《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 线性方程组 4-1 线性方程组有解的判定

第四章线性方程组 §4.1线性方程组的解的判别 §4.2齐次线性方程组的解的结构 §4.3非齐次线性方程组解的结构

第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.2 齐次线性方程组的解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构

§4.1线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法

§4.1 线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法

一、引例 对于n元线性方程组 01X1+412X2+.+41mxn=b1 21X1+a22x2++a2mxn=b2 (4-1) ami+am22++amnxn=bm 记 11 12 n 1 012 凸n b A= azi l22 A2m ,A= L 422 b2 Am2 Aml

对于n 元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (4 1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                       11 12 1 11 12 1 1 21 22 2 21 22 2 2 1 2 1 2 , n n n n m m mn m m mn m a a a a a a b a a a a a a b A A a a a a a a b                                  记一、引例

b b= b2 x= .: Xn 于是，这个非齐次方程组可以记为Ax=b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b                     于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax = b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是 它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，即R()=R(A) 证：对于一般线性方程组（4-1)，设 w 2 b 421 C1= ,C2= ).,Cn= ,B= ml」 Am2-

二、线性方程组解的判别 4.1.1 (4 1) A A , R(A) R(A).   线性方程组 有解的充分必要条件是 它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩 即 定理 证： 对于一般线性方程组（4-1），设 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , , n n n m m mn m a a a b a a a b a a a b                                                           

则线性方程组（4-1)可写为 X1+X22+.+七nan=B (4-3) 并且A=[a1a,.an] A=[aa.a B 必要性 若方程组有解，则由(4-3)知8何由α，a,cn线性 表示，于是向量组c,%2,0,与向量组C,0,f 等价由性质2.3.1知秩{a,%2,0n}=秩{C4,%2,0n,}， 所以R(A)=R(

则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x   x   x     1 2 1 2 n n A A                    并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                          若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性

充分性 若R()=R(A),则向量组a,2,&与向量组C4,0, ,0,有相同的秩，所以向量组a4,凸2，0的最大无关 组一定是C,%,a,的最大无关组，因此B可由向量组 4,02,a线性表示由4-3)知方程组(4-1)有解 推论1当R(A)≠R(A)时，方程组(4-1)无解， 推论2如果方程组(4一1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R(A)=n

充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                           若 ，则向量组 与向量组 有相同的秩，所以向量组 的最大无关 组一定是 , 的最大无关组，因此 可由向量组 线性表示由 知方程组 有解 推论1 当R(A)  R(A)时，方程组(4  1)无解. (4 1) ( ) ( ) . 2 R A R A n    如果方程组 有解，则它有惟一解的 充分必要条件是 推论

证：（充分性） 由于方程组(4-1)有解，由(4-3)知B可由向量组 a1,c2,an线性表示.又R()=n故a1,a2.,an线性 无关，由定理2.3.2知B可由向量组a1,a2an线性表 示的表达式惟一，即方程组(4-1)有惟一解。 (必要性) 由于方程组有解，假设R(A)=R(A)=r”<,对 A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

1 2 1 2 1 2 (4 1) (4 3) , , , . ( ) , , , , 2.3.2 , , , (4 1) . n n n R A n                   由于方程组 有解，由 知 可由向量组 线性表示 又 故 线性 无关，由定理 知 可由向量组 线性表 示的表达式惟一，即方程组 有惟一解 证:(充分性) (必要性) R(A) R(A) r n A 由于方程组有解，假设    ，对 作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

=d-Cirtl-.-CunXn m =d2-Czr-.-c2nxn x =d-Cm+i-.-CmXn 若给定x1,Xm一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当x+1x取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1)的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故=n. 推论3如果方程组(4-1)有解，且R(A)=R(A)<n,则方程 组(4-1)有无穷多解

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 r n n r n n r r rr rn n x d c c x x d c c x x d c c x                    若给定xr+1 ,.,xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当xr+1 ,.,xn取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故r=n. 组 有无穷多解. 推论3如果方程组 有解,且 则方程 (4 1) (4 1) ( ) ( ) ,   R A  R A  n

X1-2x2+3x3-x4=1 例1、判断方程组{3x,-x2+5x3-3x4=2是否有解. 2x1+x2+2x3-2x4=3 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， 「1-23-1 15-3斯1-23-1 1 A= 3-1 5 -32 05 -4 0-1 L212-235-2054 01 3-2「1 -2 -1 1 0 -4 -1 00 0 0 2

例1、判断方程组 是否有解.                  2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解：对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A             2 1 3 1 3~ 2 r r r r   1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1            3 2 ~ r  r 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2          