概率论与敖理统外 第三节频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质
一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 第三节 频率与概率
概率论与散理统外「 一、频率的定义与性质 1.定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数n4称为事件A发 生的频数比值”4称为事件A发生的频率，并记 n 成fn(A). f(A)= n
( ). . , , , , f A A n n A n A n n n A A 成 生的频数 比值 称为事件 发生的频率 并记 次试验中 事件 发生的次数 称为事件 发 在相同的条件下 进行了 次试验 在这 1. 定义 一、频率的定义与性质 ( ) A n n f A n
概率论与敖理统外 fn()= 2.性质 n 设A是随机试验E的任一事件，则 (I)0≤f(A)≤1； (2)f(S)=1,f(0)=0; (3)若A1,A2,A是两两互不相容的事件，则 f(AUAU.UA)=f(A)+f(A)++f(A)
2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0 f (A) 1; n (2) f (S) 1, f () 0; ( ) ( ) ( ) ( ). (3) , , , , 1 2 1 2 1 2 k n n n k k f A A A f A f A f A A A A 若 是两两互不相容的事件 则 ( ) A n n f A n
概率轮与数理统计「 实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做 7遍，观察正面出现的次数及频率， 试验 n=5 n=50 n=500 序号 nd ng f na f 2 0.4 2 3 0 0.44 251 0.502 0.50 249 0.498 3 0.2 0.42 256 0.512 5 1 2 0.50 247 0.494 5 1 0.2 0.48 6 251 0.502 2 1 0.36 262 0.524 7 4 0.54 258 0.516
试验 序号 n 5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n 50 22 25 21 25 24 18 27 nH n 500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率
概率论与敖理统计「 实验者 n na 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 f(H)n的增大1 2
实验者 德 摩根 蒲 丰 n nH f K 皮尔逊 K 皮尔逊 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f ( H ) n的增大 . 21
概率伦与散理统外「 从上述数据可得 ()频率有随机波动性，即对于同样的，所得的 f不一定相同； (2)抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅 度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即 当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动，且 逐渐稳定于0.5
从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
概率论与敖理统外 重要结论 频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增 大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率
重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．
概率论与散理统外「 二、概率的定义与性质 概率的统计定义 频率的稳定值称为概率 概率的直观定义 随机事件发生的可能性的大小称为事件的概率
概率的统计定义 二、概率的定义与性质 概率的直观定义 频率的稳定值称为概率 随机事件发生的可能性的大小称为事件的概率
概率论与敖理统计 1.概率的公理化定义 设E是随机试验，S是它的样本空间对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事 件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件A,有P()≥0； (2)规范性：对于必然事件S,有P(S)=1; (3)可列可加性：设A1,A2,.是两两互不相容的 事件，即对于i≠j,AA=②，i,j=1,2,则有 P(AUAU.=P(A)+P(A)+. 概率的可列可加性
, ( ) : , ( ) , , . 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 设 是随机试验 是它的样本空间 对于 A P A P A E S E (1)非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P(A) 0; (2)规范性 : 对于必然事件 S,有 P(S) 1; 事件 即对于 则有 设 是两两互不相容的 , , , , 1, 2, , (3) : , , 1 2 i j A A i j A A i j 可列可加性 P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ) 概率的可列可加性 1. 概率的公理化定义
概率论与数理统外「 2.性质 (1)P(☑)=0. (2)若A1,A2,An是两两互不相容的事件，则有 P(4U4,U.UAn)=P(A1)+P(A)+.+P(An) 概率的有限可加性 (3)设A,B为两个事件，且AcB,则 P(A)<P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)
(1) P() 0. 2. 性质 概率的有限可加性 (2) 若A1 , A2 , , An是两两互不相容的事件,则有 ( ) ( ) ( ) ( ). P A1 A2 An P A1 P A2 P An ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). (3) , , , P A P B P B A P B P A A B A B 设 为两个事件 且 则