《概率论与数理统计》课程教学资源（知识点与公式）概率论与数理统计公式全集

概率论与数理统计公式全集 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A+B=B+A AB=BA 结合律 (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C (AB)C=A(BC)=ABC 分配律 AB±C)=AB±AC A+(BC)=(A+BXA+C) 德摩根律 A+B=AB 4B=4+B 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 P(=1-P(A0 加法公式 P氏A+B)=PA)+PB-P氏AB) 条件概率公式 P()PAB) P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)P(AB)=P(B)P(AB) 全概率公式 -4m4 贝叶斯公式 PA)PE4） P(A,B)=- (逆概率公式) 44 伯努利概型公式 P.(k)=Chp(I-p)"-k,k=0.L.n 两件事件相互独立相PAB)=PAP(B);P代A)=PB);PA=P;P)+PEA=1; 应公式 P(B)+P(B)=1

1 概率论与数理统计公式全集 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A+ B = B+ A AB= BA 结合律 (A+ B) +C = A+ (B +C) = A+ B +C (AB)C = A(BC) = ABC 分配律 A(B C) = AB  AC A+ (BC) = (A+ B)(A+C) 德摩根律 A+ B = AB AB = A+ B 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 P(A) =1− P(A) 加法公式 P(A+ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 条件概率公式 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A = 乘法公式 P(AB) = P(A)P(B A) P(AB) = P(B)P(AB) 全概率公式 = = n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( ) 贝叶斯公式 （逆概率公式）   = = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j j j P A P B A P A P B A P A B 伯努利概型公式 P k C p p k n k k n k n ( ) = n (1− ) − , = 0,1,  两件事件相互独立相 应公式 P(AB) = P(A)P(B) ； P(B A) = P(B) ； P(B A) = P(B A) ； P(B A) + P(B A) =1 ； P(B A) + P(B A) =1

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 P(X≤b)=F(b)P(a中 =ae40 Γ0，其他 正态分布N4,G),G>0 w2a -<x<+ Awa器a, D(x)= 标准正态分布N(O,1) m房。背 -0<r<+d0

2 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 P(X  b) = F(b) P(a  X  b) = F(b) − F(a) 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1 分布 B(1, p) ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X k p p k k k 二项分布 B(n, p) P X k C p p k n k k n k n ( = ) = (1− ) , = 0,1,  , − 泊松分布 P()或（） , 0,1,2, ! ( = ) = = − k k P X k e k   几何分布 G( p) P(X = k) = (1− p) k−1 p, k = 0,1,2,  超几何分布 H(N,M,n) ( ) , k l,l 1, ,min( n,M ) C C C P X k n N n k N M k = = M = +  − − 3、连续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 U (a,b)        = − 0, 其他 , 1 ( ) a x b f x b a          − −  = x b a x b b a x a x a F x 1, , 0, ( ) 指数分布 （ 0) 1 ( )或 ( ）， =    E  E        = − 0, 其他 , 0 ( ) e x f x x     −   = − 1 , 0 0, 0 ( ) e x x F x x 正态分布 ( , )， 0 2 N     = −    + − − f x e x x 2 2 2 ( ) 2 1 ( )     − − − = x t F x e d t 2 1 ( ) 2 2 2 ( )    标准正态分布 N(0,1) = −    + − x e x x 2 2 2 1 ( )   − − −  = x t x e dt 2 1 ( ) 2 2 2 ( )   

三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 P=PX=)=∑PX=Y=y)=∑Pg p=PW=y)=∑PX=,Y=y)=∑P 2、离散型二维随机变量条件分布 P=x=水==PX-=2.=2 P(Y=y P%=AT-yK=-是/=2 P(X=x) 3、连续型二维随机变量(X,P)的联合分布函数Fx,)=∫fu,d 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数：Fx()=广fu,dha边缘密度函数：r)=fxd F)=[f(u.v)dudv f(y)=[f(u.y)du 5、二维随机变量的条件分布 m0器nmwn8en

3 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布  = = = = = = j j i i i j pij p P(X x ) P(X x ,Y y )  = = = = = = i i j j i j pij p P(Y y ) P(X x ,Y y ) 2、离散型二维随机变量条件分布 , 1,2 ( ) ( , ) ( ) = = = = = = = = =  i P p P Y y P X x Y y p P X x Y y j ij j i j i j i j , 1,2 ( ) ( , ) ( ) = = = = = = = = =  j P p P X x P X x Y y p P Y y X x i ij i i j j i j i 3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数 − − = x y F(x, y) f (u,v)dvdu 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 边缘分布函数： −  + − = x FX (x) f (u,v)dvdu 边缘密度函数：  + − f x = f x v dv X ( ) ( , ) −  + − = y FY (y) f (u,v)dudv  + − fY ( y) = f (u, y)du 5、二维随机变量的条件分布 = −  y  + f x f x y f y x X Y X , ( ) ( , ) ( ) = −  x  + f y f x y f x y Y X Y , ( ) ( , ) ( )

