50+j942 故
I 0 = 0 0 Z U = 60 50 = 6 5 A P s0 = U 0 I 0 = 50 6 5 = 41.667 W （2）当 k=1 ，即 = 1 =314 rad s, 基波向量 Usm(1) = 100 0 − 90 V 作用时，有 Z (1) = 10 + j3.14 + 50 31.4 1 0.0157 1 j j + + = 71.267 0 −19.31 故 m(1) I = (1) (1) Z Usm = 0 0 71.267 19.31 100 90 − − = 1.403 0 − 70.69 A P s(1) = 2 1 0 0 (1) (1) 100 1.403cos19.31 2 1 Usm I m cos(−19.31 ) = =66.2 W （3）当 k=2 ，即 2 628rad s = 1 = , 二次谐波向量 0 Usm(2) = −400 V 作用时，有 Z = − + + = + + 0 (2) 42.528 54.552 50 62.8 1 0.0314 1 10 6.28 j j j 故 A Z U I sm m 0 0 0 (2) (2) (2) 0.941 125.448 42.528 54.552 40 0 = − − − = = (2) (2) 2 1 Ps = Usm I m 40 0.94 cos 54.552 10.915W 2 1 cos( 54.552 ) 0 0 (2) − = = （4）当 k=3，即 3 942rad s = 1 = ，三次谐波相量 U SM (3) =10 − 70V . 作用时，有 ( ) = − + + = + + 20.552 51.19 50 94.2 1 0.0471 1 3 10 9.42 j j Z j 故
1=s ,Zg20.52Z-51.19=0.487∠-18814 10∠-70° P-UswuL-ocos(-51.I9)- 10x0487s519-152r 所以，电流i(t)为 i0)=0.833+1.403sim314+19.31)-0.941c0s628t+54.552)+0.487sm942+71.19)4 电源发出的平均功率P为 B=P0+P0+Pse+P3g=41.667+66.2+10.915+1.526=120.308W 电源电压有效值 4+ 2+ 21 =91.378V 2 2 电源电流有效值 周+ =1.497A 2 2 13-6 有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时，得电流1-104，当电压中有3次谐波分量， 而有效值仍为100V时，得电流=8A。试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。 解：根据题意，可求得基波时的感抗为 Z小=ad-g=lm 故，三次谐波时的感抗为 Za=30ol=302 所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式 U2+U=1002 代入参数值并整理得 U?+U好=1002 9U2+U?=64×900
( ) ( ) ( ) P ( ) U ( ) I ( ) W A Z U I S S M m S M m 10 0.487cos51.19 1.526 2 1 cos( 51.19 ) 2 1 0.487 18.81 20.552 51.19 10 70 3 3 3 3 3 . 3 . = − = = = − − − = = 所以，电流 i（t）为 i(t) == 0.833+1.403sin( 314t +19.31) −0.941cos(628t +54.552) + 0.487sin( 942t + 71.19)A 电源发出的平均功率 Ps 为 PS = PS 0 + PS (1) + PS (2) + PS (3) = 41.667 + 66.2 +10.915 +1.526 = 120.308W 电源电压有效值 ( ) ( ) ( ) V U U U U U SM SM SM S 91.378 2 10 2 40 2 100 50 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 = 0 + + + = + + + = 电源电流有效值 I 1.497A 2 0.487 2 0.941 2 1.403 6 5 2 2 2 2 + + + = = 13-6 有效值为 100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I=10A ，当电压中有 3 次谐波分量， 而有效值仍为 100 V 时，得电流 I=8A 。试求这一电压的基波和 3 次谐波电压的有效值。 解：根据题意，可求得基波时的感抗为 ZL1 = = = 10 10 100 L 故，三次谐波时的感抗为 ZL3 = 3L = 30 所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 2 1 8 100 = + + = L ZL U Z U U U 代入参数值并整理得 9 64 900 100 2 3 2 1 2 2 3 2 1 + = + = U U U U
解之，得 4-64x9%0-100 =77.14W U3=1002-77.142=63.64W 13-7 以知LC串联电路的端口电压和电流为 0=[100cos(314)+50c0s(9421-30°)Ψ i)=[10cos(314)+1.755cos(9421+03】A 试求：(1)RL,C的值：(2)O,的值：(3)电路消耗的功*。 m 题解2-6图 解：LC串联电路如图13-6图所示，电路中的电压()和电流)均为已知，分别含有 基波和三次谐波分量。 (I)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波頫率下发生串联谐振。故有 R==100=10m 1m10 且X4=X4=X X,(=314radls) 即L=1 而三次谐波的阻抗为 石=R+o6-c=10+x-写)=10+骨x 1 Z的模值为
