高等数学（上册）考试试卷（一） 一、填空 1.设a,6,c为单位向量，且满足a+b+c=0,则a.b+b.c+ca= 2.me一mege 3设F国=点且当=1时0-，则R 4设-小nf,期o 5.f=e+1rs0 {r+么x>0在x0处可导，则a=一b= 二、选择 上自线广：2=袋：销族转一周所希自面方程为( 1Ξ=0 (A)x2-2y2+2=1: (B)x2-2y2-2z2=1: (C)x2-2y2-2=1: (D)x2-2y2+222=1 (A)1 (B)e2 (C)0 (D)e-1 3.设函数fx)具有连续的导数，则[xyf"(x)+fx)=( ) (A)xf(x)+c: (B)f'(x)+c: (C)x+f(x)+c: (D)x+f(x)+c 4.设fx)在[a,b]上连续，则在[a,b)]上至少有一点5，使得( (A)f"(5)=0 (Bf⑤=6-@ b-a
85 高等数学（上册）考试试卷（一） 一、填空 1．设 a b c , , 为单位向量，且满足 a +b +c = 0 ，则 a b b c c a + + = 2． x x e 1 0 lim →+ = ， x x e 1 0 lim →− = ， x x e 1 0 lim → = 3．设 2 1 1 ( ) x F x − = ，且当 x =1 时， 2 3 F(1) = ，则 F(x) = 4．设 f (x) = t dt x 2 sin 0 ，则 f (x) = 5． + + = , 0 1, 0 ( ) ax b x e x f x x 在 x =0 处可导，则 a = ，b = 二、选择 1．曲线 = − = 0 2 1 2 z x y 绕 x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A） 2 1 2 2 2 x − y + z = ； （B） 2 2 1 2 2 2 x − y − z = ； （C） 2 1 2 2 2 x − y − z = ； （D） 2 2 1 2 2 2 x − y + z = 2． 2 ) 1 1 lim ( x x x x − → − + =（ ）。 （A）1 （B） 2 1 e （C）0 （D） −1 e 3．设函数 f (x) 具有连续的导数，则 + = [xf (x) f (x)]dx （ ） （A） xf (x) + c ； （B） xf (x) + c ； （C） x + f (x) + c ； （D） x + f (x) + c 4．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上至少有一点 ，使得（ ） （A） f ( ) = 0 （B） b a f b f a f − − = ( ) ( ) ()
(C)f(5=0 (D)f()=b-a 5.设函数y=asnx+sn3x在x=处取得极值，则a=( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 三、计算题 [x=1 1.求与两条直线=1+1及+=y牛2-都平行且过点3,2，D的平面方程。 1 2 z=1+2 2.求下列极限 0 (2)limarctan er-I 3.计算下列积分 (I)∫sndk: j2+nh o w 4.求下列导数或微分 x-22 D设y=a-2x+求： a”,要 1y=2+21 》=(,求 )设G+6,求隐商数y的价号数票。 四、设fx)eC0,f)eD0,I),且fo)=f0=0,f匀=l,证明： (1)存在7(5，)，使f)=n (2)对任意实数元，必存在5∈(0，)，使f"(5-f-月=1
86 （C） f () = 0 （D） b a f x dx a b f − = ( ) ( ) 5．设函数 y a x sin 3x 3 1 = sin + 在 x = 3 处取得极值，则 a = （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 三、计算题 1． 求与两条直线 = + = + = 2 1 1 z t y t x 及 1 1 2 2 1 1 − = + = x + y z 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1） 2 1 1 cos lim 2 1 − + + → x x x x ； （2） 1 arctan lim 3 0 − − x→ x e x x 3．