四、随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量：B)=之：连续型随机变量：B()-达 2、数学期望的性质 (1)E(C=C,c为常数 (X=E(X)E(CX)=CE(X) (②)EX±n=Ex)±E(Y)E(ax±=a0±bEGX+.C,X,)=CX)+C,EX,) (3)若X,Y相互独立则：)=x) (4)IE(XF sE(xE) 3、方差计算公式：D(X)=Ex)-E2() 4、方差的性质 (1)D(C)=0 DD(X)1=0 D(ax+b)=aD(x)DX)<E(X-C) (②)Dx±n=0+Dmt2Cmx,n若X,Y相互独立则：Dx±n=D)+Dn 5、协方差：Com(X,)=EX,)-EXE)若X,Y相互独立则：ComX,)=0 6、相关系数：n品若，Y相互發立则：即V不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1)CoMx.X)=D(X)CoMX.r)=ConY.x) (2)CorXj+X2.Y)=CorX1.Y)+CoMX2.Y)Cor(aX+c.bY+d)=abCoMX.Y)

4 四、随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量：  + = = 1 ( ) k k pk E X x 连续型随机变量：  + − E(X ) = xf (x)dx 2、数学期望的性质 (1) E(C) = C,C为常数 E[E(X)] = E(X) E(CX) = CE(X) (2) E(X Y) = E(X)  E(Y) E(aX b) = aE(X) b ( ) ( ) ( ) E C1X1 +CnXn = C1E X1 +CnE Xn (3)若 X，Y 相互独立则： E(XY) = E(X)E(Y) (4) [ ( )] ( ) ( ) 2 2 2 E XY  E X E Y 3、方差计算公式： ( ) ( ) ( ) 2 2 D X = E X − E X 4、方差的性质 (1) D(C) = 0 D[D(X)] = 0 ( ) ( ) 2 D aX b = a D X 2 D(X)  E(X −C) (2) D(X Y) = D(X) + D(Y)  2Cov(X,Y) 若 X，Y 相互独立则： D(X Y) = D(X) + D(Y) 5、协方差： Cov(X,Y) = E(X,Y) − E(X)E(Y) 若 X，Y 相互独立则： Cov(X,Y) = 0 6、相关系数： ( ) ( ) ( , ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY =  X Y = 若 X，Y 相互独立则：  XY = 0 即 X，Y 不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1) Cov(X, X) = D(X) Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (2) ( , ) ( , ) ( , ) Cov X1 + X2 Y = Cov X1 Y +Cov X2 Y Cov(aX + c,bY + d) = abCov(X,Y)

8、常见数学分布的期望和方差 分布 数学期望方差 0-1分布1P) P(l-p) 二行分布BmP) m1-p) 泊松分布减a) 几何分布Gp) 导 均匀分Ua,b) 正态分布N4,a 02 指数分布元-日 5

5 8、常见数学分布的期望和方差 分布 数学期望 方差 0-1 分布 B(1, p) p p(1− p) 二行分布 B(n, p) np np(1− p) 泊松分布 P()或()   几何分布 G( p) p 1 2 1 p − p 均匀分 U(a,b) 2 a + b 12 ( ) 2 b − a 正态分布 ( , ) 2 N    2  指数分布    1 E( )， =  1 2 1 

五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 若B0=4.)=g,对于任意E>0有P叫x-B≤D”或PK-EX0的独立同分布时，当n充分 大时有： 立x-刚 二→NO, (2)拉普拉斯定理：随机变量nm=l2)-mp)则对任意X有： 血=应= 《③)近似计算：a2n兴：空当-爱

6 五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 若 ( ) , ( ) , 2 E X =  D X = 对于任意   0 有 2 ( ) { ( ) }   D X P X − E X   或 2 ( ) { ( ) } 1   D X P X − E X   − 2、大数定律：若 X1Xn 相互独立且 n →  时，   = = ⎯⎯→ n i i D n i i E X n X n 1 1 ( ) 1 1 (1)若 X1Xn 相互独立， 2 ( ) , ( ) E Xi = i D Xi = i 且 i  M 2  则：   = = ⎯→ →  n i i P n i i E X n n X n 1 1 ( ),( ) 1 1 (2)若 X1Xn 相互独立同分布，且 E Xi = i ( ) 则当 n →  时：  ⎯→ = P n i Xi n 1 1 3、中心极限定理 (1)独立同分布的中心极限定理：均值为  ，方差为 0 2   的独立同分布时，当 n 充分 大时有： (0,1) 1 ~ N n X n Y n k k n ⎯→ − = =   (2)拉普拉斯定理：随机变量 (n 1,2 ) ~ B(n, p) n =  则对任意 x 有： − − →+  = =  − − x t n x x e dt x np p np P ( ) 2 1 } (1 ) lim { 2 2   (3)近似计算： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1           n a n n b n n b n n X n n a n P a X b P n k k n k k − − −   −  −  −   =   = =

