第三章 微分中值定理 与导数的五用 罗尔中值定理 推广 中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第一节 第三章 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结环
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理 费马(fermat)引理 y=f(x)在U(xo)有定义， =f'(x)=0 且f(x)≤f(x),f'(x)存在 (或2) 证：设Vx0+△x∈U(xo),f(x0+△x)≤f(x0), 则f'(x)=1imfx,+)-fxo） △x→0 △x [f'(xo)≥0（△x→0） >f'(x)=0 f4(x)≤0（△x→0） 证毕 HIGH EDUCATION PRESS
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) ( ) 0 f x0 证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x x x f x x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 ( 0 ) f (x0 ) x ( 0 ) f (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 x y o 0 x y f (x) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔(Role)定理 =f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a= (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0. 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b] 因此V5∈(a,b),f'(5)=0 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结绿
罗尔（ Rolle ）定理 y f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f ( ) 0. x y o a b y f (x) 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( ) 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. 注意： 1)定理条件条件不全具备，结论不一定成立.例如 f(w)= x,0≤x<1 0, x=1 f(x)= f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1] HIGH EDUCATION PRESS 凯动 结环
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f ( ) M , f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) x f x x [0,1] ( ) x f x x 1 x y 1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x-→a1 x-→b 在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a≤x<b f(b),x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结环
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且 lim f (x) x a lim f (x) x b 在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( ) 0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x) f a x a ( ), f (x), a x b f b x b ( ), 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理 f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 b x (2)在区间(a,b)内可导 一至少存在一点5e(a,b),使/)=6)-f@ 证：问题转化为证了)-f-f@四=0 b-a b-a 作辅助函数 (x)=f(x)-I(b)-f(ax b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 p(a)= bf(a)-af(b) b-a =0(b),由罗尔定理知至少存在一点 5 ∈(a,b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 年HIGH EDUCATION PRESS 拉氏 结
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y f (x) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f x y o a b y f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) f (x) x b a f b f a ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 (a,b), 使( ) 0, 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) b a f b f a f 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x0,b=x0+△x,则 △y=f'(xo+0Ax)△x(0<0<1) 推论：若函数f(x)在区间1上满足f'(x)=0,则f(x) 在I上必为常数 证：在I上任取两点x1,x2(x1<x2),在[x1,x2]上用拉 日中值公式，得 f(x2)-f(x)=f'(5x2-x)=0(x1<5<x2) .f(x2)=f(x) 由x1,x2的任意性知，f(x)在I上为常数 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 f (x) 0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证: 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x x 在[x1 , x2 ]上用拉 日中值公式 , 得 f (x2 ) f (x1 ) f ( )(x2 x1 ) 0 ( ) 1 2 x x ( ) ( ) 2 1 f x f x 由 的任意性知, 1 2 x , x f (x)在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y f x0 x x , , 0 0 令 a x b x x 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明不等式 x0) 1+x 证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0，x]上满足拉格朗日 中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=f'(5)(x-0),00) 1+x HIGH EDUCATION PRESS 凯动
例. 证明不等式 证: 设 f (t) ln(1 t) , 则 f (t)在[0, x]上满足拉格朗日 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1 x x x x x f (x) f (0) ln(1 x) x x , 0 1 1 x x x 1 x ln(1 ) ( 0) 1 x x x x x f ( )(x 0), 0 x 因此应有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、柯西(Cauchy)中值定理 f(x)及F(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)在开区间(a,b)内F'(x)≠ 至少存在点5∈(a,b),使 f(b)-f(a)_f'(5) F(b)-F(a)F'(5) 分析：F(b)-F(a)=F'(nb-a)≠0 a<7<b 要证 b-faF'5)-f(53)=0 F(b)-F(a) p'(5) p(x)= f(b)-f(a) (x)-f(x) F(b)-F(a） HIGH EDUCATION PRESS 西 目录 返回 结绿
三、柯西(Cauchy)中值定理 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a ( ) 分析: f (x) 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a F(x) 满足 : F(x) 0 F(b) F(a) F()(b a) 0 a b 要证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x F b F a f b f a x 柯西 目录 上页 下页 返回 结束