计算下列积分 （1） sin xdx ； （2） + dx 2 sin x 1 （3） + dx x e 1 ln x 1 2 ； （4） − − 1/ 2 + 1/ 2 1 1 dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设 3 2 (1 2 )(1 ) ( 2) x x x y − + − = ，求 dy 。 （2） = + = − + 3 2 ln(1 ) y t t x t t ，求 2 2 dx d y 。 （3） x x x y sin ) 1 ( + = ，求 dy 。 （4）设 x + y = a ，求隐函数 y = y(x) 的二阶导数 2 2 dx d y 。 四、设 f (x)C[0,1], f (x)D(0,1) ，且 ) 1 2 1 f (0) = f (1) = 0, f ( = ，证明： （1）存在 ,1) 2 1 ( ，使 f () = （2） 对任意实数 ，必存在 (0,) ，使 f ( ) − [ f ( ) − ] =1
高等数学（上册)考试试卷（二） 一、填空 已知f6)=2.则6-0 2h 2、设y=j-u-2h,则g1m 3、设f(x)的一个原函数为x3-x,则∫f(sinx)cosxdx= 4、mf)存在的充分必要条件是，f)和。f一 5、若两平面+y+2-k=0与+y-2:=0互相垂直，则k 二、选择 1、点M(2,3,1)关于z坐标面的对称点M的坐标为 A、(-2,3,-1)B、(-2,3,1)C、(2,3,-1)(D、(-2,3,1) 2、下列命题不正确的是 A、非零常数与无穷大之积是无穷大。B、0与无穷大之积是无穷小 C、无界函数是无穷大。 D、无穷大的倒数是无穷小。 3、设了x)=2,/0)=L,则fxf(x)d= A、22x+0+c B、2x++cC2X2x+2+eD、22x+2+ 4、f(x)=,则f(x)在x=0处 A、厂(0)存在，(0)不存在 B、厂(O)存在，了(O)不存在 C、f,(O),了(O)均存在但不相等D、尸，(O),f(O)存在且相等 5、i-cos2xd= B、1C、2 D、4 二、计算题 1、求下列极限 w a 2、求下列导数或微分
87 高等数学（上册）考试试卷（二） 一、填空 1、已知 f (3) = 2 ,则 = − − → h f h f h 2 (3 ) (3) lim 0 2、设 = − − x y t t dt 0 2 ( 1) ( 2) ,则 x=0 dx dy = 3、设 f (x) 的一个原函数为 x − x 3 ，则 f (sin x)cos xdx = 4、 lim ( ) 0 f x x→x 存在的充分必要条件是 lim ( ) 0 0 f x x→x − 和 lim ( ) 0 0 f x x→x + 5、若两平面 kx+ y + z − k = 0 与 kx+ y − 2z = 0 互相垂直，则 k = 二、选择 1、 点 M（2，-3，-1）关于 yoz 坐标面的对称点 M1 的坐标为 A、（-2，3，-1）B、（-2，-3，-1） C、（2，3，-1）（D）、（-2，-3，1） 2、下列命题不正确的是 A、非零常数与无穷大之积是无穷大。 B、0 与无穷大之积是无穷小。 C、无界函数是无穷大。 D、无穷大的倒数是无穷小。 3、设 f '(x) = 2,且f (0) =1,则 f (x) f '(x)dx = A、 2(2x +1) + c B、 (2x +1) + c 2 1 C、 x + +c 2 2(2 1) D、 x + + c 2 (2 1) 2 1 4、 f (x) = x ,则 f (x) 在 x =0 处 A、 ' (0) + f 存在， ' (0) − f 不存在 B、 ' (0) − f 存在， ' (0) + f 不存在 C、 ' (0) + f ， ' (0) − f 均存在但不相等 D、 ' (0) + f ， ' (0) − f 存在且相等 5、 − − = / 2 / 2 2 1 cos xdx A、0 B、1 C、2 D、4 二、计算题 1、求下列极限 （1） x e e ax bx x − →0 lim （2） ) 1 1 ln 1 lim ( 1 − − x→ x x 2、求下列导数或微分
①设f-r1时，e>e 高等数学（上册）考试试卷（三） 一、填空 1.设8)=冈+1则m8x)一8)一m8— 2.设(axb)-c=2,则（ā+）×(6+c小(c+a)=_ 3.过两点(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 4.设y=x+a+x,则y=」 5.。由曲线y=Snx)少=c0sx以及直线x=0,x=了所围图形的面积由积分可表示为_ 二、选择 1.若∫f(x)=∫g'《xk,则必有_ (A)f(x)=g(x) (B)「fx)k=「gx)dk (c)f(x)=g(x)+c (D)f(x)-g(x)=0 2.设函数fx)在x=处连续，若x为)的极值点，则必有一
