极限概念的历史演变 1.极限概念的萌芽 关于极限的素朴思想可以追溯到古希腊的巧辩学派，该学派的智者安提丰(Antiphon 约公元前5世纪)受到“化圆为方”问题的影响，提出用圆的内接正方形的边数不断加倍的 方法，可以无限逼近圆的面积。几乎同时，布莱森则从相反方向，即用外切圆多边形来逼近 圆的面积。古希腊的数学家希波克拉茨(Hippocrates,约公元前470一430)正是从这一思想 出发，证明了两圆面积之比等于它们的直径平方之比。但当时还没有出现极限概念来作为本 质上是 穷小的论证的依据。 希腊学者欧多克斯(Eudoxus,公元前408一355)进一步丰富和发展了用多边形的面积 逼近圆面积的思想，以后明确提出了“穷竭法”，即当给定曲线图形S时，要借助于充满或 “穷竭”S的多边形序列P,乃，.Pn,.来确定S的面积。但是必须证明当把n选取得 够大时，可以使图形S和内接多边形之差的面积为任意小。为此，欧多克斯还提出了下述 原理 设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量 减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必由某个余量将小于给定的较小的量。 上述原理以现代数学形式语言可表述为 设M。和6时两个给定的量，M,M2,.,M。.为一序列，满足 M<5M,M,<M,M,<M,. 则对某一n,M。<￡。以上述原理为逻辑依据，欧多克斯证明了一些重要的求积定理，如 “棱锥的体积是同底等高的棱柱体的体积的三分之一”和“圆锥的体积是同底等高的圆柱体 的体积的三分之一”就是由欧多克斯首先给予证明的。欧多克斯的穷揭法可以认为是微积分 的第一步，但并没有明确地应用极限，也回避了“无穷小”的概念。 到了阿基米德时代，穷竭法己被发展成扩约法，用此方法证明圆的面积时，不仅利用 圆的内接多边形，而且利用外切多边形把圆的面积“扩约”非常接近圆的内接和外切多边形 的面积之间，这种方法成为阿基米德解决一系列向题的有力工具。 阿基米德采用双缪法，证明抛物线弓形APB的面积等于其内接三角形APB的面积的 手如国4一1所示 首先，APB是第一个内接多边形 (三角形)，分别以AP,BP为底再作这 种内接三角形APP和BPP,按这样的 方法连续作下去，这样就得到一系列边 数愈米愈多的多变形。设三角形APB的 面积为S,阿基米德证明了三角形AP 和三角形APP之和是三角形APB的
极限概念的历史演变 1．极限概念的萌芽 关于极限的素朴思想可以追溯到古希腊的巧辩学派，该学派的智者安提丰（Antiphon, 约公元前 5 世纪）受到“化圆为方”问题的影响，提出用圆的内接正方形的边数不断加倍的 方法，可以无限逼近圆的面积。几乎同时，布莱森则从相反方向，即用外切圆多边形来逼近 圆的面积。古希腊的数学家希波克拉茨（Hippocrates,约公元前 470—430）正是从这一思想 出发，证明了两圆面积之比等于它们的直径平方之比。但当时还没有出现极限概念来作为本 质上是无穷小的论证的依据。 希腊学者欧多克斯（Eudoxus，公元前 408—355）进一步丰富和发展了用多边形的面积 逼近圆面积的思想，以后明确提出了“穷竭法”，即当给定曲线图形 S 时，要借助于充满或 “穷竭” S 的多边形序列 P1 ， P2 ，.P n ，.来确定 S 的面积。但是必须证明当把 n 选取得 足够大时，可以使图形 S 和内接多边形之差的面积为任意小。为此，欧多克斯还提出了下述 原理： 设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量 减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必由某个余量将小于给定的较小的量。 上述原理以现代数学形式语言可表述为 设 M 0 和 时两个给定的量， 1 2 M M, ，.， M n .为一序列，满足 1 0 1 2 M M ， 2 1 1 2 M M ， 3 2 1 2 M M ，.。 则对某一 n ， M n 。以上述原理为逻辑依据，欧多克斯证明了一些重要的求积定理，如 “棱锥的体积是同底等高的棱柱体的体积的三分之一”和“圆锥的体积是同底等高的圆柱体 的体积的三分之一”就是由欧多克斯首先给予证明的。欧多克斯的穷揭法可以认为是微积分 的第一步，但并没有明确地应用极限，也回避了“无穷小” 的概念。 到了阿基米德时代，穷竭法已被发展成扩约法，用此方法证明圆的面积时，不仅利用 圆的内接多边形，而且利用外切多边形把圆的面积“扩约”非常接近圆的内接和外切多边形 的面积之间，这种方法成为阿基米德解决一系列问题的有力工具。 阿基米德采用双缪法，证明抛物线弓形 APB 的面积等于其内接三角形 APB 的面积的 4 3 ，如图 4—1 所示。 首先， APB 是第一个内接多边形 （三角形），分别以 AP BP , 为底再作这 种内接三角形 APP1 和 BP P2 ，按这样的 方法连续作下去，这样就得到一系列边 数愈来愈多的多变形。设三角形 APB 的 面积为 S ，阿基米德证明了三角形 APP1 和三角形 AP P2 之和是三角形 APB 的
