四 College Mathematics Guidance Series 大学数学学习辅导丛书 高等数学 习题全解指南 上册 同济·第七版 同济大学数学系编 房等教有出版和
大请书uidance eries 高等数学 习题全解指南 上册 同济·第七版 同济大学数学系编 ollege athematics uidance eries 大学数学学习辅导丛书 GAODENG SHUXUE XITI QUANJIE ZHINAN 高等教育世版社北京
内容提要 习辅导书，由同济 部分是按（高等数学）（第七版）（上册）的章节顺序编排，给出习题 解，部分题目在解答之后对该类题的解法作了小结、归纳，有的提供了多种 解法：第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解，所选择的 试题以工学类为主，少量涉及经济学类试题：第二部分是同济大学高等数 学试卷选编以及考题的参考解答。 本书对教材具有相对的独立性，可为学习高等数学的工科和其他非数 学类专业学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供解题指 导，也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。 图书在版编目(CIP)数据 高等数学习题全解指南：同济第7版.上册/同济 大学数学系编.-北京：高等教育出版社，2014.7 1SBN978-7-04-039691-1 I.①高.Ⅱ.①同.Ⅲ.①高等数学-高等学校 题解N.①013-44 中国版本图书馆CIP数据核字(2014)第095897号 策划编辑王强 责任编辑于丽娜 特约编辑张 封面设计王凌波 版式设计于婕 插图绘制柱晓丹 责任枝对刘丽焖 责任的制朱学忠 出版发行高等教有出版社 咨询电话 400-810-0598 北京市西城区德外大街4号 网址hitp:/www.hep.lu.m 邮政编码 100120 http://www.hep.com.cn 高教社（天津）印务有限公司 风上i订购hitp:/www,landraco.cowm 开 本787mm×960mm1/16 http://www.landraco.com.en 张25.25 次2014年7月第1版 数460千之 印 次2014年7月第1次印刚 购书热线010-58581118 价36.70元 本书如有缺页。倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销售部门联系调换 版权所有侵权必究 物料号39691-00
前言 由同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）已作为“十二五”普通高等 教有本科国家级规划教材于2014年正式出版。本书是《高等数学》（第七版）的 配套用书，主要是为学习高等数学的大学生以及复习高等数学准备报考硕士研 究生的人员提供一本解题指导的参考书，也可供讲授高等数学的教师在备课和 批改作业时参考。 本书内容由三部分组成，第一部分是《高等数学》（第七版）的习题全解，包 括各章的习题与总习题及解答。在解答中，有的题在解答之后，以注释的形式对 该类题的解法作了归纳小结，有的题提供了常用的具有典型意义的多种解法。 第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解，包括函数、极限、连续， -元函数微分学，一元函数积分学，微分方程，空问解析几何与向量代数，多元函 数微分学，多元函数积分学，无穷级数等八项内容，每项选编的题量在30题左 右，其中不乏近儿年入学统一考试的试题。在每道试题的前面都注明了试题的 年份及类别，如(2010.【)表示为2010年第一类考题。所选择的试题以工科类 为主，少量涉及经济学类试题，每道试题都给出了解题的思路与方法，有的还给 出了多种解法，以供读者参考。第三部分是同济大学高等数学试卷选编，这部分 已作了全部更新，按上、下册内容，选了期中、期未各两套试卷，并提供了试题的 参考解答。 本书由同济大学数学系的教师编写，其中第一部分第一、九章，第二部分 (一)、（二）、（六）由邱伯驺完成；第一部分第二、三、八章由徐建平完成：第一部 分第四、五、六章，第二部分（三）由朱晓平完成；第一部分第七、十二章，第二部 分（四）、（八）由应明完成；第一部分第十、十一章，第二部分（五）、（七）由郭镜 明完成；第三部分由朱晓平完成。 在便用本书时，建议读者在个人学习、练习的基础上，再加以参考、对照，找 出自己在知识掌握方面的不足，学习分析、解题的方法和思路，学会举一反三，采 取这种方式参考本书，必能从中获益。本书中存在的问题，欢迎广大专家、同仁 和读者批评指正。 编者 二0一四年六月