88 （1） 设 f (x) = '(0) ln(1 ), 0 , 0 f x x x x 求 + （2） 求由椭圆方程 1 2 2 2 2 + = b y a x 所确定的函数 y 的二阶导数。 （3） 已知 2 3 6 9 2 , , dx dy dx dy y = x − x − x 求 （4） 设 n n dx d y x x y ,求 3 2 1 2 + + = 3、计算下列积分 （1） e dx x − ln2 0 1 （2） 2 1 xln xdx （3） + − 0 e dx x （4） cot x sin xdx 4、求曲线 y = x y = x 2和 2 所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。 三、证明：当 x e ex x 1时, 高等数学（上册）考试试卷（三） 一、填空 1．设 ( ) [ ] 1, lim ( ) 0 g x x g x x→ + = + 则 = ， lim ( ) 0 g x x→ − = ，lim ( ) 0 g x x→ = 。 2．设 (a b) c = 2, [(a + b)(b + c)](c + a) = 则 。 3．过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于 ox 轴的平面方程为 。 4．设 y = x + a + x dy = a x x ,则 。 5．由曲线 y = sin x, y = cos x 以及直线 2 0, x = x = 所围图形的面积由积分可表示为 。 二、选择 1．若 f (x)dx = g (x)dx, 则必有 。 （A） f (x) = g(x) （B） f (x)dx g(x)dx = （C） f (x) = g(x) + c （D） f (x) − g(x) = 0 2．设函数 0 f (x)在x = x 处连续，若 ( ) 0 x 为f x 的极值点，则必有
(A)f'(x)=0 (B)f'(x)≠0 (C)f"(x)=0或f'(x)不存在 (D)f'(x)不存在 3.设a={4,-3,4,b={2,2,1,则pa=_ (A)1 (B) (C)2 (D)3 4若职4，则 (A)a=6,1=3 (B)a=-6,1=3 (c)a=3,1=6 (D)a=-31=6 三.丽数)益的单调消加区间为 (A)(0,e)(B)(1,e)(C)(e,+o)(D)(0,+o) 三、计算题 1.求下列导数或微分 (1)设f(x)=xp(x),其中p(x)在x=0处连续，求∫"(0) we装 4)设y=血，求，少 dx-'dx 2.计算下列极限 id ()-sn D)dt 2)m++派- 3.计算下列积分 " 包悦 0+5x2)W1+x 82 w点 4.求函数fx)x-21e在[0,3引上的最大、最小值。 四、若fx)在0,1]上有二阶导数，且f)=f0)=0,F(x)=x2fx), 9
89 （A） f (x0 ) = 0 （B） f (x0 ) 0 （C） ( ) 0 ( ) 0 0 f x = 或f x 不存在 （D） ( ) 0 f x 不存在 3．设 a = − b = prj a = b {4, 3,4}, {2,2,1},则 。 （A）1 （B） 2 1 （C）2 （D）3 4．若 l x x ax x = + + + →− 1 4 lim 3 1 ，则 。 （A） a = 6,l = 3 （B） a = −6,l = 3 （C） a = 3,l = 6 （D） a = −3,l = −6 5．函数 x x y ln = 的单调增加区间为 。 （A）（0， e ） （B）（1，e ） （C）（ e ， + ） （D）（0，+ ） 三、计算题 1．求下列导数或微分 （1） 设 f (x) = x(x) ，其中 (x) 在 x = 0 处连续，求 f (0) （3） 已知 0 2 , | sin 1 0 3 2 = − + = = + t y dx dy e t y x t t 求 （4） 设 2 2 2 2 sin , , dx dy dx d y y = x 求 2．计算下列极限 （1） − →+ x x x t t t dt t dt 0 0 2 3 0 ( sin ) lim 2 （2） lim ( x x x x ) x + + − →+ 3．计算下列积分 （1） − − 1 1 2 5 4x xdx （2） + + 3 3 0 2 2 (1 5x ) 1 x dx （3） dx x ln x （4） − dx x x 3 4．求函数 x f (x) =| x − 2 | e 在[0，3]上的最大、最小值。 四、若 f (x) 在[0，1]上有二阶导数，且 (1) (0) 0, ( ) ( ) 2 f = f = F x = x f x