面积的 ,这样就得到第二个内接五边 图4一1 形的面积为S+S,以此类推，可以得到第个内接多边个面积为 1-( S+S+5++45 -5 1- =s-3x4s, A 阿基米德指出，尽管第k个这种多变形的面积愈来愈接近抛物线弓形的面积，但却不是抛物 线弓形的面积。它们之间仍有差值3×一S。当k增大时，差值将愈米愈小，直到不可能 是一个确定的大于零的常数，但此差值也不可能小于零，因此，由双归谬法，差值只能等于 零。从现代数学的角度不难看出，阿基米德的求积法并没有引出级数和以极限来作为收敛级 数的和的概念。但是他毕竞用 格的几何穷渴法的正确性实现 求积 过程中逻辑的正 性，并且通过有限项级数求和以及对余项必为零的证明，指出了通向现代积分理论的正确方 向。可以说，在阿基米德的著作中隐含若极限思想，但并不是具有极限观点。 自从公元前2世纪罗马人在地中海地区建立起政权以后，整个希腊文化特别是希腊的理 论数学讲入衰落时期，实际上己经停止发居而转向某种应用，而这种应用并无助干数学本身 的讲步。从之后 一直到中世纪，在西方的数学研究中没有出现有关极限思想。但是与极限 有者密切关系的无限思想和连续思想却不断地被人们探索着。 从有限到无限，这是人类认识发展史上的一次重大飞跃。阿基米德的穷竭法事实上就是 古希腊潜无限思想发展的高峰。在我国战国时代《庄子》一书中就有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”之说。我国古代伟大数学家刘徽在利用“制圆术”计算面积时，正是利用潜无 限思想得出合乎逻辑的正确结论：“制之弥细，所失弥少，割之又制，以至不可制，则与圆 合体而无失矣 在潜无限产生的同时，也产生了实无限。我国《庄子》一书中所提到的“至大无外谓之 大一，至小无内谓之小一。”就体现出素朴的实无限思想。古希腊的原子论者认为，客观事 物都存在不可再分的原子，而物体均由其原子堆积而成，这里的原子就是数学中的实无限小 而柏拉图从其理念论出发，提出了对后世具有重大影响的实无限观，柏拉图认为，在他的唯 真实存在的“理念 ,任何个体对象都可以通过思维得以把握的 在无限的发展史上，第一个对无限进行系统讨论的是柏拉图的学生亚里士多德。在亚里 士多德看米，研究无限与研究有限同样重要。他认为：“既然研究自然是研究空间的量、运 动和时间的，其中每一个必然不是无限的就是有限的，因此，.所有有名的哲学家，凡是 接触过这门自然哲学的都讨论过有关无限的间题。”亚里士多德第一次给出潜无限与实无限 之间的区别，他认为潜无限具有“此外永有”的特点，实无限则具有“此外永无”的特点。 但是，他没有认识到潜无限与实无限只是 个矛后的两个方面， 二者既是对立的 ,又是统 的。正是因为如此，亚里士多德在对待两种无限的态度上，否认了柏拉图的实无限观而走向 另一个极端。面对芝诺(Zen0,约公元前490一425)的二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止 说以及运动场悖论，亚里士多德也就不可能做出充分辩证的分析和成功的解释。 在这一时期内 方面由于亚里士多德的学说被经院哲学推到至高无上的地位：另一方 面由于在应用中 用实无限时 生了 之，亚里士多德的潜无限思想逐渐 受到重视并 占据重要地位。例如，被称为“深湛博士”的坎特伯里的大主教托马斯·布兰德瓦丁，他在 《几何探索》和《连续论者》中特别讨论了连续量的性质。他认为：“连续统不是有无穷个 不可分量积累或组成的。”这显然是潜无限的思想。有“万能博士”之称的培根在他的《大
面积的 1 4 ，这样就得到第二个内接五边 图 4—1 形的面积为 1 4 S S + ，以此类推，可以得到第 k 个内接多边个面积为 2 1 1 4 4 S S S + + + . 1 1 1 ( ) 1 4 4 1 1 4 k k S S − − + = − 1 4 1 3 3 4k S S − = − 。 阿基米德指出，尽管第 k 个这种多变形的面积愈来愈接近抛物线弓形的面积，但却不是抛物 线弓形的面积，它们之间仍有差值 1 1 3 4k S − 。当 k 增大时，差值将愈来愈小，直到不可能 是一个确定的大于零的常数，但此差值也不可能小于零，因此，由双归谬法，差值只能等于 零。从现代数学的角度不难看出，阿基米德的求积法并没有引出级数和以极限来作为收敛级 数的和的概念。但是他毕竟用基于严格的几何穷竭法的正确性实现了求积过程中逻辑的正确 性，并且通过有限项级数求和以及对余项必为零的证明，指出了通向现代积分理论的正确方 向。可以说，在阿基米德的著作中隐含着极限思想，但并不是具有极限观点 。 自从公元前 2 世纪罗马人在地中海地区建立起政权以后，整个希腊文化特别是希腊的理 论数学进入衰落时期，实际上已经停止发展而转向某种应用，而这种应用并无助于数学本身 的进步。从此之后一直到中世纪，在西方的数学研究中没有出现有关极限思想。但是与极限 有着密切关系的无限思想和连续思想却不断地被人们探索着。 从有限到无限，这是人类认识发展史上的一次重大飞跃。阿基米德的穷竭法事实上就是 古希腊潜无限思想发展的高峰。在我国战国时代《庄子》一书中就有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”之说。我国 古代伟大数学家刘徽在利用“割圆术”计算面积时，正是利用潜无 限思想得出合乎逻辑的正确结论：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆 合体而无失矣。” 在潜无限产生的同时，也产生了实无限。我国《庄子》一书中所提到的“至大无外谓之 大一，至小无内谓之小一。”就体现出素朴的实无限思想。古希腊的原子论者认为，客观事 物都存在不可再分的原子，而物体均由其原子堆积而成，这里的原子就是数学中的实无限小。 