六、数理统计 1、总体和样本 总体x的分布函数F国样本X,XX)的联合分布为F)=F) 2、统计量 0样本平均值：-空x2)样本方差：s产2以-矿2的 (同样本标准起：5一2一疗国样本4阶股信面，人-之4以 (6份样本阶中心距：&M-2-矿k-2 3、三大抽样分布 (1)x分布：设随机变量x,X,X,相互独立，且都服从标准正态分布NO),则随机变 量x2=x好+x+.x所服从的分布称为自由度为n的x2分布，记为x2~x2 性质：①x2=mDx2(1=2n②设x~x2m,y~x2m)且相互独立，则x+Y~x2m+m (②，分布：设随机变量x-N0~,且X与Y独立。则随机变量：T赢所服从 的分布称为自由度的m的：分布，记为T~m 性质：0aaMa点oa2=0-a合：学 (③)F分布：设随机变量U-a-tm,且u与独立，则随机变量心-会所 服从的分布称为自由度(m,)的F分布，记为F~Fm,) 性质：设X~Fmm,则~Fm,m)

7 六、数理统计 1、总体和样本 总体 X 的分布函数 F(x) 样本 ( , ) X1 X2Xn 的联合分布为 ( , ) ( ) 1 1 2 k n k n F x x x F x =  =  2、统计量 (1)样本平均值： = = n i Xi n X 1 1 (2)样本方差：   = = − − − = − = n i i n i i X nX n X X n S 1 2 2 1 2 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (3)样本标准差： = − − = n i Xi X n S 1 2 ( ) 1 1 (4)样本 k 阶原点距： , 1,2 1 1 =  = = X k n A n i k k i (5)样本 k 阶中心距： = = = − = n i k k k i X X k n B M 1 ( ) , 2,3 1  3、三大抽样分布 (1) 2  分布：设随机变量 X1 X2Xn , 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0,1) ，则随机变 量 2 2 2 2 1 2  = X + X +Xn 所服从的分布称为自由度为 n 的 2  分布，记为 ~ ( ) 2 2   n 性质：① E[ (n)] n,D[ (n)] 2n 2 2  =  = ②设 ~ ( ), ~ ( ) 2 2 X  m Y  n 且相互独立，则 ~ ( ) 2 X +Y  m+ n (2) t 分布：设随机变量 ~ (0,1), ~ ( ) 2 X N Y  n ，且 X 与 Y 独立，则随机变量： Y n X T = 所服从 的分布称为自由度的 n 的 t 分布，记为 T ~ t(n) 性质：① ,( 2) 2 [ ( )] 0, [ ( )]  − = = n n n E t n D t n ② 2 2 2 ( ) 2 1 lim ( ) (0,1)    − − → = = x n t n N e (3) F 分布：设随机变量 ~ ( ), ~ ( ) 2 2 1 2 U  n V  n ，且 U 与 V 独立，则随机变量 2 1 1 2 ( , ) V n U n F n n = 所 服从的分布称为自由度 ( , ) n1 n2 的 F 分布，记为 ~ ( , ) F F n1 n2 性质：设 X ~ F(m,n) ，则 ~ ( , ) 1 F n m X

七、参数估计 1、参数估计 (1)定义：用(x,X2.x)估计总体参数0，称x.X2.x)为0的估计量，相应的 (X,X2,X,)为总体的估计值。 (2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 离敬型样本约值：一0-空 连续型样本均值：灭=)=x,0h 离散型参数：-之 3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法：X,X2,.xn取自x的样本，设x~fx,或Px=X)=P)则可得到概率 密度：f%-/,9或X=X.X,=-Px=)=·Bo例1 基本步骤： ①似然函数： 40=1.01或0Bo1 ②取对数：hL=nx,) ③解方程：-0-0最后得：a-00

8 七、参数估计 1、参数估计 (1) 定义：用 ( , , ) X1 X2 Xn   估计总体参数  ，称 ( , , ) X1 X2 Xn   为  的估计量，相应的 ( , , ) X1 X2 Xn   为总体  的估计值。 (2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 离散型样本均值： = = = n i Xi n X E X 1 1 ( ) 连续型样本均值： X E X xf x dx  + − = ( ) = ( ,) 离散型参数： = = n i Xi n E X 1 2 1 2 ( ) 3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法： X X Xn , , 1 2 取自 X 的样本，设 X ~ f (x,)[ P(X X ) P()] 或 = i = 则可得到概率 密度： ( , , , ) ( , )[ ( , , ) ( ) ( )] 1 1 1 2 1 1 2    = = = = = = = = = n i i n i n n i n i f x x xn  f xi  或P X X X X x P X x P  基本步骤： ①似然函数： ( ) ( , )[ ( )] 1 1   = = = n i i n i L  f xi  或 P  ②取对数： = = n i Xi L f 1 ln ln ( ,) ③解方程： 0 ln 0, , ln 1 =   =   k L L    最后得： ( , , ), , ( , , ) 1 1 1 2 n k k 1 2 n x x x  x x x      =   = 