第四节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题
第四节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题
一、问题的提出 问题： ()解析函数是否有高阶导数？ (2)若有高阶导数，其定义和求法是否与实变函 数相同？ 解答： ()解析函数有各高阶导数. (2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过 积分来表示，这与实变函数完全不同
一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 解答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过 积分来表示, 这与实变函数完全不同
二、高阶导数公式 定理3.9设函数f(z)在简单闭曲线C围成的区域D 内解析，而在D=DUC上连续，则f(z)的各级导数 均在D内解析，对D内任意一点z有， f(=)= d(d (2) n f() 上述公式为解析函数的高导数公式
均在D内解析,对 内任意一点 有, 内解析,而在 上连续,则 的各级导数 定理3.9设函数 在简单闭曲线 围成的区域 z D D C f z f z C D D ( ) ( ) = 3 二、高阶导数公式 d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! ( ) 1 ( ) = − = + n z f i n f z C n n 上述公式为解析函数的高阶导数公式
证明：考虑=1的情形，根据柯西积分公式 f(z+△)-f(z) △z aa 因此有 fe+)-f9）_1ff5) △z 店： d
证明：考虑n =1的情形,根据柯西积分公式 z f z z f z ( + ) − ( ) d z z z f i z C ] 1 1 ( )[ 2 1 − − − − = 因此有 d z f z i f z z f z C − − + − 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 d z z z f i z C − − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 4
对于上式右端的积分值，作如下的估计. 因为f(5)在C上连续，可设M是f(5)在C上的最大 值，并设为点z到C上的最短距离，于是当在C上时， 有郁-≥d先取A<则有 5-a山≥5-4分 所以有 2ML ≤ M L= 82 63 2
对于上式右端的积分值，作如下的估计. 有 先取 则有 值,并设 为点 到 上的最短距离,于是当 在C上时, 因为 在C上连续，可设 是 在 上的最大 , z 2 , ( ) ( ) − z z C f M f C 2 − z − z − z − z 所以有 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ML L M d z z z f C = − − − 5
于是有fe+)-f包)_1ff5)d 2ML A= △ 2mc(5-z263 2π 由此可知 f()=lim fe+Ae-f@-ff⑤g △z0 △z 2mc(5-z)2 即n=时，定理成立. 现在假设n=k(k>1)时定理成立，下面推导当n= k+时定理也成立
于是有 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 3 ML z z f d z i f z z f z C − − + − 由此可知 d z f z i f z z f z f z z C − = + − = → 2 0 ' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) lim 即n =1时，定理成立. 时定理也成立. 现在假设 时定理成立,下面推导当 1 ( 1) + = = k n k k n 6
为此将f(2)看作f(2),重复n=的证明方法可证 明当n=k+时定理也成立，故由数学归纳法可证 明定理的结论成立. 定理3.9的说明： (①)定理3.9：若函数f(z)在区域D内解析，则在D内各 阶导数都存在，并且各阶导数仍是解析函数 即：解析函数的导数仍是解析函数 由解析函数的无穷可微性，我们可以得到判断函数 在区域内解析的一个充要条件
明定理的结论成立. 明当 时定理也成立,故由数学归纳法可证 为此将 看作 重复 的证明方法可证 n k 1 n 1 = + ( ) ( ), = ( ) f z f z k 7 定理3.9的说明： , . (1) : ( ) , 阶导数都存在 并且各阶导数仍是解析函数 定理3.9' 若函数f z 在区域D内解析 则在D内各 在区域内解析的一个充要条件。 由解析函数的无穷可微性,我们可以得到判断函数 即:解析函数的导数仍是解析函数
(2)结论：函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)在区域D内解析 的充分必要条件是： (@)u,4,y,y,在D内连续 ()u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程。 (3)高阶导数公式给出了解析函数的高阶导数的积 分表达式
的充分必要条件是： (2)结论:函数f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析 ( ) , , , ; ' ' ' ' i ux uy vx vy 在D内连续 (ii)u(x, y),v(x, y)在D内满足柯西-黎曼方程。 分表达式 (3)高阶导数公式给出了解析函数的高阶导数的积 + − = C n n z f i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 ( )
(4)利用高阶导数公式可以计算复变函数的积分： (5)z在积分曲线C的外部时， e〉也=a=2
d 0( 1,2, ) ( ) ( ) 1 0 = = − + z n z z f z C n ( ) ! 2π d ( ) ( ) 0 ( ) 1 0 f z n i z z z f z n C n = − + 9 (4)利用高阶导数公式可以计算复变函数的积分； (5) , z0 在积分曲线C的外部时
三、典型例题 例1计算下列积分，其中C为正向圆周：=r>1. 四fe 解()函数c0sπz 在C内z=1处不解析， (z-105 但cosπz在C内处处解析， 根据公式了a=名4
三、典型例题 例1 解 − + = C z C z z e z z z C z r d . ( 1) d ; (2) ( 1) cos (1) , : 1. 5 2 2 计算下列积分 其中 为正向圆周 1 , ( 1) cos (1)函数 5 在 内 = 处不解析 − C z z z 但cosz 在C内处处解析, + − = C n n z z z f z i n f z d ( ) ( ) 2 ! ( ) 1 0 0 根据公式 ( ) 10