而柏拉图从其理念论出发，提出了对后世具有重大影响的实无限观，柏拉图认为，在他的唯 一真实存在的“理念世界”中，任何个体对象都可以通过思维得以把握的。 在无限的发展史上，第一个对无限进行系统讨论的是柏拉图的学生亚里士多德。在亚里 士多德看来，研究无限与研究有限同样重要。他认为：“既然研究自然是研究空间的量、运 动和时间的，其中每一个必然不是无限的就是有限的，因此，.所有有名的哲学家，凡是 接触过这门自然哲学的都讨论过有关无限的问题。”亚里士多德第一次给出潜无限与实无限 之间的区别，他认为潜无限具有“此外永有”的特点，实无限则具有“此外永无”的特点。 但是，他没有认识到潜无限与实无限只是一个矛盾的两个方面，二者既是对立的，又是统一 的。正是因为如此，亚里士多德在对待两种无限的态度上，否认了柏拉图的实无限观而走向 另一个极端。面对芝诺（Zeno,约公元前 490—425）的二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止 说以及运动场悖论，亚里士多德也就不可能做出充分辩证的分析和成功的解释。 在这一时期内，一方面由于亚里士多德的学说被经院哲学推到至高无上的地位；另一方 面由于在应用中利用实无限时产生了一系列悖论，亚里士多德的潜无限思想逐渐受到重视并 占据重要地位。例如，被称为“深湛博士”的坎特伯里的大主教托马斯·布兰德瓦丁，他在 《几何探索》和《连续论者》中特别讨论了连续量的性质。他认为：“连续统不是有无穷个 不可分量积累或组成的。”这显然是潜无限的思想。有“万能博士”之称的 R•培根在他的《大
著作》一书中，已经认识到原子论的思想同不可公度量的存在是不相容的，他也坚持潜无限 观而香认实无限观。同时，这一时期的哲学家还研究了运动、运动和连续、连续和离散之间 的关系 上述的这些研究仅限于思辨式的讨论，对于潜无限思想在实际中的应 却没有引走 足够的重视。但这一时期关于无限和连续性考察的一个结果，使得17世纪的数学家不再拒 绝引入无穷方法，为极限概念的孕有铺平了道路。 2.极限概念的型育时期 随着文艺复兴运动的兴起，资本主义生产迅速发展，远海航行、天文学的研究以及新技 术的发展和 与此有关的动 的发展，都追切要 求数学家解决当时最普遍的切线问题和求形 问题。这一时期，柏拉图的哲学成了新兴资产阶级反对封建贵族的有力思想武器，于是柏拉 图的实无限思想引起人们的重视并得到了极其广泛的应用。 在处理求积问题的过程，穷竭法又显示出了巨大的威力，同时，人们对这一方法又进行 了不断地改造。斯杰文(Stevin,1548一1620)在1586年发表的《静力学》中，证明了三角 形的重心落在中线上， 并提出了极限概令 指出了“极限方法发展成为 一个实用的概念”的 方向。并且断言：如果内接图形和已知图形的面积之差经过连续细分能使之小于任何已知的 量，则两者必无差矣。只要对他的方法稍作改变，即主要进一步算术化以及使用更精确的术 语，就能认出近代的极限方法。可见，斯杰文对穷竭法的改进标志着对极限概念的形成推进 以“天空立法者”一德国天文学家开普勒(Kepler,.1571一1630)为代表的数学家同样 对阿基米德的方 去作了进 步的改进。 在开普勒161 年发 表的 《新空间几何》 中，从最简 单的曲边图形计量问题一对圆求面积开始，提出了一种具有启发性的“同维无穷小法”。例 如，他将圆的面积看作由无限多个无穷小的三角形组成，多边形的边就是无穷小三角形的底， 圆心为无穷三角形的顶点，于是全部面积等于圆周与边心距（即半径）乘积之半。进一步 他把球看作是由无限多个无穷小锥体所组成，指出球的体积为球半径与求面积乘积的三分之 把锥和柱看作是由无穷多个无穷小的楔形体所组成，或者看 作由其它形状的垂直截面或 斜截面所组成，并计算其体积。由此可见，开普勒运用了不可分量和将立体划分为无限个无 穷小的部分来处理极限问题，但并没有明确提出极限概念和方法，其思想仍处于极限概念的 萌芽状态。 加利路的学生卡瓦列里(Cava1ieri.1598一1647)在1635年出版的《不可分量几何学》 一书中提出了“不可分量方法”。其基本观点是：几何图形是由无数多个维数较低的不可分 量组成，例如，线是由点组成的：面是由线组成的：立体是由等距的平行平面组成的。并把 这些元素分别作为线、面、立体的不可分量，而不考虑这些不可分量是否具有大小、宽度和 厚度，这显然与古希酷的原子论思想一脉相承。然而，卡瓦列里在研究不可分量时，仅立足 于不可分量的计算，并没有注重不可分量精确性质的讨论。因此，在卡瓦列里的著作中，尽 管在计算立体的体积时隐含着极限付程.但沿有提出明确的极限概今。 在处理类似切线等各类问题的过程中，数学家同样提出了种种不同的方法。法国数学家 笛卡尔(Descartes,.l596 1650)利用“重根法”作出曲线的切线：费玛(Fermat,.1601 1665)在1637年发表的《求最大值和最小值的方法》中，运用无穷小求出曲线的切线及函 数的最大值和最小值，但是，他并未从逻辑上对其方法作过清楚和全面地解释：巴罗 (Barrow.1630一1677)通过引入微分三角形或特征三角形求出了曲线的切线，这和现代微 分法求出的结果是完全一样的。 尽管笛卡 、费玛、巴罗等数学家在处理切线等问题时采用的方法不同，但这些方法的 基本思想都是无穷小。 由于卡瓦列里、笛卡尔、费玛、巴罗等先驱者的务力，17世纪数学的发展己涉及到微 积分的本质问题，这个世纪的后半期终于产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。微积分已经产生