证明：在(0,1)内至少存在一点5，使得F"(5)=0 高等数学（上册）考试试卷（四） 一、填空 1小、x= 是函数品司的第一 类间断点，且为—间断点 x=f sin u'du 2、 则边」 y=f(1-cosu)dud 3、若ā与6垂直且同=5，=12，则+=一a-= 4、设(e)=1+x则f(x)= 5、曲线y=e的拐点为 一下凸区间为 二、选择 1、设f(x)= ,x2在=2处可号，则有一 lax+b,x>2 A、a=b=2B、a-2,b=-2C、a=l,b=-2D、a=3,b=-2 2、己知三点A(1,0,-1),B(1,2,0,C(-1,2,1),则AB×AC= A、26B、36C65D、65 A、a=2,b=4B、a=4,b=-5C、a=1,b=-2D、a=4,b=5 4、己知∫fc+Ik=xe+c,则x) A、xeB、xeC、(x+l)eD、(r+1)e 5、设)=∫V2+rdk,则f0= 90
90 证明：在（0，1）内至少存在一点 ，使得 F( ) = 0 高等数学（上册）考试试卷（四） 一、填空 1、 x = 是函数 1 1 − − = x x y 的第 类间断点，且为 间断点。 2、 = = − = dx dy y u du x u du t t 则 0 0 2 (1 cos ) sin 2 3、若 a 与 b 垂直且 a = b = a + b = 5, 12,则 , a − b = 4、设 f '(e ) 1 x, x = + 则 f (x) = 5、曲线 x y xe − = 的拐点为 ,下凸区间为 二、选择 1、 设 2 , 2 , 2 2 1 ( ) 2 = + = x ax b x x x f x 在 处可导，则必有 A、 a = b = 2 B、 a =2, b = −2 C、a =1, b =2 D、a =3, b =2 2、 已知三点 A（1，0，-1），B（1，-2，0），C（-1，2，-1），则 AB AC = A、 2 6 B、3 6 C、6 2 D、6 3 3、 若 2 2 lim 2 2 1 = + − + + → x x x ax b x ，则 A、 a =2, b =4 B、 a =4, b =-5 C、a =1, b =-2 D、a =-4, b =5 4、 已知 + = + + ( 1) , ( ) 1 f x dx xe c f x x 则 A、 x xe B、 x+1 xe C、 x (x +1)e D、 1 ( 1) + + x x e 5、 设 = + 2 2 ( ) 2 , x f x t dt 则 f (1) =
A、5 B、5C、6-5 D、5-6 三、计算题 w“ (2)求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0、-3)，(3,0)处的切线所围图形的面积。 国：0-mm有不4心*装 心学兰，术y的鲜照机6保银 点 (6)[ei dr (7)A、B为何值时，平面x:A++3Z-5=0垂直于直线L:x=3+21,y=5-3:=-2-21? e-2,x2 值时，f(x)在x=2处连续？ [1+x/3),x<0 (9)设f(x)= 是nrt≥o 求mf() 四、设f(x,g(x)在(a,b)内可微，g(x)≠0，且f(x)g'(x)-f'(x)g(x)=0,x∈(a,b). 证明：存在常数k,使f(x)=kg(x),x∈(a,b) 高等数学（上册）考试试卷（五） 一、填空
91 A、- 3 B、 3 C、 6 − 3 D、 3 − 6 三、计算题 （1） / 4 0 3 cos sin dx x x x （2）求抛物线 y = −x 2 + 4x −3及其在点 （0、-3），（3，0）处的切线所围图形的面积。 （3）设 = − = '( ) ( ) ( ) y tf t f t x f x ， f (t) 存在且不为 0，求 2 2 dx d y （4）设 2 3 4 x x y + = ，求 y 的单调区间，凸区间，极值及拐点。 （5） + x e dx 1 （6） + e dx 2x 1 （7）A、B 为何值时，平面 ： Ax + By + 3Z − 5 = 0 垂直于直线 L：x = 3 + 2t, y = 5 − 3t,z = −2 − 2t ? (8) 设 + = = − 4, 2 , 2 , 2 ( ) 2 ax x k x e x f x x ，(i) a 为何值时， f (x) 在 x =2 处的极限存在？（ii） k 为何 值时， f (x) 在 x =2 处连续？ （9）设 + = sin , 0 1 , 0 ln(1 /3) ( ) 0 2 3 t dt x x x x x f x x ，求 lim ( ) 0 f x x→ 四、设 f (x), g(x) 在 (a,b) 内可微， g(x) 0 ，且 f (x)g (x) − f (x)g(x) 0, x (a,b) 。 证明：存在常数 k ，使 f (x) = kg(x),x (a,b) 高等数学（上册）考试试卷（五） 一、填空 1、 − = + 1 1 2 2 (1 ) arctan dx x x _
2、设fx)的一个原函数是snx,则∫x=一 3、方程xy=1在平面解析几何中表示 一，在空间解析几何中表示 4、fx)=x+e在-1内有且仅有 个零点。 5、自找上1产在1=2处的切线方程为】 b=p 二、选择 小设在，处可导，则巴+创- A、f6x)B、2f) D、(2x0 2、若1mfx)=c,则 A、y=f(x)有水平渐近线y=cB、y=f(x)有铅直渐近线x=C C、fx)=c D、f(x)为有界函数 3、己知同=35=5，当1= 时，ā+5与ā-相互垂直 A、-B、± c D、1 4、已知∫fx)=Fx)+c,则f号+1)= A、2Fx)+eB、F+cC、F5+)+cD、2F5+)+c 5、设p在[a,b上连续且p'(b)=a,p'(a)=b,则p'x)p'(x)dk= A、a-bB、5a-b)C、a2-b2D、5a2-b2) 三、计算题 1、求下列极限 (D (2)al-m受 2、求下列导数或微分 (1)y=n(x+Vx2+I),求d （2)设福数y=)由方程町广e+cowf山=0确定，未盘
92 2、设 f (x) 的一个原函数是 sin x ,则 xf '(x)dx = 3、方程 xy =1 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何中表示 4、 f (x) = x +e x在(−1,1)内有且仅有 个零点。 5、曲线 在 2处的切线方程为 1 3 2 = = = + t y t x t 二、选择 1、 设 f (x) 在 0 x 处可导，则 = + − − → h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 A、 '( ) 0 f x B、 2 '( ) 0 f x C、0 D、 '(2 ) 0 f x 2、 若 lim f (x) c,则 x = → A、 y = f (x) 有水平渐近线 y = c B、 y = f (x) 有铅直渐近线 x = c C、 f (x) = c D、 f (x) 为有界函数 3、已知 a = 3, b = 5, 当 = 时， a b与a b相互垂直 + − 。 A、 5 3 − B、 5 3 C、 5 3 D、1 4、已知 = + + dx = x f x dx F x c f 1) 2 ( ) ( ) ,则 ( A、 2F(x) + c B、 c x F ) + 2 ( C、 c x F +1) + 2 ( D、 c x F +1) + 2 2 ( 5、设 = = = b a 在[a,b]上连续且 (b) a, (a) b,则 (x) (x)dx A、 a −b B、 ( ) 2 1 a − b C、 2 2 a −b D、 ( ) 2 1 2 2 a −b 三、计算题 1、 求下列极限 （1） 2 ) 3 (1 x x x Lim + → （2） 2 (1 ) tan 1 x Lim x x − → 2、 求下列导数或微分 （1） y ln( x x 1),求dy 2 = + + （2）设函数 y = y(x) 由方程 + = − 2 0 2 cos 0 y a x t e dt t dt 确定，求 dx dy
3、计算下列积分 x j 4、设fx)= ,讨论f(x)在x=0处的连续性。 e'+B,x≤0 =j广co 5、求曲线 y=js血“h 自1=1至1~号-受酒的长度 四、证明题 1、证明：当x>0时，e2-(1+x)>1-cosx 2、设f(x)在0，]上连续，在(0,1)上可导，且f0)=1f①=0，求证在(0,1) 内至少有一点5，使了(5)=-儿组 5 高等数学（上册)考试试卷（六） 一、填空 1、抛物线y=4x-x2在其顶点处的曲率为 2、(a+五+c)×c+(a+i+)x6+(⑥-)×ā 云 4、已知Fx)=f),则∫f2x+= 5、若m=0,则mx。=若mx,=A,则m小= 二、选择 1、若mf(x)=a,则必有 A、f(x)在x点连续： B、f(x)在x点有定义：
