上海华东大学：《近代光学信息处理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第1章 傅里叶光学基础

目录2021219 光学信息处理 第1节 第2节 第3节 第一章 第4节 傅里叶光学基础 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 1 第一章 傅里叶光学基础

目录2021219 光学信息处理 第1节 第一章傅里叶光学基础 第2节 第3节1.1二维傅里叶分析 第4节 1.2空间带宽积和测不准关系式 1.3平面波的角谱和角谱的衍射 1.4透镜系统的傅里叶变换性质 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 2 第一章 傅里叶光学基础 1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质

目录2021219 光学信息处理 剩带11二维傅里叶分析 第2节1.1定义及存在条件 第3节 复变函数器g(x2y)的傅里叶变换可表为 第4 G(u,v)=Fig(x,y)) ∫=.∞g(x,y)exp-r(ax+wy) dady(1) 称g(x2y)为原函数,G(u,)为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为 g(x2y)={G(u,)} JJo. G(u, v)exp[i2(ux+vy)]dudy(2) 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 3 1.1 二维傅里叶分析 1.1.1 定义及存在条件 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F {g(x,y)} = ∞ - ∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy (1) 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为 g(x,y) = F -1 {G(u,v) } = ∞ - ∞G(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv (2)

目录2021219 光学信息处理 第1节 傅里叶-贝塞尔变换 第2节 设函数g(r,)=g(r)具有圆对称, 第3节 第4节 傅里叶-贝塞尔变换为 G(p=g(r) 2π∫=org(J(2prdr 其中J为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 g(r)=91{G(p) 2x oop G(p)jo(2pr)dp 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 4 傅里叶-贝塞尔变换 设函数g(r,) = g(r) 具有圆对称， 傅里叶-贝塞尔变换为 G() = B {g(r)} = 2  ∞ o rg(r)Jo (2r)dr 其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 g(r) = B -1 {G()} = 2  ∞ o G()Jo (2r)d

目录2021219 光学信息处理 第1节变换存在的条件为 第2节 (1)g(x2y)在全平面绝对可积; 第3节 (2)g(x2y)在全平面只有有限个间断点,在任何 第4 有限的区域内只有有限个极值; (3)gx2y)没有无穷大型间断点 以上条件并非必要,实际上,“物理的真实”就 是变换存在的充分条件。 以下我们常用g(x2y)分→G(u,v)表示变换对 对于光学傅里叶变换,x,y是空间变量,u,v则 是空间频率变量。在一维情况下,有时也用希 章腊字母v表示频率变量

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 5 变换存在的条件为 (1) g(x,y)在全平面绝对可积； (2) g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值； (3) g(x,y)没有无穷大型间断点。 以上条件并非必要，实际上， “物理的真实”就 是变换存在的充分条件。 以下我们常用 g(x,y)  G(u,v) 表示变换对． 对于光学傅里叶变换，x，y是空间变量，u，v 则 是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希 腊字母 v 表示频率变量

目录2021219 光学信息处理 节1.1.26函数的傅里叶变换 2节由6函数的定义容易得到 第3节 d(X-Xo, y-yos exp [-i2r(uxo+ vyo 3) 第4节当x。=0,y=0时得到6x,y)分1 上式的物理意义表示点源函数具有权重为I的最丰 富的频谱分量.因此光学中常用点光源来检测 系统的响应特性,即脉冲响应.③3)式还可表为 8(x-xoy-y)=o. expf-i2(u(x-xo+v(y-yo))dudy 它正是6函数的积分表达式 根据6函数的偏导数的定义 6(x)g(x)dx=(-1)g(o(0) (6) 得到6k,(x,y)的傅里叶变换 8(k,(x,y)=a+8(*, y)/ax ay 第1章 台(i2mn)k(i2

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 6 1.1.2 δ函数的傅里叶变换 由δ函数的定义容易得到 δ(x-xo , y-yo )  exp [-i2(uxo+ vyo )] (3) 当 xo=0，yo= 0 时得到 δ(x, y)  1 (4) 上式的物理意义表示点源函数具有权重为 l 的最丰 富的频谱分量．因此光学中常用点光源来检测 系统的响应特性，即脉冲响应．(3)式还可表为, δ(x-xo ,y-yo )=∞ - ∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo )]}dudv 它正是δ函数的积分表达式． 根据δ函数的偏导数的定义  ∞ - ∞ δ (n)(x)g(x)dx = (-1)n g (n)(0) (6) 得到δ (k, l) (x,y)的傅里叶变换 δ (k, l) (x,y) =  k+lδ(x, y)/ x k y l )  (i2u) k (i2v) l (7)

