《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-3 非齐次线性方程组

§4.3非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

§4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 011七1+412X2+.+41nn=b1, 21七1+22x2+.+42mXn=b2, amix+am2x2+.+amnxn =bm 41 12 . 令A= 1 L22 . A2n X2 b, ,X= ,b= Qn2 xn」

一、非齐次线性方程组解的性质 1.对于非齐次线性方程组(4-1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + ++ =   + ++ =      + ++ = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n n n mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b                     = = =                          令

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 411X1+a12X2+.+41mXn=0, 021X1+22X2+.+42mXn=0, amix+am2x2+.+amnxn =0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + ++ =   + ++ =     + ++ =  ， 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 性质4.3.1设x=7,和x=72是方程组(4-1)的解，则x=7 -72是对应的齐次线性方程组(4-5)的解 证明 An=b,An=b .A(7,-2)=b-b=0. 即x=71-72满足方程Ax=0. 性质4.3.2设x=7是方程组(4-1)的解，x=5是方程组 (4-2)的解，则x=7+5是方程组(4-1)的解

2.则非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 证明 ( ) 0.  A 1 −2 = b − b = 0. 即x = 1 −2满足方程Ax =  A1 = b, A2 = b (4 2) , (4 1) . 4.3.2 (4 1) , 的解 则 是方程组 的解 性质 设 是方程组 的解 是方程组 − = + − = − =     x x x - (4 5) . 4.3.1 (4 1) , 2 1 2 1 是对应的齐次线性方程组 的解 性质 设 和 是方程组 的解 则 − = = − =  x  x  x 

证明A(5+7)=A5+An=0+b=b, 所以x=5+7是方程Ax=b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 5=k51+k52++km,5n- 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

证明 A( +) = A + A = 0 + b = b, 所以x =  + 是方程 Ax = b的解. 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x     = + 其中 是 − − 的解， 是 的一个解. 又若方程组(4-5)的通解为 1 1 2 2 n r n r     k k k = + ++ − − 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

x=k51+k252++km-5m-,+n 而由性质4.3.2可知，对任何数k1,k2,km- 上式总是方程(4-1)的解， 1.于是方程组(4-1)的通解为 x=k51+k252+.+km-,5m-r+7 其中气1,52，5n,是(4-5)式的基础解系， k1,k2,km-r为任意数，n是(4-1)的特解

上式总是方程(4-1)的解, * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 而由性质4.3.2可知,对任何数 1 2 , , , n r k k k  − 1 2 , , , n r    其中  − 是(4-5)式的基础解系, * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 1.于是方程组(4-1)的通解为 1 2 , , , n r k k k  − 为任意数, (4 1) .  * 是 − 的特解

2.例题1.求解方程组 X1+X2-3x3-x4=1, 3x1-X2-3x3+4x4=4, x1+5x2-9x3-8x4=0. 解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 11-3-113-3r 11-3-11 4- 3 -1 -3 44 0-4 6 71 15-9 -8 0 3-04-6-7-1

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x  + − − =   − − + =   + − − = 2.例题1.求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A   − −   = − −       − − 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r − − −     −   − − − −     解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

「11-3 -1 1 3 3 5+2 0 1 3 7 1 2 4 4 01 1-2 3 7 1 2 4 4 01 5x-300000 2 4 00 0 00 于是得与原方程组同解的方程组 3 3 5 x 2 3 一X4= 3 7 1 2 - 2 3 4 4

3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r   − − +     −−−      −   1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r   −   −     −−−       于是得与原方程组同解的方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x  − + =    − − = − 

3 3 5 X1= 4+ 即 2 4 3 7 1 X2 3 2 4 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3 3 2 4 3-2 7 51 52= 0 0 1

1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x  = − +    = + −  即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 3 2 3 2 1 0          =           2 3 4 7 4 0 1    −      =          

取X3=X4=0 5-4 原方程组的一个特解 n'= 14 0 因此，原方程组的通解为 3 5-4 =k1 3-23-2 +k2 7 + 1 0 140 0」 1 0 其中k,k,为任意数

取 x x 3 4 = = 0 原方程组的一个特解 * 5 4 1 4 0 0          = −           1 2 1 2 3 4 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 1 0 0 0 1 0 x x k k x x       −                         = + + −                                     因此,原方程组的通解为 其中k1 ,k2为任意数