《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第7章 参数估计 第一节 点估计

统计学推断概述 统计推断是数理统计理论的主要部分。现行 的统计推断理论，是建立在概率论的基础上的。 所谓统计推断，就是根据从总体中抽出的样 本，去推断总体的性质（概率分布） 。 只有在总体未知或总体分布己知，但含有未 知参数时，统计推断才有意义。 例如，假定在一大群人中，身高服从正态分 布N(,o2),其中μ，σ2是未知参数，即推断的对象。 又如，大批生产的一种电子元件，在一定条 件下，我们假定元件寿命的概率分布为指数分布， 其概率密度为

统计学推断概述 统计推断是数理统计理论的主要部分。现行 的统计推断理论，是建立在概率论的基础上的。 所谓统计推断，就是根据从总体中抽出的样 本，去推断总体的性质（概率分布）。 只有在总体未知或总体分布已知，但含有未 知参数时，统计推断才有意义。 例如，假定在一大群人中，身高服从正态分 布N(, 2 )，其中, 2是未知参数，即推断的对象。 又如，大批生产的一种电子元件，在一定条 件下，我们假定元件寿命的概率分布为指数分布， 其概率密度为

统计学推断概述 x>0 其它 参数0为未知参数，是统计断的对象。 这样，我们就可以一的把统计推断问题 抽象为如下的数学模型总体的概率分F(x;O) 含有未知参数，从总体中随机抽样，得样本 x1,x2,.,xn,通过样本去获得对未骖数的了解。 包括估计问题和检验题。由于估计的对象参 数，所以又称为参数计。参数估计有两种卦 形式：点估计和区间信针

统计学推断概述 形式：点估计和区间估计 。 数，所以又称为参数估计。参数估计有两种基本 包括估计问题和检验问题。由于估计的对象是参 通过样本去获得对未知参 数 的了解。 含有未知参数 ，从总体中随机抽样，得样本 抽象为如下的数学模型：总体的概率分布 这样，我们就可以一般的把统计推断问题 参 数 〉为未知参数，是统计推断的对象。 其 它       , , , , ( ; ) 0 0 0 1 ( ) 1 2 n x x x x F x e x f x       = −

点估计 点估计是用一个数值的未知参数的估计值。 在统计上，点估计就胸造样本X1,X2,X的一个 统计量(X1,X2,.,Xn),用它的观察值 (x,K2,.,xn)作为未知参数的近似值， 我们称 (X1,X2,.,Xn)为的估计量，称 (x,x2,.,xn)为的估计值。如我们用钵均值X 作为正态分N(山，σ)中μ指数分布中的估计量

点估计 作为正态分布 中 指数分布中 的估计量。 为 的估计值。如我们用样本均值 为 的估计量，称 作为未知参数 的近似值，我们称 统计量 用它的观察值 在统计上，点估计就是构造样本 的一个 点估计是用一个数值作为未知参数的估计值。            ( , ) (( , , , ) ˆ (( , , , ) ˆ (( , , , ) ˆ (( , , , ), ˆ , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 N x x x X X X X x x x X X X X X X n n n n n     

点估计的优良性 如问X与总体均值的误差不过1的概率有多 大？即要求在正态分的假定下PX-4≤1， 在指数分布的假定下算黜PX-O≤1，等等。 或问方差的大小？即要球在正态分布的假定 下E(X-)2,在指数分布的假定算出E(X-)2, 等等。 判断估计量好坏的标断同，对估计量的评 价也就不同

点估计的优良性 价也就不同。 判断估计量好坏的标准不同，对估计量的评 等等。 下 ，在指数分布的假定下算 出 ， 或问方差的大小？即要求在正态分布的假定 在指数分布的假定下算出 ，等等。 大？即要求在正态分布的假定下 ， 如 问 与总体均值的误差不超过 的概率有多 2 2 ( ) ( ) {| | 1} {| | 1} 1     − − −  −  E X E X P X P X X