目录2021219 光学信息处理 节1.1.3傅里叶变换的基本性质 2节(1)线性( linearity) 第3节 Ag(x, y)+ Bh(x, yAG(u, v)+ BH(u,v( 8) 第4节(2)缩放及反演( scaling and inversion) g(ax, by)G(ula, v/b ab 9) 上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩 特别是当a=b=-1时,得到反演的变换性质: g(-x,-y)分G(-,-v) 10 (3)位移(shif g(x+x,y+y)冷 expi2π(ux+wo)G(u,v)(11) 上式表示原函数的位移引起变换函数的相移 (4)共扼( conjugation) 第1章 g(x,y)G'(-l,-)

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 7 1.1.3 傅里叶变换的基本性质 (1) 线性 ( linearity ) Ag(x,y) + Bh(x,y)  AG(u,v) + BH(u,v) (8) (2) 缩放及反演(scaling and inversion) g(ax,by)  G(u/a, v/b)/|ab| (9) 上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩. 特别是当 a = b = -1 时，得到反演的变换性质： g(-x, -y)  G(-u, -v) (10) (3) 位移(shift) g(x+xo , y+yo )  exp[i2(uxo+vyo )]G(u,v) (11) 上式表示原函数的位移引起变换函数的相移. (4) 共扼(conjugation) g * (x, y)  G* (-u, -v) (12)

目录2021219 光学信息处理 菊1节(5)卷积( convolution 第2节 g(xy)和h(xy的卷积定义: 第3节 第4节 g(x, y)*h(x, y)=J]oog(s, nh(x-, y-n)dEdn 易证明:g(x,y)*h(xy)台→G(n,y)H(u,) 6函数的卷积有特殊的性质: g(x)*8(x-x)=g(x-xo (15) g(x, y)*8(k, D (x, y)=g(k, D(x, y) (16) (6)导数的变换公式可由(7)式导出 g(k, D(x,y)+(2tu)k(i2v)G(u, v)/(17) 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 8 (5) 卷积 (convo1ution) g(x,y)和h(x,y)的卷积定义： g(x,y)h(x,y) = ∞ - ∞g(,  )h(x-,y-)dd 易证明: g(x,y)  h(x,y)  G(u,v) H(u,v) δ函数的卷积有特殊的性质： g(x) δ(x-xo ) = g(x-xo ) (15) g(x,y) δ (k, l) (x,y) = g (k, l) (x,y) (16) (6)导数的变换公式可由(7)式导出 g (k, l) (x,y)  (i2u)k (i2v)l G(u,v) (17)

目录2021219 光学信息处理 节()相关( (correlation) 2节函数g(x)和(x)的相关定义为 第3节 g(x,y)⑧h(x,y)=』g(,n)h(x+2,y+n)ddn 第4节 当g=h时成为自相关,有 g(x,y)⑧g(xy)=』/g(,n)g(x+2,y+n)d2dn 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出: g(x, y)6 h(x, y)=g(x,-y*h(x, y) 台G(u,y)H(u,y) g(x2y)8g(xy)分|G(u,)|2(21) 自相关与功率谱构成傅里叶变换 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 9 (7) 相关(correlation) 函数g(x,y)和h(x,y) 的相关定义为 g(x,y)  h(x,y) = ∞ - ∞g(,  )h(x+,y+)dd 当g = h 时成为自相关，有 g(x,y)  g(x,y) = ∞ - ∞g(,  )g(x+,y+)dd 相关的变换可以利用卷积的变换公式导出： g(x,y)  h(x,y) = g* (-x, -y)  h(x,y)  G* (u,v) H(u,v) g(x,y)  g(x,y)  ∣G(u,v)∣2 (21) 自相关与功率谱构成傅里叶变换

目录2021219 光学信息处理 1节(8)矩( moment 节g(xy)的(k阶矩定义为 第3节 Mk=Jo g(x, y)xky dxdy 第4节 将逆变换表达式(2代入上式,得到 MkO G(u, v)dudvl]o xky'expli2(uxtvy)ldxdy 由6函数导数的变换表达式(7),上式内部的积分 ∫xyxp2π(ax+wy) Dady=(2π)446k,(x,) 矩的表达式 L1=(-27)klG0(0,0) 第1章

第1节 第2节 第3节 第4节 目 录 第1章 2021/2/19 光学信息处理 10 (8) 矩 (moment) g(x,y)的(k,l )阶矩定义为 M k, l = ∞ - ∞ g(x,y)xk y l dxdy (22) 将逆变换表达式(2)代入上式，得到 M k, l =∞ -∞G(u,v)dudv∞ -∞x ky lexp[i2(ux+vy)]dxdy 由δ函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分 ∞ -∞x ky lexp[i2(ux+vy)]dxdy = (i2) -k-l δ (k, l) (u,v) 矩的表达式 M k, l = (-i2) -k-l G (k,l) (0,0)