第六章 光学小波变换 2021/219
2021/2/19 1 第六章 光 学 小 波 变 换
目录2021219 光学信息处理 第1节 第六章光学小波变换 第2节 6.1引言 第3节 第6,2从短时傅里叶变换到小波变换 第5节6.3小波变换的定义和性质 第6节6.4实现一维小波变换的光学系统 第7节 6.5用多通道匹配滤波实现二维 小波变换 6.6光学小波变换匹配滤波器在图像 识别中的应用 6.7光学Haar小波变换和图形边缘探测 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 2 第六章 光学小波变换 6．1 引言 6．2 从短时傅里叶变换到小波变换 6．3 小波变换的定义和性质 6．4 实现一维小波变换的光学系统 6．5 用多通道匹配滤波实现二维 小波变换 6．6 光学小波变换匹配滤波器在图像 识别中的应用 6．7 光学 Haar 小波变换和图形边缘探测
61引言 如果g(x)是一个时域或空域中分布在(∞,∞)中的稳 恒过程或稳定分布,则傅里叶分析给出了近乎完美的结 果.然而,在自然界和科学技术中还有大量信号,它们 具有局部的或定域的特性.例如语言信号、声纳信号 各种电脉冲等。这些信号只出现在一个短暂的时间问隔 内,此后很快衰减到零,称快速过程或暂态过程.一个 很短暂的信号,可以称为“小波”信号 s(t)
6.1 引 言 如果g(x)是一个时域或空域中分布在(-，)中的稳 恒过程或稳定分布，则傅里叶分析给出了近乎完美的结 果．然而，在自然界和科学技术中还有大量信号，它们 具有局部的或定域的特性．例如语言信号、声纳信号、 各种电脉冲等。这些信号只出现在一个短暂的时间问隔 内，此后很快衰减到零，称快速过程或暂态过程．一个 很短暂的信号，可以称为“小波”信号
对于局部信号或暂态过程,傅里叶分析就不完全 适用.首先,我们仅对△内的时间信号感兴趣,没有 必要在过去、现在及未来的无限长时间范围内对信号 进行分析;类似地,在处理定域于△x内的空间图像时, 也没有必要对全平面内的信号进行全面的分析 在许多情况下,在Δt或△x以外的信号是未知的, 它可能是零,也可能是背景噪声;对它们我们不太了 解,测不准,或不感兴趣.如不加选择地把(-∞,∞)内 全部信号进行傅里叶处理,还可能产生较大的误差甚 至错误.此外,一个局部的信号在△t或△x以外较远 处几乎完全等于零.当用它们的频谱来恢复或重构这 些信号时,在Δt或△x外很远处也会出现一些非零的 分量,它们一般不是信号,而是在傅里叶逆变换中频 域综合不够充分而产生的噪声
对于局部信号或暂态过程，傅里叶分析就不完全 适用．首先，我们仅对t内的时间信号感兴趣，没有 必要在过去、现在及未来的无限长时间范围内对信号 进行分析；类似地，在处理定域于x 内的空间图像时， 也没有必要对全平面内的信号进行全面的分析． 在许多情况下，在 t 或 x 以外的信号是未知的， 它可能是零，也可能是背景噪声；对它们我们不太了 解，测不准，或不感兴趣．如不加选择地把(-，)内 全部信号进行傅里叶处理，还可能产生较大的误差甚 至错误．此外，一个局部的信号在 t 或 x 以外较远 处几乎完全等于零．当用它们的频谱来恢复或重构这 些信号时，在 t 或 x 外很远处也会出现一些非零的 分量，它们一般不是信号，而是在傅里叶逆变换中频 域综合不够充分而产生的噪声．