著作》一书中，已经认识到原子论的思想同不可公度量的存在是不相容的，他也坚持潜无限 观而否认实无限观。同时，这一时期的哲学家还研究了运动、运动和连续、连续和离散之间 的关系。上述的这些研究仅限于思辨式的讨论，对于潜无限思想在实际中的应用却没有引起 足够的重视。但这一时期关于无限和连续性考察的一个结果，使得 17 世纪的数学家不再拒 绝引入无穷方法，为极限概念的孕育铺平了道路。 2．极限概念的孕育时期 随着文艺复兴运动的兴起，资本主义生产迅速发展，远海航行、天文学的研究以及新技 术的发展和与此有关的动力学的发展，都迫切要求数学家解决当时最普遍的切线问题和求积 问题。这一时期，柏拉图的哲学成了新兴资产阶级反对封建贵族的有力思想武器，于是柏拉 图的实无限思想引起人们的重视并得到了极其广泛的应用。 在处理求积问题的过程，穷竭法又显示出了巨大的威力，同时，人们对这一方法又进行 了不断地改造。斯杰文（Stevin,1548—1620）在 1586 年发表的《静力学》中，证明了三角 形的重心落在中线上，并提出了极限概念。指出了“极限方法发展成为一个实用的概念” 的 方向。并且断言：如果内接图形和已知图形的面积之差经过连续细分能使之小于任何已知的 量，则两者必无差矣。只要对他的方法稍作改变，即主要进一步算术化以及使用更精确的术 语，就能认出近代的极限方法。可见，斯杰文对穷竭法的改进标志着对极限概念的形成推进 一步。 以“天空立法者”—德国天文学家开普勒（Kepler,1571—1630）为代表的数学家同样 对阿基米德的方法作了进一步的改进。在开普勒 1615 年发表的《新空间几何》中，从最简 单的曲边图形计量问题—对圆求面积开始，提出了一种具有启发性的“同维无穷小法”。例 如，他将圆的面积看作由无限多个无穷小的三角形组成，多边形的边就是无穷小三角形的底， 圆心为无穷三角形的顶点，于是全部面积等于圆周与边心距（即半径）乘积之半。进一步， 他把球看作是由无限多个无穷小锥体所组成，指出球的体积为球半径与求面积乘积的三分之 一；把锥和柱看作是由无穷多个无穷小的楔形体所组成，或者看作由其它形状的垂直截面或 斜截面所组成，并计算其体积。由此可见，开普勒运用了不可分量和将立体划分为无限个无 穷小的部分来处理极限问题，但并没有明确提出极限概念和方法，其思想仍处于极限概念的 萌芽状态。 伽利略的学生卡瓦列里（Cavalieri,1598—1647）在 1635 年出版的《不可分量几何学》 一书中提出了“不可分量方法”。其基本观点是：几何图形是由无数多个维数较低的不可分 量组成，例如，线是由点组成的；面是由线组成的；立体是由等距的平行平面组成的。并把 这些元素分别作为线、面、立体的不可分量，而不考虑这些不可分量是否具有大小、宽度和 厚度，这显然与古希腊的原子论思想一脉相承。然而，卡瓦列里在研究不可分量时，仅立足 于不可分量的计算，并没有注重不可分量精确性质的讨论。因此，在卡瓦列里的著作中，尽 管在计算立体的体积时隐含着极限过程，但没有提出明确的极限概念。 在处理类似切线等各类问题的过程中，数学家同样提出了种种不同的方法。法国数学家 笛卡尔（Descartes,1596——1650）利用“重根法”作出曲线的切线；费玛（Fermat,1601— 1665）在 1637 年发表的《求最大值和最小值的方法》中，运用无穷小求出曲线的切线及函 数的最大值和最小值，但是，他并未从逻辑上对其方法作过清楚和全面地解释；巴罗 （Barrow,1630—1677）通过引入微分三角形或特征三角形求出了曲线的切线，这和现代微 分法求出的结果是完全一样的。 尽管笛卡尔、费玛、巴罗等数学家在处理切线等问题时采用的方法不同，但这些方法的 基本思想都是无穷小。 由于卡瓦列里、笛卡尔、费玛、巴罗等先驱者的努力，17 世纪数学的发展已涉及到微 积分的本质问题，这个世纪的后半期终于产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。微积分已经产生
便在实践中获得了巨大的成功，成为解决数学和科学技术问题的强有力工具，显示出强大的 生命力。但是，微积分赖以建立的基础一无穷小量，在逻辑上暴露出致命的缺点。例如，1669 年，牛顿在他所著的小册子《运用无穷多项方程的分析学》中解答了如下一个问题 设有一条曲线y,曲线下的面积为：，且：=a,求曲线y。 当楷华标x获得一个无穷小增量“口”（牛领称之为“耀”）时，惜坐标变为x+0,相 应的而积为 toy==d++o]. (1) 面积的增量为 oy=maoxmm-D ao+o" (2) (2)两边除以无穷小量0，得 y=mar-+mg-aor-2+.+ao。 (3) 2 在(3)中舍去含有o的项，得到y=mar。 在上述云算讨程中，“。”究意是什么？生师并沿有给出明确的解释，由(2)式到(3) 式可推知，“o”是不等于零的，但由(3)式到(4)式，要求“。”又是等于零的，这显 然是矛后的，历史上称之为“无穷小悖论”。尽管牛顿在后来对微积分的基础在观念上发生 了改变，但他没有从根本上解决微积分的基础问题。 正因为在无穷小方法运用过程中包含着矛盾，微积分受到了指责与攻击。1734年英国 大主教贝克莱(G.Berkelev1685一1753)在《分析学者，一个不信教的数学家》一文中指出： “数学家竞会从不可靠的原理出发得出真实的命题，即结论正确而前提错误，这种事情看米 矛盾百出，不可理解。 