解之，得 U V U V 100 77.14 63.64 77.14 8 64 900 100 2 2 3 2 1 = − = = − = 13-7 以知 RLC 串联电路的端口电压和电流为 i t t t A u t t t V ( ) [10cos(314 ) 1.755cos(942 )] ( ) [100cos(314 ) 50cos(942 30 )] 3 0 = + + = + − 试求：（1）R,L,C 的值；（2） 3 的值；（3）电路消耗的功率。 解：RLC 串联电路如图 13-6 图所示，电路中的电压 u(t) 和电流 i(t) 均为已知，分别含有 基波和三次谐波分量。 (1)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波频率下发生串联谐振。故有 = = =10 10 100 1 1 m m I U R 且 XL1 = Xc1 = X1 即 ( 314 ) 1 1 1 1 1 X rad s C L = = = 而三次谐波的阻抗为 1 1 1 1 3 1 3 8 ) 10 3 1 10 (3 3 1 3 j X X j X C Z = R + j L − j = + − = + Z3 的模值为
y+-会-器-m 解得X,为 x=28492-10)×4=10040 9 故 L=X=10004=3186mH 314 C=aX314x10o04-31834w (2)三次谐波时，Z3的阻抗角为 ⑧X %=acan10=actn268=6945 而 p3=中a-中a=-30°-日g 则 03=-30°-p3=-99.45° 电路消耗的功率P为 P=2x10x10+2×50x1.755cos69.45=515,4W 13-8 图示为滤波电路，需要负载中不含基波分量，但4，的谐波分量能全部传送至负载。如 ,=1000md/s,C=1F,求L和L2
= + = = = 28.49 1.755 50 ) 3 8 10 ( 3 2 3 1 2 3 m m I U Z X 解得 X1 为 = − = 10.004 64 9 (28.49 10 ) 2 2 X1 故 F X C mH X L 318.34 314 10.004 1 1 31.86 314 10.004 . 1 1 1 1 = = = = = = （2）三次谐波时， Z3 的阻抗角为 0 1 3 arctan 2.668 69.45 10 3 8 = arctan = = X 而 3 3 3 30 − 3 = − = − u i 则 = −30 − = −99.45 3 3 电路消耗的功率 P 为 50 1.755cos69.45 515.4W 2 1 100 10 2 1 P = + = 13-8 图示为滤波电路，需要负载中不含基波分量，但 1 4 的谐波分量能全部传送至负载。如 1000 , 1 , 1 = rad s C = F 求 L1 和 L2
负载 0题12-6图 解：欲使负载中不含基波分量，既在此时负载中的电流需为零，则有L和C在，处发生并 联诰振，由诰振条件得 a底-wng6 故 6=0C-100x10==1h 若要求4次(4@，)谐波分量能全部传送至负载端，需要此电路在40，处发生串联谱振，因 X4,=4o,L2=4000L2 而L与C并联的电抗为 1 4o4800n 动07智 串联谐振时，有 元X2-Xc)=j400L,-8000=0 3 即400L,-90 13-9 图示电路中4，()为非正弦周期电压，其中含有30，及7@，的谐波分量。如果要求在输出 电压()中不含这两个谐波分量，问L,C应为多少？ 解：根据图示结构知，欲使输出电压u)中不含30，和70，的谐波分量，就要求该电路
解：欲使负载中不含基波分量，既在此时负载中的电流需为零，则有 L1 和 C 在 1 处发生并 联谐振，由谐振条件得 rad s L C 1000 1 1 1 = = 故 H C L 1 1000 10 1 1 2 2 6 1 1 = = = − 若要求 4 次（ 1 4 ）谐波分量能全部传送至负载端，需要此电路在 1 4 处发生串联谐振，因 X L2 = 41L2 = 4000L2 而 L1 与 C 并联的电抗为 = − = − = 3 800 16 1 4 4 1 4 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 CL L L C X L C 串联谐振时，有 即 L mH L j X L X L C j L 66.67 15 1 4000 1 3 800 3 800 4000 ) 0 3 800 ( ) (4000 2 2 2 2 1 = = = = − = − = 13-9 图示电路中 u (t) S 为非正弦周期电压，其中含有 1 3 及 1 7 的谐波分量。如果要求在输出 电压 u(t) 中不含这两个谐波分量，问 L,C 应为多少？ 解：根据图示结构知，欲使输出电压 u(t) 中不含 1 3 和 1 7 的谐波分量，就要求该电路
在这两个频率时，输出电压心中的3次诺波分量和7次诰波分量分别为零 若在30，处1H电感与电容C发生串联谐振，输出电压的3次谐波U,=0,由谐振 条件，得 ① 1F 题12-9图 示C-7g 若在7®，处F电容与电感L发生并联谐振，则电路中7次谐波的电流1，=0，电 压U2=0, 由谐振条件，得 1 1 1 701= iC9C90 也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下，即在30，处，使L与C,发生并联谐振， 而在7，处，使L与C发生串联诺振，则得 L=goi C=49 13-10 图示电路中1，=5+10cos101-20°)-5sim301+60]4,L=L2=2H,M=0.5H。求 图中交流电表的读数和山2
在这两个频率时，输出电压 u(t) 中的 3 次谐波分量和 7 次谐波分量分别为零。 若在 1 3 处 1H 电感与电容 C 发生串联谐振，输出电压的 3 次谐波 U3 = 0 ，由谐振 条件，得 2 1 1 2 1 1 1 9 1 9 1 , 1 3 = = = L C L C 若在 1 7 处 1F 电容与电感 L 发生并联谐振，则电路中 7 次谐波的电流 I 7 = 0 ，电 压 U7 = 0 ， 由谐振条件，得 2 1 1 2 1 1 1 49 1 49 1 , 1 7 = = = C L LC 也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下，即在 1 3 处，使 L 与 C 1 发生并联谐振， 而在 1 7 处，使 L1 与 C 发生串联谐振，则得 2 9 1 1 L = 2 49 1 1 C = 13-10 图示电路中 i s [5 10cos(10t 20 ) 5sin( 30t 60 )]A, L1 L2 2H,M 0.5H 0 0 = + − − + = = = 。求 图中交流电表的读数和 2 u