93 3、 计算下列积分 （1） + 2 1 1 ln e x x dx （2） + + x dx 1 1 4、 设 , 0 , 0 1 sin ( ) + = e x x x x f x x ，讨论 f (x) 在 x = 0 处的连续性。 5、 求曲线 = = t t du u u y du u u x 1 1 sin cos 自 t =1 至 2 t = 一段弧的长度。 四、证明题 1、 证明：当 x e x x x 0时, − (1+ ) 1− cos 2、 设 f (x) 在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且 f (0) = 1, f (1) = 0,求证在（0，1） 内至少有一点 ，使 ( ) '( ) f f = − 高等数学（上册）考试试卷（六） 一、填空 1、 抛物线 2 y = 4x − x 在其顶点处的曲率为_ 2、 a b c c a b c b b c a ( + + ) + ( + + ) + ( − ) =_ 3、 + x dt t t dx d 0 1 sin cos =_ 4、 已知 F(x) = f (x) ，则 f x + )dx = 2 2 ( _ 5、 若 lim = 0 → n n x ，则 = → n n lim x _；若 xn A n = → lim ，则 = → n n lim x _ 二、选择 1、 若 f x a x x = → lim ( ) 0 ，则必有_ A、 f (x) 在 0 x 点连续； B、 f (x) 在 0 x 点有定义；
C、fx)在x,的某去心邻域内有定义：D、a=fxo) 2段有直线影中-牛与位：，则与的夹为 A、π/6：B、π/4：C、π/3：D、π/2 头-m上0在=0 0,x=0 A、 不连续： B、连续但不可导 C、可导，但导数在该点不连续：D、导函数在该点连续 4、已知fx)k=x2+c,则∫xf1-x2)k=」 A、21-x2)2+c:B、-21-x2)+c: C、20-x2y2+c: D、-0-xP+c 5、广义积分心e“k收敛，则 A、k>0:B、k≥0：C、k<0:D、kS0 三、计算题 1、求下列极限 w (2)lin darctanx X-1 2、求下列导数或微分 (m2,x+0 (1)y=x (2)y=e2sinx,求ym 0,x=0 》0=哥，求0 (4)求由方程√x+√少=√a所确定的函数y的导数y y求办 3、求下列积分
94 C、 f (x) 在 0 x 的某去心邻域内有定义； D、 ( ) 0 a = f x 2、 设有直线 1 8 2 5 1 1 : 1 + = − − = x − y z l 与 + = − = 2 3 6 : 2 y z x y l ，则 1 l 与 2 l 的夹角为_ A、 / 6 ； B、 / 4 ； C、 /3 ； D、 / 2 3、 = = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x 在 x = 0 处_ A、 不连续； B、连续但不可导； C、可导，但导数在该点不连续； D、导函数在该点连续 4、 已知 f x dx = x + c 2 ( ) ，则 xf (1− x )dx = 2 _ A、 − x + c 2 2 2(1 ) ； B、 − 2(1− x ) + c 2 ； C、 − x + c 2 2 (1 ) 2 1 ； D、 − − x + c 2 2 (1 ) 2 1 5、 广义积分 e dx kx − 0 收敛，则_ A、 k 0 ； B、 k 0 ； C、 k 0 ； D、k 0 三、计算题 1、 求下列极限 （1） x x x x x x + − − + → 2 1 2 1 lim 2 2 （2） 1 4arctan lim 1 − − → x x x 2、 求下列导数或微分 （1） = = 0, 0 , 0 sin 2 x x x x y ，求 dx dy （2） y e x x = sin ，求 (n) y （3）设 x x x t x t f t t − + = → ( ) lim ，求 f (t) （4）求由方程 x + y = a 所确定的函数 y 的导数 y （5） 1 2 + = x x y ，求 dy 3、 求下列积分