贝克菜说 牛顿先认为无穷小不是零，然后又让它等于零，这违背 了背反律。在贝克莱看来，牛顿所得到的流数（即变化率）既不是有限量，也不是无限量 甚至什么也不是，只不过是“消失了量的鬼魂”。尽管贝克莱对微积分的攻击出于他的政治 目的，但他的分析却一针见血，击中要害，于是引发了数学发展史上的第二次数学危机 这一时期内之所以没有明确提出极限概念，存在主、客观两方面的原因：(1)当时只注 重对实际问题的解决，而对理论基础的建立却不太关心。 (2)对无限思想没有一个全面地认 识，否定了在中世纪占统治地位的潜无限思想，只承认当时起重要作用的实无限思想。(3) 对运动、连续及其相互关系的理解同样模糊不清 3.极限概念的探索时期 为了摆脱逻辑困难，清除数学危机，数学家开始了艰苦的探索 在这期间，数学家明确地提出了极限的概念，并借助于极限方法得到了许多有意义的结 论。或者利用极限思想去解释牛顿和菜布尼茨所创立的微积分中的主要概念。达朗贝尔 (J.R.D'Alembert,1717一1783)就利用极限思想对牛颜和莱布尼茨的微积分中的主要概 念作过解释，他认为牛顿从未把微分学当作无穷小量的计算，而是作为最初比和最终比的方 法，即求出这些比的极限的一种方法。达朗贝尔相信莱布兹次的微积分学能建立在微分三角 规则之上的：但他更喜欢把导数看成极限。他说：“极限，极限论是微积分的真正抽象，它 绝不是微分学中的无穷小的 问题： 它独特地是有限量的 限问恩。这样，无穷大和无 小量，他们相互间的较小和较大的空谈，对微积分学来说是全然无用的。”尽管达朗贝尔在 许多观点上是模糊的，但他却给出了极限正确定义的一个很好的近似：一个变量趋近于一个 固定量，趋近的程度小与任何给定的量。但另一方面，正如数学家C.波义尔(Boyer)所指出
便在实践中获得了巨大的成功，成为解决数学和科学技术问题的强有力工具，显示出强大的 生命力。但是，微积分赖以建立的基础—无穷小量，在逻辑上暴露出致命的缺点。例如，1669 年，牛顿在他所著的小册子《运用无穷多项方程的分析学》中解答了如下一个问题： 设有一条曲线 y ，曲线下的面积为 z ，且 m z ax = ，求曲线 y 。 当横坐标 x 获得一个无穷小增量“ o ”（牛顿称之为“瞬”）时，横坐标变为 x o + ，相 应的面积为 1 2 2 ( 1) ( ) [ 2 m m m m m m z oy a x o a x mox o x − − − + = + = + + + . ] m +o ， （1） 面积的增量为 1 2 2 ( 1) 2 m m m m oy maox ao x − − − = + + . m +ao ， （2） （2）两边除以无穷小量 o ，得 1 2 ( 1) 2 m m m m y max aox − − − = + + . m 1 ao − + 。 （3） 在（3）中舍去含有 o 的项，得到 m 1 y max − = 。 在上述运算过程中，“ o ”究竟是什么？牛顿并没有给出明确的解释，由（2）式到（3） 式可推知，“ o ”是不等于零的，但由（3）式到（4）式，要求“ o ”又是等于零的，这显 然是矛盾的，历史上称之为“无穷小悖论”。尽管牛顿在后来对微积分的基础在观念上发生 了改变，但他没有从根本上解决微积分的基础问题 。 正因为在无穷小方法运用过程中包含着矛盾，微积分受到了指责与攻击。1734 年英国 大主教贝克莱(G.Berkeley,1685—1753)在《分析学者，一个不信教的数学家》一文中指出： “数学家竟会从不可靠的原理出发得出真实的命题，即结论正确而前提错误，这种事情看来 矛盾百出，不可理解。”贝克莱说，牛顿先认为无穷小不是零，然后又让它等于零，这违背 了背反律。在贝克莱看来，牛顿所得到的流数（即变化率）既不是有限量，也不是无限量， 甚至什么也不是，只不过是“消失了量的鬼魂”。尽管贝克莱对微积分的攻击出于他的政治 目的，但他的分析却一针见血，击中要害，于是引发了数学发展史上的第二次数学危机。 这一时期内之所以没有明确提出极限概念，存在主、客观两方面的原因：（1）当时只注 重对实际问题的解决，而对理论基础的建立却不太关心。（2）对无限思想没有一个全面地认 识，否定了在中世纪占统治地位的潜无限思想，只承认当时起重要作用的实无限思想。（3） 对运动、连续及其相互关系的理解同样模糊不清。 3．极限概念的探索时期 为了摆脱逻辑困难，消除数学危机，数学家开始了艰苦的探索。 在这期间，数学家明确地提出了极限的概念，并借助于极限方法得到了许多有意义的结 论。或者利用极限思想去解释牛顿和莱布尼茨所创立的微积分中的主要概念。达朗贝尔 （J.R.D´ Alembert，1717—1783）就利用极限思想对牛顿和莱布尼茨的微积分中的主要概 念作过解释，他认为牛顿从未把微分学当作无穷小量的计算，而是作为最初比和最终比的方 法，即求出这些比的极限的一种方法。达朗贝尔相信莱布兹次的微积分学能建立在微分三角 规则之上的；但他更喜欢把导数看成极限。他说：“极限，极限论是微积分的真正抽象，它 绝不是微分学中的无穷小的一个问题：它独特地是有限量的极限问题。这样，无穷大和无穷 小量，他们相互间的较小和较大的空谈，对微积分学来说是全然无用的。”尽管达朗贝尔在 许多观点上是模糊的，但他却给出了极限正确定义的一个很好的近似：一个变量趋近于一个 固定量，趋近的程度小与任何给定的量。但另一方面，正如数学家 C.波义尔(Boyer)所指出
