第二节 第五章 微积分的基本公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五章
一、引例 在变速直线运动中，已知位置函数s()与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[☑，]内经过的路程为 v(dt=s)-s(h) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、积分上限的函数及其导数 定理12.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 1》 w(x)=∫f0)d1 是f(x)在[a,b]上的一个原函数 证：x,x+h∈[a,b],则有 +-8-店f0d-g7ea] x+h h =J*f0d1=f5)(c0 h h-→0 HIGH EDUCATION PRESS ●◆0C08 机动目录上页下页返回结束
y = f (x) a b x o y (x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x) h 1 = − + x a x h a f (t)dt f (t)dt + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1 2. 若
说明： 1)定理证明了连续函数的原函数是存在的 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)变限积分求导： dr-f gndr=iop &ged-[ad+gyoda] f[e(x)]o'(x)-fIw(x)]w'(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结辣
说明: 1) 定理证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [(x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
三、牛顿-莱布尼兹公式 定理3.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则/x)dr=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式 证：根据定理1，∫f(x)dr是f(x)的一个原函数，故 F(x)=∫fx)dx+C 令x=a,得C=F(a,因此∫f(x)dx=F(w)-F(a 再令x=b,得 "r)-r-aF HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、牛顿 – 莱布尼兹公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = − 得 记作 定理3. 函数 , 则
例1.计算 ds. 降dx卡 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 计算 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
v3 dx 例2.计算 √3 -1 arctan 3-arctan(-1) 例3.计算 ax 解：Jdx=[nl=lnl-n2=-h2 HIGH EDUCATION PRESS eOC①8 机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3 = 12 7 = 例3. 计算 解: ) 4 ( − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算正弦曲线y=sinx在[0，π]上与x轴所围成 的面积 y y=sinx 解：A=sinx =-osx0=1-1=2 π HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 计算正弦曲线 的面积 . 解: = 0 A sin xdx = −cos x 0 = −[−1−1] = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x y = sin x
例5.汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减 速停车，设汽车以等加速度a=-5m,刹车，问从开始刹 车到停车走了多少距离？ 解：设开始刹车时刻为1=0，则此时刻汽车速度 %=36()=00(0=10(g) 刹车后汽车减速行驶，其速度为 v(t)=vo +at =10-5t 当汽车停住时，v(t)=0,即10-5t=0,得t=2(s) 故在这段时间内汽车所走的距离为 s=6u)d1=0-5)d1=[10-r]0=10m) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 10( ) s ( )= m s m 3600 361000 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 = 2 0 s v(t)dt = − 2 0 (10 5t)dt 2 2 5 = 10t − t =10(m) 0 2 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?
例7.设f(x)在[0，+o)内连续，且f(x)>0,证明 rw-I60g70dr 只要证 F'(x)>0 在(0，+∞)内为单调递增函数 证：(= f(()d of)d)月 ix-0r0di-区-5⑤)x0 (rat)2 (fdt)月 (0<5<x) F(x)在0，+∞)内为单调增函数 HIGH EDUCATION PRESS 凯动目录上页下页返回结束
= f x t f t t x ( ) ( )d 0 − 例7. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t)dt x x f x f t t x ( ) ( )d 0 ( ) 2 0 f (t)dt x f x f t t x ( ) ( )d 0 (x −t) 0 只要证 F(x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = ( ) 2 0 f (t)dt x f (x) (x −) f () x (0 x)