
第三章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵
第三章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵

§3.1矩阵的运算 一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶矩阵的行列式 六、共轭矩阵
§3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶矩阵的行列式 六、共轭矩阵

第一节矩阵运算 一、两个概念 1.同型矩阵:行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵. 2.矩阵相等: A=(a)mx,B=(亿)mx,且;=b,→A=B (i=1,.,m;j=1,.,n) 注意:矩阵相等与矩阵等价的区别
1.同型矩阵:行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵. 2.矩阵相等: ( ) , ( ) , ( 1, , ; 1, , ) A ij m n ij m n ij ij a B b a b A B i m j n 且 一、两个概念 注意:矩阵相等与矩阵等价的区别. 第一节 矩阵运算

3.特殊矩阵: 零矩阵:元素全是零的矩阵称为零矩阵记作:O. 设矩阵A=(a)mxn’称矩阵-(a,)xn为A4的负矩阵, 记作-A,即-A=-(a,)mxn 二、矩阵加法 定义3.1.1设矩阵A=(a)mn,B=(b)mxn’称矩阵 C=(a与+b;)mxn 为矩阵A与矩阵B的和,记作C=A+B. 注意:两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加
二、矩阵加法 ( ) , ( ) ( ) 3.1.1 . ij m n ij m n ij ij m n A a B b C a b A B C A B 设矩阵 ,称矩阵 和 为矩阵 与矩阵 的 ,记作 定义 零矩阵:元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O. ( ) ( ) ( ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A a 设矩阵 ,称矩阵 为 的 , 记作 ,即 负矩阵 注意:两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加. 3.特殊矩阵:

矩阵加法的性质: A,B,C,O均为m×n矩阵 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.A+0=0+A=A 4.A+(-A=(-A+A=O 5.矩阵减法可定义为 A-B=A+(-B)=(aj-bi)mxn
矩阵加法的性质: A, B,C ,O均为 m n矩阵 1. A B B A 2. (A B) C A (B C) 3. A O O A A 4. A (A) (A) A O 5. ( ) ( ) A B A B ij ij m n a b 矩阵 可定义为 减法

例1求矩阵X,使得 2 3 -1 0 -1 2 3 2 0 1 2 +X= 3 0 1 -1 -1 1 0 -1 2 -2 0 解: 0 -1 2 37 2 -1 X = 3 0 1 -1 2 0 1 2 2 -2 0 -11 0 -1 -1 -3 -1 = 1 0 0 -3 2 1 -2
1 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 X X 例 求矩阵 ,使得 解: 0 1 2 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 X 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1

三、数与矩阵的乘法 定义3.1.2设矩阵A=(a,)xm,2是一个数矩阵 (2a,)mxn称为数孔与矩阵的乘积,记作1或A2 即 九A=A九=(九4y)mxn 注:数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的. )数称行列式是数乘到行列式的其中一行或列上 (2)数乘矩阵是数乘到矩阵的每一行的每一个元素上
三、数与矩阵的乘法 ( ) , , ( ) ( ) 3.1.2 ij m n ij m n ij m n A a a A A A A a A 数 设矩阵 是一个数 矩阵 称为 记作 或 , 即 与矩阵 , 定 的乘积 义 注:数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的. (1)数称行列式是数乘到行列式的其中一行或列上. (2)数乘矩阵是数乘到矩阵的每一行的每一个元素上

数乘的性质: 设A,B是m×n矩阵,4是数, 1.2(4A)=(九4)A 2.(兄+4)A=九A+4A 3.九(A+B)=兄A+2B 4.1A=A 5.0A=0 6.(-1)A=-A
数乘的性质: 2. ( )A A A 设 A, B是 m n矩 阵 , , 是 数 , 3. (A B) A B 1 . ( A ) ( ) A 4. 1A A 5. 0A O 6. (1)A A

例2 设A= :=[ 「-3 C八 解: 1 4-1-10+1+2-2-0+1 2A-B+5C= 3 2+2+44-3-2-4-1+3 23-1 8-1-2
2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C 例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C 2 3 1 8 1 2 解:

四、矩阵的乘法 1.定义 定义3.1.3 设A=(a)是一个m×s矩阵,B=(b) 是一个s×n矩阵,作mxn矩阵C=(c),其中 c与=a6,+ab,+.+ab,=∑abg 矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积, 记作C=AB,即
1 1 2 2 1 ( ) , ( ) , ( ) 3.1.3 , ij ij ij s ij i j i j is sj ik kj k A a m s B b s n m n C c c a b a b a b a b C A B C AB 设 是一个 矩阵 是一个 矩阵 作 矩阵 ,其中 , 矩阵 称为矩阵 与矩阵 的 , 记作 乘积 定义 即 1.定义 四、矩阵的乘法