的：达朗贝尔没有逃脱传统几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述：但他是当时几 平维一把微分看成是函数极限的数学家 西蒙·罗依里埃(Simon L'Huilier)在1787年发表的《高等微积分原理的初探》中，以 微分比或微商为基础，并定义导数为函数的增量对自变量的增量之比的极限。他给出的极限 定义如下： 给出一个变量，它永远小于或大于一个指定的量，而这个变量与后者之差能够小于任何 指定的量，不论这个量有多么小，这个常量称为变量的敏小极限或较大极眼：一 罗依里埃认为变量不克 于它的极限，很显然，在他的论文中，极限概念仅局 限于单调变量，亦即只有单侧极限的概念。其次，罗依里埃曾提出这样的观点：“如果某 变量在各阶段都具有某一特性，它的极限也具有此同一特性。”这显然是错误的观点，如有 理数数列的极限是无理数就无法解释。尽管如此，该论文以极限思想为基础建立微积分的思 想是正确的。 拉克鲁瓦于1787年出版了专著《微分学和积分学论著》 1802年又出版了这一著作的 修改本《初论》。在该书中，拉克鲁瓦试图用极限理论统 顿和莱布尼茨的微积分法，并 明确提出：两个量之比，当其中每一个都趋于零时能够有确定的极限。尽管该书缺乏必要的 严格性，但由于该书广泛流传及影响，人们开始逐渐接受极限思想，从而为建立精确的极限 概念作了准备」 对微积分的重要概念首次作出比较系统而有严格叙述的是捷克斯洛伐克籍的意大利数 学家波尔查诺 Bolzano1781 -1848 ),他在1817年发表的《关于 方程在每两个 出相反结果的值之间，至少有一个是根的纯粹解析的证明》中，第一次用极限方法给出了函 数连续的定义。他指出：“对于处于某些界限之内（或外）的一切x值，函数(x)按连续性 规律变化，这不过是说：如果x是任意这样的值，则可通过把w取得足够小，而使得差 f(x+)-f(x)小于给定的量。”用现代语言可以叙述为： 如果对某一区间上的任意的x,都有imf(x+w)=f(x),则fx)在这一区间上是 连续的 如果我们把罗依里埃、拉克鲁瓦以及18世纪许多数学家的工作看成极限理论的先驱的 话，那么波尔查诺的工作则是向柯西极限理论的过渡 在这一时期内，分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，同时数学家也逐 渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身。尽管有许 多数学家对这一时期的分析状况表示不满，如阿贝尔就明确指出：“人们在今天的分析中无 可争辩地发现了多得惊人的含混之处 。最糟糕的是它还没有得到严格处理。高等分析中 只有少数命题得到完全严格的证明。人们到处发现从特殊到 般的令人遗 的推理方力 但是，在这一时期内，潜无限思想深入到数学之中已成为不可争议的事实。尽管还没有出现 严格的极限定义，但数学家提出了”极限”这个术语，并给出了“导数”等许多概念的极限 解释，从而为19世纪30年代的分析批判运动创造了必要条件 4.极限概令的建立和完善时期 如果说正式将潜无限思想引入数学殿堂的是波尔查诺，那么用潜无限思想完全代替实无 限思想的工作是由法国数学家柯西(A.LCauch,1789-1857)完成的。柯西从1823年至 1829年先后出版了三部关于分析学的方面的巨著：《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微 分学计算教程概论》。这些著作都是以严格化为其主要目标的，成为向着数学分析全面严格 化的第一步。在《无穷小计算教程概论》的前言中，柯西指出：“我所遵循的方法和其他同
的：达朗贝尔没有逃脱传统几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述；但他是当时几 乎维一把微分看成是函数极限的数学家。 西蒙•罗依里埃（Simon L´Huilier）在 1787 年发表的《高等微积分原理的初探》中，以 微分比或微商为基础，并定义导数为函数的增量对自变量的增量之比的极限。他给出的极限 定义如下： 给出一个变量，它永远小于或大于一个指定的量，而这个变量与后者之差能够小于任何 指定的量，不论这个量有多么小，这个常量称为变量的较小极限或较大极限。 罗依里埃认为变量不是小于就是大于它的极限，很显然，在他的论文中，极限概念仅局 限于单调变量，亦即只有单侧极限的概念。其次，罗依里埃曾提出这样的观点：“如果某一 变量在各阶段都具有某一特性，它的极限也具有此同一特性。”这显然是错误的观点，如有 理数数列的极限是无理数就无法解释。尽管如此，该论文以极限思想为基础建立微积分的思 想是正确的。 拉克鲁瓦于 1787 年出版了专著《微分学和积分学论著》，1802 年又出版了这一著作的 修改本《初论》。在该书中，拉克鲁瓦试图用极限理论统一牛顿和莱布尼茨的微积分法，并 明确提出：两个量之比，当其中每一个都趋于零时能够有确定的极限。尽管该书缺乏必要的 严格性，但由于该书广泛流传及影响，人们开始逐渐接受极限思想，从而为建立精确的极限 概念作了准备。 对微积分的重要概念首次作出比较系统而有严格叙述的是捷克斯洛伐克籍的意大利数 学家波尔查诺（Bernard Bolzano1781—1848）, 他在 1817 年发表的《关于方程在每两个给 出相反结果的值之间，至少有一个是根的纯粹解析的证明》中，第一次用极限方法给出了函 数连续的定义。