区间估计 区间估计是用一个区间作为未知参数的估计值 在统计上，区间估计提构造样本X1,X2,.,X的两 个统计量8(X1,X2,.,Xm)和02(X1,X2.,Xn),且 ≤2，用观察值白，(x1,x2,xn)2日(x1,x2,.,xn)】 作为未知参数的估计值，用0，(X1,X2,.,Xm), 02(X1,X2,.,Xnm)作为的估计量

区间估计 作 为 的估计量。 作为未知参数 的估计值，用 ， ，用观察值 ， 个统计量 和 且 在统计上，区间估计就是构造样本 的 两 区间估计是用一个区间作为未知参数的估计值。           (( , , , )] ˆ (( , , , ) ˆ [ (( , , , )] ˆ (( , , , ) ˆ [ ˆ ˆ (( , , , ), ˆ (( , , , ) ˆ , , , 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n X X X X X X x x x x x x X X X X X X X X X        

区间估计的优良性 区间估计的优良性可两个方面去考察，一面 是可靠度，即区间0，(x,.,xn),02(x,.,xn)能包含 未知参数的可能性多大，即P{⊙(x1,.,xn)≤B≤ 日2(x,.,xn)》,它称为区间估t8,0,的置信系数； 另一方面是精度，区越短，精度越高。我希望找 到这样的区间估计，置信系数尽量接近，而区间长 度尽可能小

区间估计的优良性 度尽可能小。 到这样的区间估计，其置信系数尽量接近，而区间长 另一方面是精度，区间越短，精度越高。我们希望找 （ ，它称为区间估计 ， 的置信系数； 未知参数 的可能性多大，即 （ 是可靠度，即区间 （ （ 能包含 区间估计的优良性可分两个方面去考察，一方面 1 ] ˆ ˆ , , )} [ ˆ , , ) ˆ { , , )] ˆ , , ), ˆ [ 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1         n n n n x x P x x x x x x      

参数的点估计 矩估计法 极大似然估计法 粥估计量的评选标准 继续返回

参数的点估计  矩估计法  极大似然估计法  估计量的评选标准 继续 返回

什么是矩估计法 以样本矩估计相应总体矩来求出估计量的方 法，称为矩估计法，又称数字特征法

什么是矩估计法 以样本矩估计相应总体矩来求出估计量的方 法，称为矩估计法，又称数字特征法

矩估计法的基本思想 设X为连续型随机变量，概率密度为(x;01,02,.,Bn) 或X为离散型随机变量，纷布律为P{X=x}=p(x01,02,.,0n), 其中01,02，.，0n为待估参数，X1,X2,.,Xn是来自总体的样本， 假设总体X的前k阶原点矩 a,=E(X)=nx'f(x8,02,.,0n)d (X连续型) 或 a,=E(X=∑x'p(x0,0,0n) (X离散型) x∈Rx 1=1,2,.,k (其中Rx是X的可能取值范围)存在它们是0,02，.，B的函数。 其样本X=(X1,X2,Xn)的前k阶原点矩 4,=12x51=1,2,6

矩估计法的基本思想 X l k n A X X X X k R X l k E X x p x X E X x f x dx X X k X X X X X P X x p x X f x n i l l i n X n n x R l l l n l l l n n n n X 1,2, , 1 ( , , , ) , , , 1,2, , ( ) ( ; , , , ) ( ) ( ; , , , ) , , , , , , { } ( ; , , , ) ( ; , , , ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2           = = = = = = = = = =    =  + − ， 其样本 的 前 阶原点矩 （其中 是 的可能取值范围）存在。它们是 的函数。 或 （ 离散型） （ 连续型） 假设总体 的 前 阶原点矩 其 中 为待估参数， 是来自总体 的样本， 或 为离散型随机变量，其分布律为 ， 设 为连续型随机变量，其概率密度为 ，                    

矩估计法的基本思想 由辛钦定理，可知H,P→a,再由依概率收敛的频 可知，g(A1,A2,.,A)P→g(a1,2,ak)2其中g为连续 函数，因此考虑可用钵矩作为相应的总体的估计量

矩估计法的基本思想 函数，因此考虑可用样本矩作为相应的总体矩的估计量。 可知， ，其中 为连续 由辛钦定理，可知 ，再由依概率收敛的性质 g A A A g g A k p k l p l ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1  2    ⎯→  ⎯→