目录2021219 光学信息处理 第1节 在一些课题中,我们往往不满足于了解信号 /在全部区间内的综合的频谱分布,而希望了解某 区间或某些区间内信号对应的频谱.例如在地 3节震勘探中,为了分辨分层的地层和矿床结构,我 第4们需要在时域和频域中仔细分析不同时刻的信号 5节在不同频谱区间中的行为,而傅里叶分析只能提 供在长时间内的信号整体的频谱,显然不能满足 第6节我们的要求 第7节 近年来发展起来的小波分析,正好克服了傅 里叶分析的上述缺点.它和傅里叶分析的一个重 要区别,在于它恰恰适用于处理局部或暂态信 号.因此,小波分析成为信号分析、图像处理 数据压缩、语音信号分析等领域中的重要工具; 在地震勘探信号处理、边缘探测、语音信号合成 中则有特殊的用途 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 5 在一些课题中，我们往往不满足于了解信号 在全部区间内的综合的频谱分布，而希望了解某 一区间或某些区间内信号对应的频谱．例如在地 震勘探中，为了分辨分层的地层和矿床结构，我 们需要在时域和频域中仔细分析不同时刻的信号 在不同频谱区间中的行为，而傅里叶分析只能提 供在长时间内的信号整体的频谱，显然不能满足 我们的要求． 近年来发展起来的小波分析，正好克服了傅 里叶分析的上述缺点．它和傅里叶分析的一个重 要区别，在于它恰恰适用于处理局部或暂态信 号．因此，小波分析成为信号分析、图像处理、 数据压缩、语音信号分析等领域中的重要工具； 在地震勘探信号处理、边缘探测、语音信号合成 中则有特殊的用途．
目录2021219 光学信息处理 第1节 62从短时傅里叶变换到小波变换 第2节 621短时傅里叶变换(STFT) 第3节 第4节 为了有效地提取一个局部信号g(x)的信 第5节息,引入一个局部化的变换 第6节 所谓局部化,包含两个要素 第7节 第一,被分析的区间要有一定的宽度 △x,我们仅对△x及其附近的信息进行处理; 第二,被分析的区间有一个中心坐标x 当x。改变时,就可以提取不同的信息 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 6 6.2 从短时傅里叶变换到小波变换 6.2.1 短时傅里叶变换(STFT) 为了有效地提取一个局部信号g(x)的信 息，引入一个局部化的变换． 所谓局部化，包含两个要素： 第一，被分析的区间要有一定的宽度 x，我们仅对x及其附近的信息进行处理； 第二，被分析的区间有一个中心坐标xc， 当 xc 改变时，就可以提取不同的信息．
目录2021219 光学信息处理 第节为了实现局部化,一个有效的方案是在傅里叶 第2节变换中加一个窗函数w(x) 第3节 G(V,x0)=∫ng(x)exp(-i2πx)w(x-xdx(1) 第4节 Iw(吵)exp(-i2πwx。G(v (2) 第5节 6式中w和G分别是w和g的傅里叶变换 第7节 只要w(x)和W()有足够快的衰减速度,窗函 数就是一个局部化的函数 函数f(x)和g(x)的内积的定义: (f(x), g(x))=oo f(x)g(x)dx 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 7 为了实现局部化，一个有效的方案是在傅里叶 变换中加一个 窗函数w(x)： Gw(v, xo ) = ∞ - ∞g(x)exp(-i2vx) w(x- xo ) dx (1) = [W(v)exp(-i2vxo )]* G(v) (2) 式中 W 和 G 分别是 w 和 g 的傅里叶变换． 只要w(x)和W(v)有足够快的衰减速度，窗函 数就是一个局部化的函数． 函数f (x) 和g(x) 的内积的定义 : ( f (x) , g(x) ) = ∞ - ∞ f (x) g(x)dx
目录2021219 光学信息处理 第1节 2节窗函数的中心x定义: 第3节 x =(w(),x w(x))/w(x),(x)) 第4节 jo w(x)xw(x)dx/o. w(x)w(x)dx 第5节式中(表示函数f和g的内积,x与x不一定相等。 第6节 窗函数的宽度则定义: 第7节 △w=2|(w(x),(x-x2)2w(x)/(w(x),w(x)12 21 Joo w(x)(x-x) 2w(x)dx/ oo. o w(x)w(x)dx 1/2 注意:它是节124中所定义的信号空域宽度的两倍。 第6章