他指出：“对于处于某些界限之内（或外）的一切 x 值，函数 f x( ) 按连续性 规律变化，这不过是说：如果 x 是任意这样的值，则可通过把 w 取得足够小，而使得差 f x w f x ( ) ( ) + − 小于给定的量。” 用现代语言可以叙述为： 如果对某一区间上的任意的 x ，都有 0 lim ( ) ( ) w f x w f x → + = ，则 f x( ) 在这一区间上是 连续的。 如果我们把罗依里埃、拉克鲁瓦以及 18 世纪许多数学家的工作看成极限理论的先驱的 话，那么波尔查诺的工作则是向柯西极限理论的过渡。 在这一时期内，分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，同时数学家也逐 渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身。尽管有许 多数学家对这一时期的分析状况表示不满，如阿贝尔就明确指出：“人们在今天的分析中无 可争辩地发现了多得惊人的含混之处.。最糟糕的是它还没有得到严格处理。高等分析中 只有少数命题得到完全严格的证明。人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式。” 但是，在这一时期内，潜无限思想深入到数学之中已成为不可争议的事实。尽管还没有出现 严格的极限定义，但数学家提出了”极限” 这个术语,并给出了“导数”等许多概念的极限 解释，从而为 19 世纪 30 年代的分析批判运动创造了必要条件。 4．极限概念的建立和完善时期 如果说正式将潜无限思想引入数学殿堂的是波尔查诺，那么用潜无限思想完全代替实无 限思想的工作是由法国数学家柯西（A.L.Cauch, 1789—1857）完成的。柯西从 1823 年到 1829 年先后出版了三部关于分析学的方面的巨著：《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微 分学计算教程概论》。这些著作都是以严格化为其主要目标的，成为向着数学分析全面严格 化的第一步。在《无穷小计算教程概论》的前言中，柯西指出：“我所遵循的方法和其他同
类著作中阐述的方法在许多方面是不同的。我的主要目的是想要利用直接考虑无穷小而产生 的简单性而达到严格化，而后者则是我在（分析教程》中为自己规定的信条。”在《分析教 程)的前言中，他说：“至于方法 我力图赋于 几何学中存在的 不求助于》 代数一般性导出的推理，这种推力 只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与 数学利学的令人叹服的严谨性很不相符。”正是在这种严格化思想的指导下，柯西首次给出 了清晰渐的极限概念： 加果一个变量深次所取得的估无跟鹊向于某一个定值，最终使议个变量的估与该定估之 差要多么小就多么小 那么该定值就称为所有其他值的极限 在《分析教程》中，柯西又给出了函数连续性的概念： 如果我们给变量x以一个无穷小增量《，那么函数本身就将得到一个增量，即差 f(x+a)-f(x),这个差同时依赖于新变量a和原变量X的值。假定了这一点以后，如果 对于在变量X的两个界限之间的每一个x值，差fx+a)-f(x)的数值随着a的无限减小 而无限减小，换言之，如果在给定的界限之间，变量x的一个无穷小增量总产生函数∫(x)本 身的一个无穷小量，那么函数在给定界限之间关于x保持连续。 在柯西给出的连续性定义中，使用了“无穷小量”这一特殊的概念。在过夫，人们对 无穷小量的理解是相当混乱的，且往往同几何和物理直观联系在一起，柯西把无穷小同变量 联系在一起，他说：“如果同一变量的一串相继的数值以这样的方式无限递减，以致可小于 任何一个约定的数，那么这个变量就成为人们称之为一个无穷小或一个无穷小量的东西。这 类变量以零为极限。” 很明显，柯西是利用动态语言给出了极限、连续和无穷小等概今的。从形式上来看】 柯西的定义与此前达朗贝尔、拉克鲁瓦等数学家给出的定义差别不大，但实际上却有若明显 的改进：(1)在其定义中已经出现了“-6 论证法的雏形，并且能从定义出发证明一 困难的有关极限的命题。(2)柯西首次放弃了以往定义中经常出现的 个变量绝不会超过 它的极限”这类错误的说法。(3)它以极限为基础定义了无穷小和微积分学中的基本概念， 符合了微积分的内在结构，为微积分的莫基迈出了重要的一步。 德国数学家外尔斯特拉斯(K.Wi ass.1815一1897)强烈反对柯西的这种定义方法， 他认为这种说法不幸地使人们想起时间和运动。在他看来，要给出微积 一个严格的基础 就必须用静态观念给出极限定义。 外尔斯特拉斯首先把变量x解释成一个字母，该字母表示数集中的一个数，然后给出了 连续变量x的静止定义：如果对某数集中任意一个x,和一系列无论怎样小的6，亿=L,2,., m),在区间(。一6，x+6)内总有该数集中另外的值，称x为该数集中的连续变量。函数 f(x)在x。点连续的定义是：如果对于任意的一个8>0，都存在一个6>0，对于区间 x-x<6内的所有x,不等式f(x)-f(x)<E恒成立，就说f(x)在x-x。处连续。在 这一定义中用A代替f(x),A就是fx)当x→x时的极限。这就是现代极限理论中所 使用的“￡一8”定义。 在上述定义中，∫x)事实上就代表了一个潜无限的过程，而A则是这一过程的结果
