第三节拉普拉斯逆变换 一、反演公式的推导 由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知道 F(B+jw)=f(u(t)e-Re-dt 因此有0)=2o60 2JB-j 上式称为拉普拉斯逆变换公式，也称为反演积分 公式，右端的积分称为反演积分
F j f t u t e e dt t jt − − + − ( + ) = ( ) ( ) F s e ds j f t st j j + − = ( ) 2 1 ( ) (t 0) 第三节拉普拉斯逆变换 一、反演公式的推导 由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知道 因此有 , . , 公式 右端的积分称为反演积分 上式称为拉普拉斯逆变换公式 也称为反演积分
二、利用留数定理计算反演积分 定理9.2设F(s)除在半平面Res≤c内有限个孤立奇 点s,.Sm外是解析的，并且当s→o时，F(s)→0，则有 2可Foe-2eroe,l k=1 即有f=ResJF(s)”e,lu>0)
点 外是解析的,并且当 时 则有 定理9.2设 除在半平面 内有限个孤立奇 , , ( ) 0, (s) Re 1 → → s s s F s F s c m = + − = m k k s t s t j j F s e ds s F s e s j 1 ( ) R e [ ( ) , ] 2 1 = = n k k s t f t s F s e s 1 ( ) Re [ ( ) , ] 二、利用留数定理计算反演积分 即有 (t 0)
证明： 如图所示曲线C=L+CR,L在平面 Res>c内，C是半径为R的半圆弧 当R充分大时，可使得s都在C内，由 于除孤立奇点s外是解析的故由留 尽R 数定理有 fF(s)e"ds=2>ReslF(s)e",sl k=1
= = C n k k s t s t F s e ds j s F s e s 1 ( ) 2 R e [ ( ) , ] 证明: 数定理有 于除孤立奇点 外是解析的故由留 当 充分大时 可使得 都在 内由 内 是半径为 的半圆弧 如图所示曲线 在平面 k k R R s R s C s c C R C L C L , , Re , , , = +
即有 2og+.F加-夏e6e 2 k=1 由若尔当引理可知当t>0时有 F(s)e"ds0 因此有 @2groeh2erwel
即有 = + − + = n k k s t C s t s t j R j R F s e ds F s e ds s F s e s j R 1 [ ( ) ( ) ] Re [ ( ) , ] 2 1 由若尔当引理可知当t 0时有 lim ( ) = 0 →+ CR st R F s e ds 因此有 = + − = = n k k s t j j s t F s e ds s F s e s j f t 1 ( ) Re [ ( ) , ] 2 1 ( )
三、利用反演公式求拉普拉斯逆变换 G-2(5-1)P求=L[F(s 1 例题1：已知F(S)= 解：(1)利用留数定理求解 由于分别为像函数的简单极点和二阶极点，应用 公式以及留数计算法则得到 f(t)=Res[F(s)e",2]+Res[F(s)e",1] (s-1)a +(s-2)=e2-e-te
解:(1)利用留数定理求解 公式以及留数计算法则得到 由于分别为像函数的简单极点和二阶极点,应用 ( ) Re [ ( ) ,2] Re [ ( ) ,1] s t s t f t = s F s e + s F s e 1 ' 2 2 ) | 2 | ( ( 1) = = − + − = s st s st s e s e t t t = e − e − te 2 , ( ) [ ( )] ( 2)( 1) 1 ( ) 1 2 f t L F s s s F s − = − − 例题1:已 知 = 求 三、利用反演公式求拉普拉斯逆变换
(2)利用卷积求解 F(=Fs)F)=1X,1 s-2^(s-1)2 f0)=L'[F(s】=e2,f(t)=L'[F2(s】=te f0=f0*()=ee2-dr =e"[wedr=e"(1-e-te) e2-e'-te' (3)对F(s)进行分解可得到 Fs)=11 1 s-25-1(s-1)2
(2)利用卷积求解1 2 2 ( 1) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) − − = = s s F s F s F s ( ) [ ( )] , 2 1 1 1 t f t = L F s = e − f t f t f t e e d t t − = = 0 2( ) 1 2 ( ) ( )* ( ) (1 ) 2 0 2 t t t t t e e d e e te − − − = = − − t f t = L F s = te − ( ) [ ( )] 2 1 2 t t t = e − e − te 2 (3)对F(s)进行分解可得到 2 ( 1) 1 1 1 2 1 ( ) − − − − − = s s s F s
例题2设F(S)= 6+10s+3,求f0=L'[Fs 2s2+3s+3 解：由于s,=-1,S2=-3分别为的简单极点和三阶 极点，因此由公式得到 f(t)=Res[F(s)e",-1]+Res[F(s)e",-3] 242++ (5+3)3 =+(3+-
, ( ) [ ( )]. ( 1)( 3) 2 3 3 ( ) 1 3 2 f t L F s s s s s F s − = + + + + 例题2设 = 求 极点,因此由公式得到 解:由于s1 = −1,s2 = −3分别为的简单极点和三阶 ( ) = Re [ ( ) ,−1]+Re [ ( ) ,−3] s t s t f t s F s e s F s e '' 2 3 3 2 1 ] 1 2 3 3 lim [ 2! 1 ( 3) 2 3 3 lim s t s s t s e s s s e s s s + + + + + + + = →− →− t t e t t e 2 3 ) 4 1 2 3 ( 3 4 1 − − = + − + −
例题3求函数F(s)= S 的拉普拉斯 (s+1)(s+2)(s+3) 逆变换。 例题4求函数F(s)=2G2-0 1- 的拉普拉斯逆变换
逆变换. 例题3求函数 的拉普拉斯 ( 1)( 2)( 3) ( ) + + + = s s s s F s 例题4求函数 的拉普拉斯逆变换. ( 1) 1 ( ) 2 2 − = s s F s