目录 《高等数学》（第七版）上册习题全解 第一章函数与极限. 习题1-1映射与函数.3 习题1-2数列的极限 习题1-3函数的极限 。 习盟1-4无穷小与无穷大.20 习题1一5极限运算法则. .23 习题1-6极限存在准则两个重要极限.27 习题1一7无穷小的比较.29 习题1-8函数的连续性与间断点.31 习题1-9连续函数的运算与初等函数的连续性.35 习题1-10闭区间上连续函数的性质 .39 总习题一. 441 第二章导数与微分 习题2-1导数概念 .49 习题2-2函数的求导法则.55 习题2一3高阶导数. 习题2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率.67 习题2-5函数的微分 0.74 总习题二.79 第三章微分中值定理与导数的应用.87 习题3-1微分中值定理.87 习题3-2洛必达法则 .9 习题3-3泰勒公式.95 习题3-4函数的单调性与曲线的凹凸性.99
目录 习题3-5函数的极值与最大值最小值. .109 习题3-6函数图形的描绘.118 习题3-7曲率.123 习题3-8方程的近似解.126 总习题三. 129 第四章不定积分.139 习题4-1不定积分的概念与性质.139 习题4-2换元积分法.14 习题4-3分部积分法.15引 习题4-4有理函数的积分.156 习题4-5积分表的使用.161 总习题四. 166 第五章定积分.178 习题5-1定积分的概念与性质.178 习题5一2微积分基本公式.184 习题5-3定积分的换元法和分部积分法. 190 习题5-4反常积分. 198 ·习题5-5反常积分的审敛法「函数.200 总习题五.20 第六章定积分的应用.216 习题6-2定积分在几何学上的应用.216 习题6-3定积分在物理学上的应用.229 总习题六.233 第七章微分方程. 242 习题7-】微分方程的基本概念.242 习题7-2可分离变量的微分方程.24 习题7-3齐次方程. .25 习题7-4一阶线性微分方程.258 习题7-5可降阶的高阶微分方程.266 习题7-6高阶线性微分方程. 273 习题7-7常系数齐次线性微分方程. 279 习题7-8常系数非齐次线性微分方程. 284 习随7-9欧拉方程.2
目录 ·习题7-10常系数线性微分方程组解法举例 299 总习题七. 全国硕士研究生人学统一考试数学试题选解 (一)函数极限连续 .323 (二)）一元函数微分学.334 (三)一元函数积分学.350 (四)微分方程.362 自 同济大学高等数学试卷选编 (一)高等数学（上）期中考试试卷(1).379 试题.37羽 参考答案.380 (二)高等数学（上）期中考试试卷（Ⅱ）.383 试题.383 参考答案.384 (三)高等数学（上）期末考试试卷(】).387 试题.387 参考答案. .388 (四)高等数学（上）期末考试试卷（Ⅱ）.39列 试题 .391 参考答案.392
一、《高等数学》（第七版）上册 习题全解
第一章 函数与极限 习题1-1N 映射与函数 四1.求下列函数的自然定义域 (1)y=√/3x+2: 2 (3)y=-: 6专 (5)y=sin; (6)y=tan(x+1): (7)y=aresin(x-3); (8)y=+aretan (9)y=ln(x+1): (10)y=e. 解1)3x+2≥0=x≥-子，即定义域为[-号，+0月 (2)1-x2≠0→x≠±1.即定义域为(-0，-1)U(-1,1)U(1,+0) (3)x≠0且1-x2≥0→x≠0且1x1≤1，即定义域为[-1.0)U(0,1]. (4)4-x2>0=1x10→x>-1,即定义域为(-1，+) (10)x≠0，即定义域为(-，0)U(0,+). 注本题是求函数的白然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简单 函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域.下列简单函数及其定义 域是经常用到的： y=x,x≥0： y=log x,x>0;
g 一、《高等数学》（第七版）上册习题全解 ym+kez y=cotx,x≠km,keZ: y=aresin x,lxl≤l: y=arecos x,lxl≤1. @2.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx; (2)f八x)=x,g(x)=2: (3)八x)=√-x,g(x)=xx-1: (4)f(x)=1,g(x)=sec2 x-tan2 x. 解(1)不同，因为定义域不同。 (2)不同，因为对应法则不同，g(x)=VF={本，之0， -x.x<0 (3)相同因为定义域、对应法则均相同. (4)不同，因为定义域不同. 四3.设 小sinx,lx1<5 (x)= 0, 1x≥ 求））(-）(-2)，并作出函数y=(x)的图形。 ）m(）)m引-号 -）m(-)-e(-2)=0 y=e(x)的图形如图1-1所示. 图1-1 四4.试证下列函数在指定区间内的单调性