类著作中阐述的方法在许多方面是不同的。我的主要目的是想要利用直接考虑无穷小而产生 的简单性而达到严格化，而后者则是我在《分析教程》中为自己规定的信条。”在《分析教 程》的前言中，他说：“至于方法，我力图赋予.几何学中存在的严格性，决不求助于从 代数一般性导出的推理，这种推力.只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与 数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。”正是在这种严格化思想的指导下，柯西首次给出 了清晰的极限概念： 如果一个变量逐次所取得的值无限趋向于某一个定值，最终使这个变量的值与该定值之 差要多么小就多么小，那么该定值就称为所有其他值的极限。 在《分析教程》中，柯西又给出了函数连续性的概念： 如果我们给变量 x 以一个无穷小增量 ，那么函数本身就将得到一个增量，即差 f x f x ( ) ( ) + − ，这个差同时依赖于新变量 和原变量 X 的值。假定了这一点以后，如果 对于在变量 X 的两个界限之间的每一个 x 值，差 f x f x ( ) ( ) + − 的数值随着 的无限减小 而无限减小，换言之，如果在给定的界限之间，变量 x 的一个无穷小增量总产生函数 f x( ) 本 身的一个无穷小量，那么函数在给定界限之间关于 x 保持连续。 在柯西给出的连续性定义中，使用了“无穷小量”这一特殊的概念。在过去，人们对 无穷小量的理解是相当混乱的，且往往同几何和物理直观联系在一起，柯西把无穷小同变量 联系在一起，他说：“如果同一变量的一串相继的数值以这样的方式无限递减，以致可小于 任何一个约定的数，那么这个变量就成为人们称之为一个无穷小或一个无穷小量的东西。这 类变量以零为极限。” 很明显，柯西是利用动态语言给出了极限、连续和无穷小等概念的。从形式上来看， 柯西的定义与此前达朗贝尔、拉克鲁瓦等数学家给出的定义差别不大，但实际上却有着明显 的改进：（1）在其定义中已经出现了“ − ”论证法的雏形，并且能从定义出发证明一些 困难的有关极限的命题。（2）柯西首次放弃了以往定义中经常出现的“一个变量绝不会超过 它的极限”这类错误的说法。（3）它以极限为基础定义了无穷小和微积分学中的基本概念， 符合了微积分的内在结构，为微积分的奠基迈出了重要的一步。 德国数学家外尔斯特拉斯（K.Weievstrass,1815—1897）强烈反对柯西的这种定义方法， 他认为这种说法不幸地使人们想起时间和运动。在他看来，要给出微积分一个严格的基础， 就必须用静态观念给出极限定义。 外尔斯特拉斯首先把变量 x 解释成一个字母，该字母表示数集中的一个数，然后给出了 连续变量 x 的静止定义：如果对某数集中任意一个 0 x 和一系列无论怎样小的 ( 1,2, i i = .， n) ，在区间 0 0 ( , ) i i x x − + 内总有该数集中另外的值，称 x 为该数集中的连续变量。函数 f x( ) 在 0 x 点连续的定义是：如果对于任意的一个 0 ，都存在一个 0 ，对于区间 0 x x − 内的所有 x ，不等式 0 f x f x ( ) ( ) − 恒成立，就说 f x( ) 在 0 x x = 处连续。在 这一定义中用 A 代替 0 f x( )， A 就是 f x( ) 当 0 x x → 时的极限。这就是现代极限理论中所 使用的“ − ”定义。 在上述定义中， f x( ) 事实上就代表了一个潜无限的过程，而 A 则是这一过程的结果
即实无限性的表现。因此，外尔斯特拉斯的“￡一6”定义实质上揭示了过程与结果之间的 辩证关系，利用这一定义，我们就可以通过对过程的分析来把握相应的结果 外尔斯特拉斯所给出的极限概念严格化的最突出的特征是通过“￡-6”方法建立整个 分析的理论体系。F.克莱因在1895年外尔斯特拉斯八十大寿庆典上谈到那些年分析的进展 时说，“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“外尔斯特拉斯 作出了高于一切的贡献”D.希尔伯特认为：“外尔斯特拉斯以其酷爱批判精神和深邃的洞察 力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中 仍在现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源 无穷大和无穷小概念的困难。.今天.分析达到这样和谐、可靠和完美的程度， 质上应归功于外尔斯特拉斯的科学活动
即实无限性的表现。因此，外尔斯特拉斯的“ − ”定义实质上揭示了过程与结果之间的 辩证关系，利用这一定义，我们就可以通过对过程的分析来把握相应的结果。 外尔斯特拉斯所给出的极限概念严格化的最突出的特征是通过“ − ”方法建立整个 分析的理论体系。F.克莱因在 1895 年外尔斯特拉斯八十大寿庆典上谈到那些年分析的进展 时说，“我想把所有这些进展概括为一个词： 数学的算术化”，而在这方面“外尔斯特拉斯 作出了高于一切的贡献”D.希尔伯特认为：“外尔斯特拉斯以其酷爱批判精神和深邃的洞察 力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中 仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于 无穷大和无穷小概念的困难。.今天.分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，.本 质上应归功于外尔斯特拉斯的科学活动