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 8 窗函数的中心xc定义: xc = (w(x),x w(x))/(w(x),w(x)) = ∞ - ∞ w(x) xw(x)dx / ∞ - ∞ w(x)w(x)dx 式中(*,*)表示函数f 和g 的内积．xc与xo不一定相等。 窗函数的宽度则定义： w = 2[(w(x),(x- xc ) 2 w(x))/(w(x),w(x))] 1/2 = 2[ ∞ -∞w(x)(x-xc ) 2w(x)dx / ∞ - ∞ w(x) w(x)dx]1/2 注意: 它是节1.2.4中所定义的信号空域宽度的两倍
目录2021219 光学信息处理 第1节 G,(V,x)=g(x)exp(记2πx)w(x-x)dx(1 第2节 由于窗函数具有局部处理的功能,因此(1)式 3节定义的变换称为短时傅里叶变换STFT) 第4节 STFT和FT的一个重要区别 第5节 频率变量ν和坐标变量x同时出现在变换函数中 第6节 在STFT中,窗口宽度则隐含于G(v,x)内, 第7节 正是x和窗口宽度△w,使这一变换具有局部处理 的功能.改变x,窗口就在空域中移动,以获取不 同区域的信息,x。通常称为位移因子;△w则限 制了被处理空间的范围 频率窗中心:v=(W(,w()/(W(,W()(5) 频率窗宽度 第6章 △W=2(W(),v)2W()w(x)(w(吵,W()2(6
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 9 Gw(v, xo ) = ∞ - ∞g(x)exp(-i2vx) w(x- xo ) dx (1) 由于窗函数具有局部处理的功能，因此(1)式 定义的变换称为短时傅里叶变换(STFT)． STFT和FT的一个重要区别: 频率变量 v 和坐标变量 xo同时出现在变换函数中. 在STFT中，窗口宽度则隐含于Gw(v, xo ) 内， 正是xo和窗口宽度w，使这一变换具有局部处理 的功能．改变 xo，窗口就在空域中移动，以获取不 同区域的信息， xo 通常称为位移因子； w 则限 制了被处理空间的范围． 频率窗中心：vc = (W(v), vW(v))/(W(v),W(v)) (5) 频率窗宽度： W=2[(W(v),(v- vc ) 2W(v)w(x))/(W(v),W(v))] 1/2 (6)
目录2021219 光学信息处理 第1节 当△w和△W都有限时,我们称函数w(x)在空 第2节 域和频域同时局部化 第3节 △w△W称为空间-频率窗,它限制了空域和频 域中被处理区域的范围。根据△w,△W的定义及 华测不准关系式,并注意信号宽度定义的区别,我 第5节们就有: △w△W≥1/π 第6节 当高斯函数取为窗函数时,(7)式中的等式成 第7节立,这种情况下STFT具有最小处理区域 STFT的局部性,其特征在于处理过程限制在 空间-频率窗内进行,且窗的位置是可变的,然而 无论△w还是△W都是常数,不会随信号中心频率 的变化而变化,这使STFT在处理一些奇异性的信 号时显得无力.恰恰是在这一点上,小波变换具 第6章备比STF更强的功能
第1节 第2节 第3节 第4节 第5节 第6节 目 录 第7节 第6章 2021/2/19 光学信息处理 10 当w和W 都有限时，我们称函数w(x)在空 域和频域同时局部化． wW称为空间-频率窗，它限制了空域和频 域中被处理区域的范围。根据w，W的定义及 测不准关系式，并注意信号宽度定义的区别，我 们就有： wW≥1/ (7) 当高斯函数取为窗函数时，(7)式中的等式成 立，这种情况下STFT具有最小处理区域． STFT的局部性，其特征在于处理过程限制在 空间-频率窗内进行，且窗的位置是可变的，然而 无论w还是W都是常数，不会随信号中心频率 的变化而变化，这使STFT在处理一些奇异性的信 号时显得无力．恰恰是在这一点上，小波变换具 备比STFT更强的功能．