《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1.1 行列式的定义

第一章行列式 本章主要从以下四个方面进行讨论 一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的计算 四、行列式的应用

本章主要从以下四个方面进行讨论 二、行列式的性质 第一章行列式 一、行列式的定义 三、行列式的计算 四、行列式的应用

（411422-412421）X1=b1422-412b2; 类似地，消去七，得 （01122-41221）X2=41b2-b14219 当4142-41221≠0时，方程组的解为 七=4a:-，5=%- 122-12021 41122-01202 由方程组的四个系数确定

; 11 22 12 21 1 1 22 12 2 （a a  a a ）x  b a  a b 类似地，消去 x1，得 , 11 22 12 21 2 11 2 1 21 （a a  a a ）x  a b  b a 当 a11a22  a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x    11 2 1 21 2 11 22 12 21 . a b b a x a a a a    由方程组的四个系数确定

第一节行列式的定义 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 411X1+412X2=b1,(1) (1-1) 421X1+22x2=b2·(2) (1×2:411422X1+☑20222=b,422, (2)×a12:412421X1+242=b2412, 两式相减消去七2，得

一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , (1) (1-1) . (2) a x a x b a x a x b        1 : 22  a , 11 22 1 12 22 2 1 22 a a x  a a x  b a 2 : 12  a , 12 21 1 12 22 2 2 12 a a x  a a x  b a 两式相减消去 x2，得 第一节行列式的定义

定义 引入记号： 12 21 L22 称之为二阶行列式，它表式数值4142-4122 即 D= 011412 =411422-41221 L21 L22 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列，4(i,j=1,2) 称为行列式的元素，为行标，为列标

11 12 21 22 11 22 12 21 a a a a a a  a a 引入记号： 称之为二阶行列式，它表式数值 ， 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D    行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列， ( , 1,2) ij a i j  称为行列式的元素，i为行标，j为列标

二阶行列式的计算一对角线法则 主对角线 L12 =011022-%12021: 次对角线 L22 对于二元线性方程组 411x1+012x2=b1, 021七1+22X2=b2: 若记 D= 1 系数行列式 0 022

a21 11 a 12 a 22 a 主对角线 次对角线 11 22  a a . 12 21  a a 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D         . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式

411七1+412X2= 21X1+a22X2 =b2 b D:=b2 12 图 D2= 411 b

       . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b , 2 22 1 12 1 b a b a D         . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b . 21 2 11 1 2 a b a b D 

则二元线性方程组的解为 bi 12 D b2 422 X1= D2 421 D 01 12 X2= D 411 12 L21 L22 L21 L22 注意 分母都为原方程组的系数行列式

则二元线性方程组的解为 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x   注意 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x  

例1求解二元线性方程组 3x1-2x2=12, 2x1+x2=1. 解 =3-（-4)=7≠0， D1\ X1= D-14 =D=-21= D 7 4=2,X2=D =-3. 7

       2 1. 3 2 12, 1 2 1 2 x x x x 求解二元线性方程组 解 2 1 3  2 D   3  (4)  7  0, 1 1 12 2 1  D   14, 2 1 3 12 D2   21, D D x 1  1  2, 7 14   D D x 2 2  3. 7 21    

类似地，由三元线性方程组 111+412X2+013X3=b1, 21七1+02七2+4233=b2, (1-2) 031K1+432x2+033七3=b3; (1)引入记号 w 2 3 021 a22 023 31 L32 33 称之为三阶行列式

称之为 . 由三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , 1 2 ; a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                （ ） 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 类似地

(2)三阶行列式的计算对角线法则 33 =41102233+41223431+013L21032 -L13L22L31-012L21L33-L11L23L32 注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33  a a a . 11 23 32  a a a 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 13 21 32  a a a 12 23 31  a a a 13 22 31  a a a 12 21 33  a a a